3.3 Estimation des propriétés élastiques de la pâte de ciment
3.3.2 Modèle d’hydratation
On se place de nouveau dans le cas d’un matériau composé de sphères élastiques isotropes ( avec ks= 100 M P a et µs= 50 M P a ) et de pores sphériques, et on compare l’estimation auto-
cohérente à celle de Mori-Tanaka. La résolution du système 3.3 donne les modules élastiques homogénéisés kacet µacen fonction de la porosité. On observe (figure 3.28) un seuil de percolation
solide pour le schéma auto-cohérent : ce schéma ne prévoit une élasticité effective non nulle que pour des fractions volumiques de solide (1 − ϕ) supérieures ou égales à 50 %. Ce seuil de 50
Figure 3.28 – Comparaison des estimations de Mori-Tanaka et auto-cohérentes de l’élasticité homogénéisée d’un milieu poreux constitué de grains solides sphériques isotropes (ks= 100 M P a
et µs= 50 M P a ) et de pores sphériques.
% est un résultat caractéristique du schéma auto-cohérent pour des grains solides sphériques. Il varie suivant la forme des grains solides [131]. Ainsi il diminue pour des rapports d’aspect différents de 1, c’est à dire pour des objets aplatis (oblate) ou allongés (prolate) : moins de solide est nécessaire pour avoir une élasticité effective non nulle (voir figure 3.29).
Nous allons maintenant utiliser le schéma auto-cohérent pour estimer les propriétés effectives d’une pâte de ciment à partir de la connaissance des propriétés mécaniques de ses constituants. Avant toute chose, étant donnée la mise en évidence de deux types de CSH, l’utilisation d’un modèle d’hydratation plus détaillé que le modèle de Powers, présenté au 1.1.3 (il confond sous la dénomination hydrate les CSH, la portlandite et les sulfoaluminates), est nécessaire.
3.3.2 Modèle d’hydratation
Nous utilisons un modèle d’hydratation permettant d’estimer les fractions volumiques des différents hydrates et inspiré de [154]. Ce modèle décrit dans [17, 64] utilise des réactions d’hy-
3.3 Estimation des propriétés élastiques de la pâte de ciment
Figure 3.29 – Représentation de deux ellipsoïdes de révolution. A gauche, un oblate (rapport d’aspect < 1) et à droite un prolate (rapport d’aspect > 1).
dratation simplifiées pour les anhydres C3A et C4AF :
C3A + 10H20 −→ sulfoaluminates C4AF + 10.75H20 −→ sulfoaluminates
Cela signifie qu’une mole de C3A (respectivement C4AF) consomme 10 moles d’eau (respecti- vement 10,75). Par ailleurs, les réactions d’hydratation des phases C3S et C2S retenues sont les réactions 1.1 et 1.2. Seules les phases C3S, C2S, C3A et C4AF sont considérées. Nous utiliserons la composition du ciment présentée au 1.3.1. Les données d’entrée, en plus de la composition et des réactions d’hydratation considérées, sont :
– la masse volumique de l’eau (1 g/cm3), du ciment (3,15 g/cm3), des CSH (2,04 g/cm3) et de la portlandite (2,24 g/cm3) [17].
– la masse molaire des différents constituants, calculée à partir de leur composition chimique et des masses molaires de leurs différents éléments.
Notant mi la masse de la phase anhydre i dans la composition complète du ciment utilisé
1.3.1, la simplification à l’étude de 4 phases uniquement nécessite de corriger la masse de ces phases. Cette masse corrigée sera notée m0i et vaut m0i = mi/Pmi. Le dégré d’hydratation
moyen s’écrit alors : α = P
im0iαi où αi est le degré d’hydratation de la phase i. Ce degré
d’hydratation dépend du temps et du rapport e/c. Nous noterons θji le nombre de moles de la phase j (j = w, CSH ou CH, où w est l’eau) formé ou consommé par la réaction d’1 mole de réactif i. Ici, les valeurs de ce coefficient pour les différentes phases sont données dans le tableau 3.30. XX XX XX XX XXX Phase j Réactif i C3S C2S C3A C4AF CSH 1 1 CH 1,3 0,3 w 5,3 4,3 10 10,75
Figure 3.30 – Coefficient θij pour chaque réactif .
