Diffusion dans le cytosol

La diffusion est un phénomène de transport irréversible qui se traduit par la migration d’espèces

chimiques dans un milieu. Sous l’effet de l’agitation thermique, on observe un déplacement des zones de

forte concentration (sources) vers celles de faible concentration (puits) afin d’arriver à une concentration

homogène. Lors de leur phase de diffusion cytosolique, les protéines Rab6 se déplacent de la périphérie

de la cellule qui est le lieu de dissociation des vésicules (vraisemblablement des points d’entrée dans le

reticulum endoplasmique) vers l’appareil de Golgi, auquel elles s’accrochent ensuite. Les sources sont

ainsi formées par les protéines qui se dissocient des vésicules, et le puits est constitué par l’appareil de

Golgi, destination des protéines en diffusion. L’équation de la chaleur introduite en 1811 par Fourier

pour décrire la conduction thermique permet également de caractériser ce phénomène de diffusion. Par

conséquent, nous reprenons cette équation aux dérivées partielles pour simuler la diffusion cytosolique.

Soit ut l’image 2D simulée à l’instantt, Ω

cell

⊂ S ⊂ R

²

le support borné de la cellule et S le

support (rectangulaire) de l’imageu. L’équation de la chaleur au pointsest de la forme :

∂u(s, t)

∂t ^=K

^d

^{∆u(s, t),} ∀s∈ S, (3.13)

où∆est l’opérateur laplacien etK

_d

∈Rest le coefficient de diffusion des protéines Rab6 marquées par

la GFP. Ce coefficient dépend aussi du coefficient de diffusion connu de la GFP (White & Stelzer 1999)

et de la taille des protéines. Il est estimé à 100µm

²

/sec, soit une diffusion très rapide. À l’échelle de

la cellule, cette diffusion est imperceptible si l’échantillonage temporel est trop grand. De plus, pour

simuler l’équation de la chaleur sans diverger en recourant à un schéma aux différences finies explicite

en temps, il faut que l’échantillonnage temporelδtsoit suffisamment faible (Morton & Mayers 2005).

(a) (b) (c) (d)

FIGURE3.7: Exemples simples de zones locales situées sur le bord de la cellule. Le bord de la cellule résultant de la discrétisation sur la grille de pixels est représenté par des lignes noires tandis que le bord réel local est illustré par des lignes bleues. Les pixels sont illustrés pas des croix vertes pour ceux qui sont à l’intérieur de la cellule et par des croix rouges pour ceux qui sont à l’extérieur de la cellule.

Ainsi, si δt = 0,1, un échantillonnage temporel d’une image par seconde et une résolution spatiale

de 64,5nm×64,5nm pour les pixels nécessite24000itérations. Comme le phénomène de diffusion

dans ce cas est négligeable, un simple moyennage de l’intensité dans la cellule peut suffire pour prendre

en compte la phase cytosolique des protéines Rab6 lors de la simulation. En revanche, si le but est

d’observer finement l’évolution de la diffusion dans la cellule avec un échantillonage temporel plus

faible, en particulier pour des mesures de quantification, alors il est recommandé de simuler l’équation

de la chaleur, avec une surcharge calculatoire.

Pour simuler une diffusion, il faut d’abord préciser les conditions initiales. Dans notre cas, cela

revient à fixer une concentration initiale de fluorescenceC

₀

à l’intérieur de la cellule :

u(s,0) =C

₀

, ∀s∈Ω

_cell

. (3.14)

Puisque la cellule est un réservoir fermé, il faut aussi préciser les conditions aux bords de la cellule. Il

n’y a pas d’échanges entre le cytosol et le milieu extérieur de la cellule en ce qui concerne Rab6. Cette

contrainte s’exprime par la condition aux limites de Neumann :

n(s).∇u(s, t) = 0, ∀s∈∂Ω

_cell

, (3.15)

oùn(s)représente le vecteur normal unitaire au points,∂Ω

_cell

décrit le bord de la cellule et∇u(s, t)

est le gradient spatial de l’image au pointset à l’instantt. La simulation étant réalisée sur un support

discret (grille de l’image), ces conditions aux bords ne sont pas simples à vérifier sur le plan numérique.

La méthode des éléments finis (Bathe & Khoshgoftaar 1979) permet de le faire de manière exacte,

mais elle s’avère lourde à mettre en oeuvre. En pratique, nous préconisons quelques approximations

(différences finies) pour simuler cette diffusion.

