Minimisation d’énergie avec 2 miroirs déformables pour le wa-

wavefront shaping

Plusieurs algorithmes peuvent être utilisés pour générer un dark hole. Le speckle nulling (Trauger et al.[2004]) est une technique qui a fait ses preuves en laboratoire (HCIT) ou sur des instruments sur le ciel (GPI, Graham et al. [2007] ; SCExAO,

Guyon et al.[2010b]). Elle consiste à identifier les tavelures les plus brillantes dans un dark hole pré-défini dans le plan image et à déterminer la phase qui leur corres-pond. La relation entre la phase et la tavelure est calculée en appliquant au niveau du miroir déformable des formes différentes connues (en général sinusoïdales) et en analysant les variations d’intensité au plan focal. Les tavelures les plus brillantes sont ainsi supprimées de manière itérative. L’inconvénient de cette méthode est qu’elle supprime uniquement les tavelures dont les fréquences sont à l’intérieur du dark hole et ne corrige pas les tavelures de repliement, dont la fréquence centrale est à l’extérieur de la zone de correction mais qui créent des structures à l’intérieur du dark hole (voir section2.4.3).

Le travail présenté dans cette thèse est basé sur des algorithmes de minimi-sation d’énergie, qui traitent le problème de manière plus globale, en minimisant l’énergie à l’intérieur du dark hole. L’approche utilisée suppose une réponse linéaire aux perturbations optiques du système : les algorithmes de wavefront shaping qui utilisent une approche non linéaire pour, par exemple, corriger les discontinuités pupillaires (Pueyo et Norman [2013]) ne sont pas traités dans cette étude. L’ap-proche analytique de la méthode linéaire a été décrite par Give’on et al. [2007],

Pueyo et al.[2011] etGroff[2012] dont nous reprenons ici le formalisme. Supposons un montage optique générique qui utilise deux miroirs déformables, tel que décrit dans la figure 2.5où les parenthèses représentent n’importe quel ensemble optique. Soient :

• C1 la transformation entre le premier miroir déformable (DM1) et le plan image,

42 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation

• C12 la transformation entreDM1 etDM2 tel queC1 = C2(C12),

• E0 = Aeiεle champ électrique incident sur leDM1où A est la pupille d’entrée etε est le champ aberré initial (ε peut représenter à la fois la phase et l’am-plitude). Afin de simplifier les calculs, on suppose dans la suite du document, uniquement des erreurs de phase (ε = ϕ),

• ϕ1 etϕ₂ les phases appliquées respectivement par le DM₁ et leDM₂.

Figure 2.5 – Montage optique générique à 2 miroirs déformables.

Le champ électrique au plan duDM2 avant la correction du miroir déformable peut s’écrire, en supposant des petites phases («1 rad) et en éliminant le terme d’ordre 2

E₂₋ = C₁₂{A.eiϕ.eiϕ1} ' C12{A.(1 + iϕ).(1 + iϕ1)} ' C12{A.(1 + iϕ + iϕ1)} ' C12{E0+ iAϕ₁},

(2.5)

et le champ électrique après correction s’écrit alors

E₂₊' (C12{E0} + iC12{A.ϕ1}).e^iϕ2. (2.6)

De la même manière, (en supposant que E₂₋ peut s’écrire sous la forme XeiY ' X(1 + iY ) et en éliminant le terme de second ordre), on peut écrire le

2.2. Le wavefront shaping : description et problématique 43

champ électrique au plan focal sous la forme

Ef ' C2{C12{E0} + C12{iA.ϕ1}} + iC2{A.ϕ2} = C1{E0} + iC1{A.ϕ1} + iC2{A.ϕ2}.

(2.7)

L’intensité au plan focal, à l’intérieur du dark hole est donc

IDH = ZZ DH EfE_f^∗ dxdy = ZZ DH

(C1{E0} + iC1{Aϕ1} + iC2{Aϕ1}) (C1{E0} + iC1{Aϕ1} +iC2{Aϕ2})^∗dxdy

= ZZ

DH|C1{E0}|2+|C1{Aϕ1}|2+|C2{Aϕ2}|2+ 2=(C1{E0}C1^∗{Aϕ1}) + 2=(C1{E0}C2^∗{Aϕ2}) + 2<(C1{Aϕ1}C2^∗{Aϕ2}) dxdy

(2.8)

où x et y sont les fréquences spatiales dans le plan focal et DH représente le dark hole (de taille Npix). IDH peut également s’écrire sous forme de produit scalaire (notéhi ci-dessous) :

IDH =hC1{E0}, C1{E0}i + hC1{Aϕ1}, C1{Aϕ1}i + hC2{Aϕ2}, C2{Aϕ2}i

+ 2<[hC1{Aϕ1}, C2{Aϕ2}i] + 2=[hC1{E0}, C1{Aϕ1}i + hC1{E0}, C2{Aϕ2}i]. (2.9)

Le miroir déformable applique localement une déformation qui peut être définie par la combinaison linéaire des coefficients appliqués au niveau de chaque actionneur (respectivementα et β pour le DM₁et leDM₂) multipliés par la fonction d’influence de chaque actionneur (respectivementh1 eth2 pour leDM1 et leDM2) tel que

ϕ₁= ^2π λ N actX i=0 α_ih_1i et ϕ₂= ^2π λ N actX i=0 β_ih_2i, (2.10)

oùNactest le nombre d’actionneur des miroirs déformables. Afin d’alléger les calculs et la définition des phases des miroirs déformables, nous définissons f = 2π

44 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation

g = 2π λh2.

