Modèle de réectivité multi-couches

Nous avons construit un modèle très simple pour essayer de décrire la réectivité particulière dans cette région. Ce modèle nous permet de calculer la propagation des ondes radar dans un milieu stratié et obtenir ainsi une réectivité correspondante aux caractéristiques de ce milieu.

Comme décrit dans le paragraphe précédent, il a été mis en évidence qu'une couche de glace de CO2 recouvrait la glace d'eau qui compose la calotte sud. C'est pourquoi nous avons choisi de décrire notre modèle avec trois couches superposées qui sont de haut en bas : l'atmosphère, le glace de CO2 et la glace d'eau (voir gure 5.19).

5.6. RÉFLECTIVITÉ DE LA CALOTTE RÉSIDUELLE SUD DE MARS 135

Figure 2 - Mouginot (2008)

Fig. 5.19  Vue schématique d'une coupe dans la calotte résiduelle sud, comme décrit dans notre modèle.

Lorsque l'on considère uniquement deux couches i et j avec des indices de réfraction respectifs ni et nj, le coecient de réexion rij en incidence normal est classiquement donné par l'équation :

rij = ^nj− n_i

n_j+ n_i (5.7)

Comme MARSIS travaille toujours dans la direction du nadir, la géométrie de la réexion est toujours normale à la surface. C'est pourquoi nous ne considèrons que ce cas. De plus, même si la surface est légèrement pentue, la normalisation par la simulation permet de corriger les pertes.

Dans un milieu stratié comme celui que nous avons décrit, le coecient de ré-exion total s'exprime en fonction des coecients r12 et r23 qui sont respectivement les coecients de réexion sur la première et la deuxième interface (ces coecients sont calculés à partir de l'équation 5.7) [Born et Wolf (1979)] :

r(f ) = ^{r12+ r23e} 2iβ

1 + r₁₂r₂₃e2iβ (5.8)

où β = 2π

λ, h est l'épaisseur de la couche intermédiaire et λ est la longueur d'onde de l'onde incidente.

Cette notation implique que les termes n1, n2 et n3 sont respectivement les indices de réfraction des couches supérieure (atmosphère), intermédiaire (CO2) et inférieure (H2O) (voir gure 5.19). L'indice de réfraction correspond à la racine carrée de la partie réelle de la constante diélectrique : ni =√

Ce modèle n'inclut pas les pertes dans les diérents milieux. Nous pensons que c'est une bonne approximation car il est connu que les pertes dans la glace sont très faibles comme cela a d'ailleurs été observé par MARSIS dans les SPLD [Plaut et al. (2007)].

L'équation 5.8 montre clairement que la réectivité du modèle dépend de la fré-quence et comme MARSIS émet sur une bande large de 1 MHz, nous ne pouvons donc pas limiter le calcul de la réectivité de l'équation 5.8 à une fréquence. Il n'est pas possible, non plus, d'étudier directement l'eet de r(f) sur le signal en fréquence de MARSIS car, d'une part, toutes les composantes du signal se mélangent alors (cohé-rent, incohé(cohé-rent, sous-sol) et, d'autre part, car la bande n'est pas assez large pour que les diérences de réection de r(f) soient réellement sensibles.

Il est donc nécessaire d'appliquer ce coecient de réexion sur la bande de MARSIS, puis de regarder quelle est l'amplitude de l'écho de surface rééchi7. Finalement, le calcul de la réectivité prend la forme suivante :

R = max (kIFFT(S(f)r(f)S∗

(f )) k) (5.9)

où f est la fréquence, r est le coecient de réexion déni dans l'équation 5.8 et S est le  chirp  modulé linéairement en fréquence de MARSIS. La transformée inversée de Fourier (IFFT8) permet d'obtenir le signal dans le domaine temporel.

Dans ce modèle, nous considèrons que la glace d'eau est compacte ce qui correspond à une constante diélectrique de 3.15. La constante diélectrique de l'atmosphère est xée à 1.

Le choix de cette valeur pour la glace d'eau est une bonne hypothèse car plusieurs travaux montrent que les dépôts qui constituent la calotte polaire sont de la glace assez pure [Plaut et al. (2007); Zuber et al. (2007)].

Il est possible que la glace soit poreuse, ce qui entrainerait une diminution de la constante diélectrique. Par exemple, lorsque la porosité de la glace est de 10%, en utilisant les formules de mélange de Maxwell Garnett [Sihvola (1999)], la constante diélectrique serait alors 2,87.

La gure 5.20 montre la réectivité R en fonction de l'épaisseur de CO2, pour diérentes constantes diélectriques du CO2 (couleurs arc-en-ciel). Les deux paramètres libres de ce modèle sont l'épaisseur et la constante diélectrique de la glace de la couche intermédiaire (CO2). Ces deux paramètres ont un impact sur la réectivité étudiée.

Cette gure 5.20 nous montre que la réectivité est minimale, lorsque la couche intermédiaire a une épaisseur optique n2hproche de λ0/4(où λ0est la fréquence centrale

7C'est-à-dire la valeur intégré sur la bande.

5.6. RÉFLECTIVITÉ DE LA CALOTTE RÉSIDUELLE SUD DE MARS 137

Figure 3 - Mouginot (2008)

Fig. 5.20  Réectivité R de la surface stratiée (voir gure 5.19) en fonction de l'épaisseur h de la couche intermédiaire et pour diérentes valeurs de la constante diélectrique. Les constantes diélectriques de la couche supérieure et inférieure sont respectivement 1 et 3.15.

Figure 4 - Mouginot (2008)

Fig. 5.21  Ce graphique présente la distribution de la réectivité dans la région de référence (noir) et dans la calotte résiduelle sud (gris clair). Les lignes noires en pointillés correspondent aux ajustements gaussiens réalisés sur les distributions. Les résultats de ces ajustements sont récapitulés dans le tableau 5.4

de la bande MARSIS) et qu'elle est maximale lorsque l'épaisseur optique est proche de λ₀/2 [Born et Wolf (1979)]. Cette constatation signie que les paramètres n et h ont un impact très similaire sur la réectivité de ce milieu.

Le contraste entre les diérentes constantes diélectriques jouent aussi un rôle. La réectivité est minimale ou strictement égale à zéro quand la constante diélectrique ε₂ du milieu intermédiaire est égale à ^√n₁n₃. Dans ce modèle, ceci correspond à une valeur où ε2 = 1.77.