La contrainte aux bords (3.15) est équivalente à imposer un gradient spatial nul aux frontières de la

cellule. L’opérateur laplacien calculé en un point fait intervenir ses quatre voisins. Si ces voisins sont

localisés en dehors du supportΩ

_cell

de la cellule, il faut leur attribuer une valeur telle que le gradient

spatial soit nul au bord. Quand le bord de la cellule coïncide avec la grille des pixels comme sur

l’exem-ple (a) de la figure3.7, il est facile d’attribuer une valeur d’intensité pour le pixel situé à l’extérieur de

la cellule (pixel n

^◦

1) afin d’imposer un gradient local nul. En effet, une intensité égale à celle observée

au pixel n

^◦

5 annule la contribution du gradient spatial projeté le long de la normale au contour. En

re-vanche, sur l’exemple (b), le bord réel de la cellule illustré en bleu, ne coïncide pas avec la grille des

pixels. Par conséquent, l’intensité à attribuer au pixel n

^◦

1 doit être interpolée en considérant les pixels

n

^◦

2, n

^◦

4 et n

^◦

5. Souvent en analyse d’images, seul le voisin symétrique par rapport au pixel considéré

est pris en compte (effet miroir). Dans cet exemple, l’intensité observée au pixel n

^◦

5 serait attribuée à

(a) (b)

(c) (d)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Temps

Somme de l’intensite

Region 1 Region 2 Region 3 Region 4

(e)

FIGURE3.8: (a) Domaines de diffusion représenté en blanc et source de diffusion illustrée en rouge ; (b-d) trois images simulant la diffusion du disque à l’intérieur du carré ; (e) mesure de l’intensité présente dans chaque région labellisée en vert sur la figure (a).

celle du pixel n

^◦

1. Cependant, le gradient spatial projeté suivant la normale au bord vue du pixel n

^◦

3

(contour noir) est nul, mais il ne l’est pas suivant la normale à la frontière locale (contour bleu). Pour

éviter ces effets, nous utilisons directement l’équation (3.15). Les composantes du gradient spatial sont

définies de la manière suivante :

∇u(s) = (u(s

_x

+ 1, s

_y

)−u(s

_x

−1, s

_y

), u(s

_x

, s

_y

+ 1)−u(s

_x

, s

_y

−1))

^T

. (3.16)

Soit le masque qui définit le supportΩ

_cell

de la cellule défini au pixelscomme :

a

_cell

(s) =

1 sis∈Ω

_cell

,

0 sinon. ^(3.17)

Le vecteur normal au bord de la cellule est calculé sur un voisinage3×3autour du pixel central :

n(s) =









a

_cell

(s

_x

−1, s

_y

−1) +a

_cell

(s

_x

−1, s

_y

) +a

_cell

(s

_x

−1, s

_y

+ 1)

−(a

_cell

(sx+ 1, sy−1) +a

_cell

(sx+ 1, sy) +a

_cell

(sx+ 1, sy+ 1))

a

_cell

(s

_x

−1, s

_y

−1) +a

_cell

(s

_x

, s

_y

−1) +a

_cell

(s

_x

+ 1, s

_y

−1)

−(a

_cell

(s

_x

−1, s

_y

+ 1) +a

_cell

(s

_x

, s

_y

+ 1) +a

_cell

(s

_x

+ 1, s

_y

+ 1))







^.

(3.18)

L’équation (3.15) peut donc s’écrire de la manière suivante :

n(s)·

u(sx+ 1, sy)−u(sx−1, sy)

u(s

_x

, s

_y

+ 1)−u(s

_x

, s

_y

−1)

= 0. (3.19)

Tant qu’il n’y a pas plus d’une inconnue, la résolution de (3.19) est triviale. S’il y a deux inconnues,

une selon chaque direction, alors l’une des deux inconnues est initialisée avec l’intensité observée au

point de coordonnées(s

_x

, s

_y

). Les deux variables à déterminer sont estimées de manière croisée dans

un processus itératif. Enfin, il reste deux situations pour lesquelles (3.19) n’est pas suffisante. Ces deux

situations sont illustrées sur la figure 3.7 (c) et (d) où l’intensité des pixels n

^◦

2 et n

^◦

4 coïncide avec

celle observée au pixel n

^◦

3. Dans le cas (d), l’intensité du pixel n

^◦

5 est attribuée à celle du pixel n

^◦

1.

Ainsi, le gradient spatial projeté dans la direction normale au bord est nul. Toutefois, la normale n’est

calculée que sur un voisinage local, ce qui entraîne encore quelques approximations. Afin d’évaluer si

ces approximations sont négligeables, nous proposons de mesurer l’effet de la diffusion sur un domaine

carré. La figure3.8(b) décrit l’initialisation et les figures (c) et (d) sont des images calculées après un

certain temps. Afin de vérifier si la diffusion est identique quelle que soit l’orientation des contours, la

somme de l’intensité à l’intérieur de chaque zone verte dans la figure (a) est calculée et reportée dans

le graphe (e). On constate que la diffusion est la même dans chacune de ces régions. Cette quantité

est sensée rester constante puisqu’il n’y a pas de fuite en dehors du carré (condition aux limites de

Neumann). Il s’avère que cette quantité ne demeure pas constante. Les variations maximales observées

par rapport à la quantité initiale sont de l’ordre de 0,1%, ce qui semble légitimer cette approximation.

La dernière phase du cycle de Rab6 (ancrage à l’appareil de Golgi) est décrite dans la section

suiv-ante.

Dans le document Modélisation et estimation du trafic intracellulaire par tomographie de réseaux et microscopie de fluorescence (Page 70-73)