En faisant l’approximation de petites phases (eiϕ≈ 1 + iϕ), on obtient
G1 = [C1{Aeifj}]i , G2= [C2{Aeigj}]i etM0= G ∗ 1G1 G∗1G2 G∗ 2G1 G∗ 2G2 . (2.26)
G1 etG2 représentent les matrices d’interaction respectives desDM1 etDM2, c’est la réponse complexe dans le plan image au déphasage introduit par chaque action-neur des miroirs déformables (donc lorsque l’on actionne chaque actionaction-neur que l’on désignera par poke dans le suite de ce manuscrit). Ainsi
taM0a =hC1{Aeiϕ1}, C1{Aeiϕ1}i + hC2{Aeiϕ2}, C2{Aeiϕ2}i + 2<[hC1{Aeiϕ1}, C2{Aeiϕ2}i]
(2.27)
et
tab0=hC1{E0}, C1{Aeiϕ1}i + hC1{E0}, C2{Aeiϕ2}i]. (2.28)
On peut ainsi garder la forme matricielle :
IDH =taM0a + 2<[tab0] + d0. (2.29)
C’est cette approche (formalisme de phase) qui a été choisie pour les simulations et les coefficients des miroirs déformables sont calculés à partir de
a =−M0−1<[b0]. (2.30)
La prochaine section décrit comment cet algorithme a été implémenté numérique-ment dans les simulations end-to-end de comparaison de performances.
2.3 Modèle et implémentation numérique
Le but de cette étude est de comparer les performances haut-contraste à petite séparation en faisant varier plusieurs paramètres de montage optique (nombre
d’ac-48 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation
tionneurs des miroirs déformables, architecture du montage optique, distances des miroirs déformables, quantité et répartition des fréquences des aberrations, taille du dark hole...). Afin de réaliser une étude statistique, 128 réalisations aléatoires de structures de phase ont été simulées dans chacun des cas analysés.
2.3.1 Modèle optique
Le modèle optique end-to-end utilisé pour les calculs de performance est un mo-dèle générique de banc haut-contraste. Il est constitué d’une vingtaine d’éléments optiques qui contiennent, entre autres, un simulateur de télescope, un coronographe, deux miroirs déformables, et des lentilles paraxiales qui assurent le passage entre les plans pupilles et images. Le montage optique est basé sur le banc laboratoire SPEED et est détaillé à la section 2.5.2.1.
Les distances entre les miroirs déformables et le plan pupille peuvent être ajustées, de 0 à 2.5 m, afin de tester l’impact de la distance de ces miroirs sur les perfor-mances. De plus, l’architecture du montage optique peut être modifiée pour que le 2`eme miroir déformable soit dans un faisceau collimaté ou convergent (l’implémen-tation de l’architecture en faisceau convergent est détaillée à la section 2.4.4). Le diamètre de la pupille est de 7.7 mm, défini par le simulateur de télescope segmenté du banc SPEED qui utilise un miroir du fabricant IRIS AOr de ce diamètre là. Pour cette étude, la pupille est définie comme circulaire afin de ne pas rajouter les erreurs d’amplitude d’une pupille segmentée et de se focaliser uniquement sur la propagation des erreurs de phase.
Les 2 miroirs déformables pour le wavefront shaping (optique active) sont constitués de 32x32 actionneurs avec des distances entre les centres des actionneurs (pitchs en anglais) de 300 µm : ils sont représentatifs des miroirs déformables du fabricant Boston M icromachiner.
Les optiques passives (coronographe, lentilles paraxiales...) ont des géométries cir-culaires dont le diamètre est 4 fois celui de la pupille (afin d’éviter les effets de diffraction, Pueyo et Kasdin[2007]). Chaque optique est simulée avec une structure d’aberration statique aléatoire définie par la quantité des aberrations (nm rms) et leur répartition en fréquence (loi de puissance de la DSP). Pour des analyses
statis-2.3. Modèle et implémentation numérique 49
tiques, 128 réalisations de phase sont définies par optique. Afin de rester consistant avec le modèle analytique décrit plus haut, aucune erreur d’amplitude n’est rajoutée sur les optiques. Ainsi, les erreurs d’amplitude présentes dans le montage optique résultent uniquement de la propagation de Fresnel des erreurs de phase. Bien que le fait de rajouter des erreurs d’amplitude complexifie probablement le formalisme, il n’y a pas, a priori, de raison de penser que les effets d’erreurs d’amplitude (qui restent très faibles) n’aient pas un effet similaire aux erreurs de phase et donc ne puissent pas être corrigées de la même manière.