Notant βi∗ = ρ∗i/µile nombre de moles de la phase i par unité de volume de ciment (ρ∗i = ρcm0i
hydratée son volume issu ou consommé par la réaction du réactif i. On a ainsi : Vwi Vo c = θiwβ ∗ i βw VCSHi Vo c = θiCSH β ∗ i βCSH Vi CH Vo c = θi CH βi∗ βCH Vanhydi Vo c = m0i(1 − αi) (3.4)
où Vwi est le volume d’eau consommé par hydratation complète de la phase i, VCSHi et VCHi sont les volumes respectifs de CSH et CH formés par hydratation complète de la phase i, Vanhydi est le volume d’anhydre i au degré d’hydratation αi de la phase i, Vco le volume initial de ciment.
βw, βCSH et βCH sont les nombres de moles par unité de volume des différentes phases. On
peut alors calculer le volume total des différents constituants j par Vj = P
iVjiαi. Le volume
de vides capillaires dû au retrait chimique est calculé par Vv/Vco= crcρcα où crc' 0, 07 cm3/g
est le coefficient de retrait chimique par gramme de ciment à hydratation complète. On écrit finalement que le volume initial du mélange (anhydre+eau) est égal au volume final composés des phases hydrates, des pores capillaires (v+w) et des anhydres restants :
V = Vco+ Vwo= Vco(1 +V o w Vo c ) = Vw+ Vanhyd+ VCSH+ VCH+ VA+ Vv (3.5)
où VA est le volume de sulfoaluminates formés. La fraction volumique fj de chaque phase peut
ensuite être calculée comme suite : fj = Vj/Vpâte où :
Vpâte= Vco 1 + Vo w/Vco = V o c 1 +ρwρc ec
et la fraction volumique des sulfoaluminates se calcule comme : fA= 1−(fCSH+fCH+fw+fv+
fanhyd). Le tableau 3.31 donne donc les fractions volumiques des phases la Pdc05. On suppose
une hydratation complète, si bien que pour tout i on a αi = 1. On notera notamment la valeur fCSH fCH fA fw fv fcap= fw+ fv fanhyd
0,54 0,15 0,16 0,06 0,09 0,15 0
Figure 3.31 – Fractions volumiques des phases de la pâte de ciment e/c 0,5 prédites par le modèle.
de la fraction volumique de pores capillaires fcap = 0, 15, proche de la valeur prédite par le
modèle de Powers pour une pâte d’e/c 0,5 : fcap= (e/c − 0, 63)/(e/c + 0, 32) = 0, 17.
Par ailleurs, des expériences d’Analyse Thermo-Gravimétrique (ATG) (voir 1.3.3) permettent de quantifier la fraction volumique de portlandite présente dans la pâte [149]. Ainsi, pour un échantillon de ciment de masse moc (masse de pâte de ciment réduite en poudre), on peut dé- terminer la masse de porlandite présente dans l’échantillon, en supposant que la réaction de déshydratation de la portlandite est la suivante :
Ca(OH)2−→ Ca0 + H20 (3.6)
et qu’elle a lieu entre 443 et 495◦C. La perte de masse mesurée lors de l’essai d’ATG dans cette gamme de température correspond à la masse d’eau libérée par la réaction 3.6, si bien que la masse de portlandite se calcule par :
mCH = (perte masse443◦C− perte masse495◦C)
MCa(OH)2 MH2O
3.3 Estimation des propriétés élastiques de la pâte de ciment
où MCa(OH)2 et MH2O sont les masses molaires respectivement de la portlandite et de l’eau. Ensuite, à partir de la masse volumique du ciment et de la portlandite, on peut calculer la fraction volumique de portlandite présente dans la pâte. Nous avons testé 3 échantillons de pâte à e/c 0,5 séchés à 60◦C. Les résultats sont résumés dans le tableau 3.32. La fraction
moc (mg) mCH (mg) fCH
80,14 7,65 0,134 56,33 6,17 0,153 77,72 8,35 0,150
Figure 3.32 – Fractions volumiques de portlandite calculées à partir des essais d’ATG sur des échantillons de pate de ciment de rapport e/c 0,5 séchés à 60◦C.
volumique de portlandite moyenne obtenue est de fCHmoy = 0, 145. La valeur prédite par le
modèle d’hydratation (fCH = 0, 15) est donc proche de la valeur expérimentale obtenue.