Chapitre III Modélisation hydrodynamique à l’échelle du réservoir
5.1 Forme discrétisée de l’équation de l’hydrodynamique en nappe libre ou captive
En établissant l’équation d’équilibre entre la maille de calcul et les six mailles voisines, on écrit [82] :
� 𝐾𝐾𝑝𝑝∗ 𝐴𝐴𝑝𝑝∗ℎ𝑝𝑝(𝐶𝐶) − ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶)
𝐶𝐶𝑝𝑝 + 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎+ 𝜙𝜙𝑅𝑅∗ 𝑆𝑆ℎ= 𝑄𝑄𝑏𝑏
6 𝑝𝑝=1
Où h représente la charge hydraulique (m), c l’indice de la maille de calcul (au centre), i une des six directions de l’espace, 𝐴𝐴𝑝𝑝 l’aire d’échange entre la maille de calcul et sa voisine dans la direction i, 𝑆𝑆ℎ la surface horizontale de la maille de calcul, 𝐶𝐶𝑝𝑝 la distance au nœud43 voisin dans la direction i, 𝐾𝐾𝑝𝑝 la conductivité hydraulique équivalente dans la direction i, 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎 le terme source « débit extérieur » (négatif si on prélève de l’eau dans la maille de calcul, positif si on en injecte), 𝜙𝜙𝑅𝑅 le flux de recharge et de surplus d’irrigation (m/s44), 𝑄𝑄𝑏𝑏 le débit de stockage dans la maille de calcul.
L’équation discrétisée est homogène à un débit (m3/s).
5.1.1 Coefficient de stockage
Si l’état de charge de la maille ne change pas pendant le pas de temps, le débit de stockage, volume stocké d’eau stocké durant l’intervalle de temps ∆𝐶𝐶, s’écrit :
𝑄𝑄𝑏𝑏= 𝑆𝑆ℎ∗𝑆𝑆 ∗ [ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶) − ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶 − ∆𝐶𝐶)] ∆𝐶𝐶
Où S est un coefficient de stockage, égal à : - 𝜑𝜑𝑐𝑐 si la nappe est libre ;
- 𝑆𝑆𝑏𝑏∗ ∆𝑧𝑧 si la nappe est captive, où ∆𝑧𝑧 est l’épaisseur de la maille de calcul.
Dans de nombreux cas, une maille en charge deviendra à surface libre pendant le pas de temps, et inversement. On écrira donc plus généralement le débit de stockage sous la forme :
𝑄𝑄𝑏𝑏= 𝑆𝑆ℎ∗𝑆𝑆𝐹𝐹∗ [ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶) − 𝑧𝑧𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎] + 𝑆𝑆𝐼𝐼∗ [𝑧𝑧𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎− ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶 − ∆𝐶𝐶)] ∆𝐶𝐶
Où 𝑆𝑆𝐹𝐹 est le coefficient d’emmagasinement dans l’état final, 𝑆𝑆𝐼𝐼 le coefficient de stockage dans l’état initial, et 𝑧𝑧𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎 la cote du toit de la maille de calcul, correspondant à la cote du toit de l’aquifère (m).
Quand 𝑆𝑆𝐹𝐹= 𝑆𝑆𝐼𝐼, cette expression du débit de stockage est bien identique à la première.
43 Les nœuds se trouvent au centre des mailles dans MARTHE.
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5.1.2 Coefficient d’échange et coefficients d’anisotropie
Le terme 𝐾𝐾𝑝𝑝 est en fait un coefficient d’échange entre la maille de calcul et sa voisine dans la direction i. Elle résulte de la moyenne pondérée des deux conductivités hydrauliques. Suivant le schéma hydraulique en cours dans la maille, le logiciel choisit automatiquement la méthode de pondération, entre une moyenne arithmétique, géométrique, harmonique et un schéma amont (upstream). Pour une nappe captive ou libre, on utilisera une moyenne harmonique.
On utilise les expressions du champ de conductivité hydraulique utilisées dans MARTHE, dans le repère des directions principales d’anisotropie. On remarque qu’on peut définir la conductivité hydraulique moyenne horizontale 𝐾𝐾𝑀𝑀ℎ d’une maille :
𝐾𝐾𝑀𝑀ℎ= �𝐴𝐴ℎ∗ 𝐾𝐾𝑦𝑦= 1 �𝐴𝐴ℎ∗ 𝐾𝐾𝑚𝑚 Où 𝐴𝐴ℎ= 𝐾𝐾𝑥𝑥
𝐾𝐾𝑦𝑦 est par définition le coefficient d’anisotropie horizontale, sans unité.
