Modèle dynamique

Les protéines Rab6 durant leur phase de trafic sont ancrées à la membrane des vésicules et se

dépla-cent sur le réseau de microtubules sous l’action de moteurs moléculaires (dynéine, kinésine) (Hirokawa

1998). Ce trafic est semblable au déplacement de véhicules qui transitent sur un résau routier. Cette

analogie est également retenue en biophysique et en biologie. Ceci a motivé l’introduction de la

tomo-graphie de réseaux pour simuler ainsi un trafic vésiculaire (Boulanger, Kervrann & Bouthemy 2009).

Sur le modèle Rab6, les vésicules circulent depuis une origine localisée au niveau de l’appareil de

Golgi vers une destination correspondant à un point d’entrée dans le reticulum endoplasmique. Le réseau

(a) (b)

FIGURE3.1: (a) Réseau de microtubules simpliste ; (b) graphe associé au réseau de la figure (a).

de microtubules, support du transport, est représenté aussi par un graphe. La trajectoire d’une vésicule,

définie par son origine et sa destination (cartes de naissance/mort dans (Wang & Zhu 2002, Wang &

Zhu 2003)) et le graphe associé au réseau de microtubules, dépend d’un routage. La première étape de la

modélisation consiste donc à établir un graphe à partir du réseau de microtubules. En pratique, le réseau

de microtubules est extrait automatiquement d’une séquence d’images réelle, ou défini manuellement.

Chaque carrefour et chaque extrémité est identifié à un sommet sur le grapheG

traf ic

. Lesnsommets

for-ment l’ensembleV ={ϑ

₁

, . . . , ϑ

_n

}et chaque connexion entre deux sommets est associée à deux arêtes

permettant d’établir les échanges de vésicules dans les deux sens. Les r arêtes constituent

l’ensem-ble E = {ϕ

₁

, . . . , ϕ

_r

}. Un réseau de microtubules relativement simple et le graphe noté désormais

G

traf ic

= (V,E)sont présentés sur la figure3.1.

Si on adopte le concept de tomographie de réseaux, une paire Origine-Destination (OD) est

carac-térisée par un sommet origine et un sommet destination dans le grapheG

traf ic

(définition 2.1). Le trafic

global calculé dépendra des paires OD choisies par l’utilisateur. Celui-ci en spécifit un certain nombre

parmi lesc=n(n−1)paires OD possibles dans le graphe, et attribue à chacune d’entre elles une

pro-portion de trafic. Soit{

Z_j

}

j=1,...,c

l’ensemble des paires OD sur le grapheG

traf ic

etυ

OD

∈R

^c

le vecteur

de dimensioncindiquant la proportion de trafic sur chaque paire OD. Les vésicules générées au cours de

la simulation sont associées à une des paires OD déterminées par l’utilisateur. La proportion de vésicules

affectées à chaque paire OD respecte les proportions de trafic fixés également par l’utilisateur.

Cepen-dant, une paire OD identifie l’origine et la destination d’une vésicule, mais pas le chemin reliant ces

deux extrémités. Le routage permet justement de compléter cette description. Le routage vise à établir

une liste d’arêtes successives dans le graphe pour une paire OD, correspondant à un ou plusieurs chemins

possibles pour relier une origine à une destination. Le choix le plus simple est de ne considérer qu’un

seul chemin par paire OD, mais s’avère peu pertinent par la suite. En effet, dans les séquences d’images

réelles, l’ensemble des vésicules couvrent l’ensemble du domaine de la cellule et n’empruntent pas un

nombre faible de chemins. Il faut donc prévoir un scénario permettant de prendre en compte plusieurs

chemins pour une même paire OD. Un premier choix serait d’extraire tous les chemins possibles dans

le graphe pour chaque paire OD. Ceci n’est pas envisageable pour des graphes complexes, où le nombre

de chemins possibles tend vers l’infini. L’algorithme de Yen (Yen 1971) permet de traiter cette situation

et extrait leskplus courts chemins dans un graphe valué. Pour comparer des chemins entre eux, il est

nécessaire d’associer un coûtC(ϕ

_e

) ∈ R, e= 1. . . , r à chaque arête du graphe. Ici, un coût égal à la

longueur du segment associé à l’arête semble approprié. Le coût associé à un chemin est donc égal à

la somme des coûts des arêtes servant à sa construction. Par exemple, le cheminΓ de longueurL(Γ)

exploite la suite d’arêtes{Γ(1), . . . ,Γ(L(Γ))}. Au cheminΓ, on associe un coût :