Le coronographe est défini comme parfait dans le sens où il supprime totalement la lumière d’un objet sur l’axe en l’absence d’aberrations. Afin de le simuler, la lumière est propagée (par propagation de Fresnel) le long du montage optique non aberré, jusqu’au plan pupillaire coronographique où le champ complexe est enregistré et soustrait pour des simulations avec aberrations. Soient A et ϕ l’amplitude et la phase au plan pupillaire coronographique. En supposant des aberrations faibles, le champ électrique dans ce plan peut s’écrire, en développant l’exponentielle jusqu’à l’ordre 2
Ep = A + iAϕ−1 2Aϕ
2. (2.31)
Le coronographe parfait défini pour cette étude supprime le terme déterministe (constant) mais ne peut corriger le terme quadratique Aϕ22. D’autres coronographes parfaits dans la littérature (Cavarroc et al.[2006];Sauvage et al.[2010]) sont définis en minimisant l’énergie intégrée avec aberration, donc en soustrayant la moyenne du terme quadratique dans le plan pupille. Ces derniers coronographes sont plus représentatifs de coronographes comme le quatre quadrants (FQPM, Rouan et al.
[2000]) ou le vortex (Foo et al.[2005];Mawet et al.[2005]) qui sont définis pour ne pas conserver le spot central dû au terme quadratique. Cependant, comme le but de cette étude est de comparer les performances selon plusieurs structures d’aberrations, il a été choisi de garder comme coronographe parfait, un coronographe qui corrige uniquement le terme constant et n’impacte pas les aberrations (terme quadratique). La longueur d’onde de calcul est 1.65 µm.
50 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation
2.3.2 Modèle et application numérique
Le contrasteC est défini par
C = 5σDH (2.32)
oùσDH est l’écart-type à l’intérieur du dark hole de I0[x0,y0]Ic[x,y] oùIc[x, y] est l’intensité de la fonction d’étalement de point (FÉP) après le wavefront shaping et I0[x, y] est la FÉP sans coronographe ni wavefront shaping (x0 et y0 sont les coordonnées au centre du plan image). Cette définition est dérivée deGreen et Shaklan[2003] et re-présente le seuil de détection obtenu grâce au wavefront shaping et au coronographe parfait.
La matrice d’interaction M0 définie à l’équation 2.26 est calculée numériquement en actionnant chaque actionneur en phase (la phase est de 10−3 rad pour rester dans l’approximation des petites phases), puis en propageant chaque poke par pro-pagation de Fresnel jusqu’au plan focal où le champ électrique dans le dark hole est enregistré (afin de calculer les fonctions [C1{Aeifj}]i et [C2{Aeigj}]i de l’équation 2.26). Le calcul de M0 est réalisé pour un montage optique sans aberration, ce qui est équivalent, pour un montage optique peu aberré, à actionner les actionneurs avec des valeurs égales mais de signes opposés et de soustraire les deux réponses pour sup-primer les contributions des structures communes. La partie réelle deM0 est ensuite inversée en utilisant la décomposition en valeurs singulières (SVD). L’organigramme de l’algorithme est présenté sur la figure2.6. Afin d’éviter des divergences dans l’in-version de la matrice et ainsi d’améliorer l’algorithme, la méthodologie utilisée est la suivante :
i) le vecteur de valeurs propres, ordonné dans l’ordre décroissant, est restreint auxn premières valeurs (le restant étant mis à zéro),
ii) les coefficients des miroirs déformables sont calculés en utilisant l’équation 2.30. Les stroke des miroirs déformables ne sont pas restreints (méthodes EFC ou stroke minimization) afin d’estimer l’impact des paramètres du montage optique (et plus particulièrement de la distance des miroirs déformables) sur les
2.3. Modèle et implémentation numérique 51
Figure 2.6 – Organigramme de l’algorithme de calcul de dark hole.
performances en terme de contraste et non en terme de stroke. Les coefficients sont calculés de manière itérative afin d’obtenir le meilleur contrasteC dans le dark hole,
iii) on rajoute au vecteur de valeurs propres les n valeurs propres suivantes2, iv) les étapes ii) etiii)sont répétées jusqu’à obtenir le meilleur contraste,
v) lorsque l’algorithme n’arrive plus à améliorer le contraste pour un nombre
2. Pour des raisons d’efficacité de convergence, nous nous sommes empiriquement orientés vers la solution de construire le vecteur par paquet de valeurs propres plutôt que de le construire par seuillage.