Par analogie, pour les directions est-ouest (selon les x) et nord-sud (selon les y), la détermination des coefficients d’échange entre la maille de calcul et la maille voisine revient à multiplier la moyenne harmonique des conductivités hydrauliques moyennes des deux mailles par respectivement �𝐴𝐴1
ℎ et �𝐴𝐴ℎ : ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝐾𝐾𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎= 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 + 1𝐾𝐾𝑀𝑀𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎 ∗ 1 �𝐴𝐴ℎ 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎 = 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 +𝐾𝐾𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑏𝑏𝑎𝑎1 ∗ 1 �𝐴𝐴ℎ 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐= 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 +𝐾𝐾𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐1 ∗ �𝐴𝐴ℎ 𝐾𝐾𝑏𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐 = 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 + 1𝐾𝐾𝑀𝑀𝑏𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐 ∗ �𝐴𝐴ℎ
On remarque ensuite que l’on peut définir la conductivité hydraulique moyenne verticale 𝐾𝐾𝑀𝑀𝑀𝑀
d’une maille (identique à 𝐾𝐾𝑧𝑧) d’où :
𝐾𝐾𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝑀𝑀∗ 𝐾𝐾𝑀𝑀ℎ Où 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝐾𝐾𝑧𝑧
�𝐾𝐾𝑥𝑥𝐾𝐾𝑦𝑦 est par définition le coefficient d’anisotropie verticale, sans unité. Par analogie, pour les directions haut-bas (axe des z), on écrira donc pour finir :
137 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝐾𝐾ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 +𝐾𝐾𝑀𝑀ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎1 ∗ 𝐴𝐴𝑀𝑀 𝐾𝐾𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏= 1 2 𝐾𝐾𝑀𝑀 + 1𝐾𝐾𝑀𝑀𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏 ∗ 𝐴𝐴𝑀𝑀
5.1.3 Résolution dans MARTHE
La charge au centre de la maille de calcul à la date t s’exprime finalement selon l’équation d’équilibre : ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶) =∑ 𝐾𝐾𝑝𝑝 6 𝑝𝑝=1 ∗ 𝐴𝐴𝑝𝑝∗ ℎ𝑝𝑝(𝐶𝐶) 𝐶𝐶𝑝𝑝 + 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎+ 𝑆𝑆ℎ∗ �𝜙𝜙𝑅𝑅+ 𝑆𝑆𝐹𝐹∗ 𝑧𝑧𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎 ∆𝐶𝐶 − 𝑆𝑆𝐼𝐼∗ [𝑧𝑧𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎− ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶 − ∆𝐶𝐶)] ∆𝐶𝐶 � ∑6 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑝𝑝=1 ∗ 𝐴𝐴𝑝𝑝 𝐶𝐶𝑝𝑝 + 𝑆𝑆ℎ∗ 𝑆𝑆𝐹𝐹 ∆𝐶𝐶
La résolution se fait par méthode itérative maille par maille (méthode de Gauss Seidel, très lente) ou par gradients conjugués (Cholesky, Eisenstat ou Orthomin). Le schéma de Cholesky utilisé par défaut est très robuste, et parvient à converger dans des cas très complexes : l’inconvénient est qu’il nécessite souvent de longs temps de calcul. Le schéma Eisenstat est généralement nettement plus rapide que le schéma de Cholesky : il permet une résolution hydrodynamique « compacte » dans les mailles actives uniquement, en déstructurant les matrices. Le gain de temps est souvent considérable en 3D, mais il arrive que la convergence ne puisse se faire avec cette méthode.
On utilise la méthode de Cholesky pour modéliser l’ennoyage des vides miniers. Une fois cet état atteint, les simulations ultérieures (injection-pompage, etc.) peuvent faire appel à la méthode d’Eisenstat selon les cas, notamment si le solveur Cholesky nécessite des temps de calcul trop conséquents.
Il est par ailleurs possible d’utiliser un coefficient de sur-relaxation ou de sous-relaxation suivant la configuration du problème.
En notant R le coefficient de relaxation et en utilisant la charge H calculée au temps t par résolution de l’équation d’équilibre, la charge affectée à l’itération k vaut :
ℎ𝑘𝑘 = ℎ𝑘𝑘−1+ 𝑅𝑅 ∗ (ℎ𝑐𝑐(𝐶𝐶) − ℎ𝑘𝑘−1)
Une convergence délicate du fait de débordements ou d’assèchements peut conduire à sous-relaxer le calcul. Si la convergence est régulière mais se montre particulièrement lente, on peut alors sur-relaxer le calcul. Par défaut, le coefficient de relaxation vaut 1.
On utilise un coefficient de sous-relaxation de 0,1 pour modéliser l’ennoyage des vides miniers, puis un coefficient de 0,01 une fois cet état atteint pour faciliter la convergence du schéma Eisenstat.
5.1.4 Critère de convergence
Dans MARTHE, on utilise la somme des valeurs absolues des débits résiduels calculés dans chacune des mailles comme critère de convergence pour l’hydrodynamique. Le débit résiduel est la différence entre le débit éventuel imposé et le débit calculé d’après les mailles voisines.
138 Le bilan est équilibré quand le débit résiduel ne dépasse pas au maximum quelques pourcents du total des débits impliqués dans le modèle. Dans une maille donnée, le débit résiduel est transformé en écart de charge : c’est la correction de charge qu’il faudrait appliquer pour équilibrer les débits. Cette information est toujours à examiner car si les conductivités hydrauliques sont très faibles, un très faible débit résiduel peut correspondre à une forte correction de charge. A contrario, si les conductivités hydrauliques sont très fortes, un fort débit résiduel peut ne correspondre qu’à une correction de charge insignifiante. Quand la somme des valeurs absolues des débits résiduels (exprimée en unités de débit) est inférieure à un seuil fixé, la convergence est acceptée et le calcul de l’hydrodynamique se termine, même si le nombre maximal d’itérations autorisées n’est pas atteint.
On prend pour seuil 10-5 m3/h, la valeur par défaut étant 10-8 m3/h.