C(Γ) =C(Γ(1)) +. . .+C(Γ(L(Γ))) (3.2)

qui revient à mesurer l’effort nécessaire pour relier deux noeuds dans le graphe. Cet effort coïncide avec

la longueur du chemin dans le plan de l’image. Afin d’établir un chemin pour une vésicule donnée, il est

plus pertinent de manipuler des probabilités de la forme :

P(Γ)∝exp−

C(Γ)

K

₀

, (3.3)

oùP(Γ)représente la probabilité associée au cheminΓ. Si l’expert souhaite privilégier les chemins les

plus courts, alorsK

₀

doit être faible (de l’ordre du coût du chemin le plus court). En revanche, si on

souhaite que les chemins soient distribués uniformément parmi lesk chemins extraits, il faut donner

une valeur élevée à K

₀

. Ces probabilités permettent par la suite d’établir la matrice de routageAde

dimension r×c. Cette matrice met en relation le vecteur υ

OD

et le vecteury

arête

de dimension r qui

correspond aux échanges observés sur l’ensemble de la séquence d’images sur chaque arête du graphe.

La matrice de routage a ainsi pour but de recenser les arêtes du graphe empruntées pour chaque paire

OD. Si le routage est unique (un seul chemin pour chaque paire OD), la matrice de routage est binaire,

ce qui est le cas pour les réseaux de télécommunications. À une ligne de cette matrice est associée

une paire OD donnée. Chaque élément à ‘1’ sur cette ligne désigne les arêtes du graphe utilisées pour

composer le chemin. Néanmoins, nous avons privilégié la solution qui consiste à considérer plusieurs

chemins pour chaque paire OD. Ce choix conduit à une matrice de routage probabilisée qui collecte les

différents chemins que peuvent emprunter les vésicules pour une paire OD donnée. Soit{Γ

^j_i,e

}

_i=1,...,Nj e

l’ensemble des N

e^j

chemins pour la paire origine-destination

Z_j

utilisant l’arête ϕ

_e

. Soit P(Γ

^j_i,e

) la

probabilité associée (voir (3.3)). Chaque élémenta

^j_e

de la matrice de routageAest défini tel que :

a

^j_e

=

P

Ne^j i=1

P(Γ

^j_i,e

)

P

r ˜ e=1

P

N_e^j_˜ i=1

P(Γ

^j_i,e˜

)

. (3.4)

Avec cette définition, le nombre de vésicules qui utilisent une arête du graphe vérifie l’équation

fonda-mentale de la tomographie de réseaux :

y

arête

=Aυ

OD

. (3.5)

En pratique, cette équation n’est pas utilisée directement pour simuler les vésicules. La stratégie adoptée

pour la simulation est plutôt la suivante : à chaque vésicule générée est associée une paire OD parmi

celles spécifiées par l’utilisateur. Puis, un chemin parmi les k chemins les plus courts obtenus avec

l’algorithme de Yen (Yen 1971) lui est associé, suivant les probabilités définies dans (3.2).

Le comportement dynamique des vésicules est complètement établi grâce à la tomographie de

réseaux. Pour afficher les vésicules sur une image, il suffit de leur associer une photométrie.

t = 1 sec t = 2 sec t = 3 sec t = 4 sec t = 5 sec

t = 6 sec t = 7 sec t = 8 sec t = 9 sec t = 10 sec

t = 11 sec t = 12 sec t = 13 sec t = 14 sec t = 15 sec

t = 16 sec t = 17 sec t = 18 sec t = 19 sec t = 20 sec

FIGURE 3.2: 20 portions d’images consécutives extraites d’une séquence d’images réelle sur lesquelles une vésicule se déplace de la droite vers la gauche (une correction gamma est appliquée pour une meilleure visu-alisation).

Dans le document Modélisation et estimation du trafic intracellulaire par tomographie de réseaux et microscopie de fluorescence (Page 60-63)