Soient les définitions suivantes :

• a représente les coefficients appliqués aux deux miroirs déformables tel que

a = [...α_i..., ...β_k....] , (2.11)

• G1 et G₂ sont les matrices d’interaction de chaque miroir (de taille de Npix×Nact) et représentent l’interaction entre chaque actionneur et le système optique : G1 =      ^[C1{Afj}]i      ^{etG2 =}      ^[C2{Agj}]i     ^{, (2.12)}

• G représente la matrice globale, qui tient compte des deux miroirs déformables etM₀ est la matrice d’interaction globale :

G = [G₁ G₂] et M₀ = G∗G =   ^G ∗ 1G1 G^∗₁G2 G^∗₂G1 G^∗₂G2   , (2.13)

• b0représente l’interaction entre le champ électrique initial aberré et les miroirs déformables etd0 est l’intensité du champ initial aberré, tels que

b0=   ^G ∗ 1 C1{E0} G^∗₂ C₁{E0}   , (2.14) d0 =hC1{E0}, C1{E0}i. (2.15) On en déduit : taM₀a =X i X j a_ia_jhC1{Afj}, C1{Afi}i +^X i X j a_ib_jhC2{Agj}, C1{Afi}i +X i X j b_ia_jhC1{Afj}, C2{Agi}i +^X i X j

b_ib_jhC2{Agj}, C2{Agi}i.

2.2. Le wavefront shaping : description et problématique 45

et ainsi

taM₀a =hC1{Aϕ1}, C1{Aϕ1}i + hC2{Aϕ2}, C2{Aϕ2}i + 2<[hC1{Aϕ1}, C2{Aϕ2}i.

(2.17)

De la même manière,

tab0 =hC1{E0}, C1{Aϕ1}i + hC1{E0}, C2{Aϕ2}i. (2.18)

Ainsi les produits scalaires de IDH peuvent s’écrire sous forme matricielle :

IDH =^taM0a + 2=[tab0] + d0. (2.19)

Le wavefront shaping consiste alors à minimiser l’énergie dans le dark hole en annu-lant sa dérivée avec

a =−M₀⁻¹=[b0] (2.20)

mais peut conduire à des solutions pour lesquelles les phases, et donc les amplitudes des actionneurs des miroirs (stroke en anglais, que j’utiliserai dans la suite de ce manuscrit) sont importantes. Des valeurs de stroke trop élevées peuvent être au delà de la capacité réelle du miroir déformable mais peuvent également sortir de l’approximation linéaire de l’algorithme de wavefront shaping. Une manière d’obtenir une solution plus stable est d’utiliser l’EFC (Electric Field Conjugation, Give’on et al. [2007]) ou la méthode de stroke minimization (Pueyo et al. [2011]). L’EFC minimise l’intensité I_DH pondérée par une régularisation de Tikhonov (Tikhonov

[1963]) où la fonction à minimiser devient

J = I_DH+ α2

0kak², (2.21)

où α₀ est le paramètre de régularisation de Tikhonov qui garantit que l’algorithme converge dans des valeurs de stroke stables. Les coefficients des miroirs déformables

46 Chapitre 2. Le haut contraste à petite séparation

sont définis par

a =−(M0+ α2

011)−1=(b0), (2.22)

où11 est la matrice identité. Le paramètre α0est le poids donné au stroke des action-neurs dans la minimisation et est défini comme suit : α0 est augmenté linéairement et la valeur optimale est la plus petite valeur qui donne le meilleur contraste (ou atténuation). Ainsi la méthode EFC minimise l’énergie au plan focal en limitant la valeur du stroke.

L’approche de stroke minimization minimise les valeurs de stroke qui atteignent un contrast donné. Il minimise la valeur des coefficients appliqués aux miroirs défor-mables lorsque l’intensité dans le dark hole IDH 6 10−C _oùC est le contraste cible. La fonction à minimiser est alors

J =kak²+ µ0(IDH− 10−C_{) (2.23)}

et les coefficients des miroirs déformables sont calculés à partir de

a =−(M0+_µ¹

011)⁻¹=[b0]. (2.24)

De la même manière que pour l’EFC, le paramètre µ0 est déterminé linéairement. Les méthodes EFC et de stroke minimization sont équivalentes pour un seul miroir déformable en lumière monochromatique.

Dans le cas d’un coronographe parfait qui supprime toute l’énergie s’il n’y a pas d’aberration, on peut revenir au formalisme de phase pour les miroirs défor-mables puisque C_n{Aeiϕn} ' Cn{A} + iCn{Aϕn} = iCn{Aϕn} où n={1,2} (le co-ronographe supprime le terme constant). En remplaçant les termes Cn{Aϕn} de l’équation 2.9par−iCn{Aeiϕn}, on peut alors écrire

IDH =hC1{E0}, C1{E0}i + hC1{Ae^iϕ1}, C1{Ae^iϕ1}i + hC2{Ae^iϕ2}, C2{Ae^iϕ2}i +2<[hC1{Ae^iϕ1}, C2{Ae^iϕ2}i + hC1{E0}, C1{Ae^iϕ1}i + hC1{E0}, C2{Ae^iϕ2}i].