52 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation
donné de valeurs propres non nulles, il utilise comme point de départ les phases des miroirs déformables calculées aux itérations précédentes et s’arrête si les performances ne sont pas meilleures. Cette étape évite à l’algorithme de stag-ner dans un minimum local.
Le nombre n de valeurs propres ajouté à chaque itération est déterminé de manière empirique : c’est un compromis entre le temps de calcul et les performances atteintes et dépend principalement du niveau d’aberration du montage optique. Le code utilisé pour la propagation de Fresnel entre chaque optique est le code PROPER (Krist [2007]) : ce code IDL propage un faisceau Gaussien pour déter-miner la technique de propagation appropriée, algorithme de champ lointain ou spectre angulaire du champ (far-field ou angular spectrum). L’algorithme de dark hole a été écrit sous IDL. Cependant, le temps de calcul pour générer les matrices d’interaction (une vingtaine d’heure) et pour générer un dark hole (quelques heures par réalisation de phase aléatoire) étant un facteur limitant, le code a été converti en C++ par Lyu Abe pour s’adapter au mésocentre de calcul intensif de l’Observatoire de la Côte d’Azur, SIGAMM. Le gain en temps est significatif (d’un facteur ∼20), pour atteindre un temps de calcul de quelques heures pour une configuration complète.
La taille numérique de la pupille (400 pixels en diamètre) ainsi que la taille de calcul (2048 pixels) ont été déterminées afin d’échantillonner de manière suffisante à la fois les plans des miroirs déformables et le plan focal.
2.3.3 Exemple de résultats par analyse end-to-end
Cette section montre un exemple des performances haut-contraste obtenues nu-mériquement et la métrique utilisée. L’exemple utilisé ne représente pas le cas optimal en termes de performances mais illustre le type de résultats obtenus. La figure 2.7montre l’image en échelle logarithmique du contraste (I0[x0,y0]Ic[x,y] défini par l’équation 2.32) avant (en haut à gauche) et après (en haut à droite) le corono-graphe et après le wavefront shaping avec deux miroirs déformables (en bas). Les
2.3. Modèle et implémentation numérique 53
Figure 2.7 – Image représentant le contraste en échelle logarithmique avant (en haut à gauche) et après (en haut à droite) le coronographe et après le wavefront shaping avec deux miroirs déformables (en bas).
aberrations des optiques du montage dans cet exemple sont d’environ 20 nm rms (5 nm rms par optique) et les fréquences des aberrations (DSP) suivent une loi de puissance en f−3 où f est la fréquence spatiale. La configuration est telle que les miroirs déformables sont dans un faisceau collimaté avec leDM1dans le plan pupille et leDM2 situé à 0.5 m du plan pupille. La taille du dark hole a été définie comme un anneau circulaire de 0.8 à 4λ/D (où λ = 1.65 µm) et les miroirs déformables contiennent 1000 actionneurs.
Dans le but de réaliser une étude statistique, chaque optique a été simulée avec 128 réalisations aléatoires de phase différentes, constituant ainsi 128 réalisations de montages optiques différents. La métrique utilisée pour comparer les résultats est
54 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation
le contraste défini par l’équation 2.32, qui est la valeur 5σ de l’image du contraste, intégrée sur le dark hole. La figure2.8montre le contrasteC en fonction de chacune des 128 réalisations de phase aléatoires. Une fois cet outil de modélisation
déve-Figure 2.8 – Contraste C obtenu pour chacune des 128 réalisations de phase aléa-toires différentes.
loppé, nous pouvons passer au coeur de l’étude, à savoir les limitations du wavefront shaping.