Modèle de March/Peybernès

Ce modèle a été initialement développé par Peybernès [18] puis amélioré par March [40]. Des études concernant le transfert de masse et de chaleur entre une surface chauffante et un écoulement monophasique ont montré que la principale résistance aux transferts se situe au niveau de la couche laminaire. Dans le cas des écoulements diphasiques, la nucléation des bulles à la paroi "détruit" la couche laminaire et entraîne une amélioration conséquente des transferts thermique et de masse. La résistance aux transferts se situe, dans le cas des écoulements diphasiques, au niveau de l’interface entre la couche de bulle qui se développe à la paroi et le cœur de l’écoulement (cf. figure 2.19). La présence de bulles entraîne en effet l’isolement partiel de la paroi du liquide. La modélisation de l’enrichissement présentée par Peybernès [18] est basée sur un bilan de masse dans une couche de fluide proche de la paroi et dépend fortement de la position de cette couche de bulle.

Figure 2.19 : Développement de la couche de bulles à la paroi lors de l’établissement d’un régime d’écoulement diphasique [18].

Le calcul du facteur d’enrichissement se fait en deux étapes : le calcul de la concentration moyenne de l’espèce considérée dans la phase liquide en présence de vapeur par un bilan

de masse axial et le calcul du facteur d’enrichissement à partir du calcul précédent via un bilan de masse radial.

2.2.1.2.1 Calcul de la concentration de l’espèce considérée dans le liquide en présence de vapeur par un bilan de masse radial

En reprenant les notations de la figure 2.19 on peut établir le bilan de masse suivant dans la couche de bulles :

ρv· α · v_v· C_v+ ρ_l· (1 − α) · v_l· C_l= ρ_l· v₀· C₀ (2.39) Avec :

• ρ_v : la masse volumique de la phase vapeur (kg.m⁻³), • v_v : la vitesse de la phase vapeur dans l’écoulement (m.s⁻¹),

• C_v : la concentration de l’espèce considérée dans la phase vapeur (kg.m⁻³), • ρ_l : la masse volumique de la phase liquide (kg.m⁻³),

• α : le taux de vide moyen dans la couche de bulles à une cote z donnée, • v_l : la vitesse de la phase liquide (m.s⁻¹),

• C_l : la concentration de l’espèce considérée dans la phase liquide (kg.m⁻³), • v₀ : la vitesse du fluide au cœur de l’écoulement (m.s⁻¹),

• C₀ : la concentration de l’espèce considérée au cœur de l’écoulement supposé liquide (kg.m⁻³).

On obtient ainsi la concentration moyenne de l’espèce considérée dans la phase liquide :

C_l = C₀

Γ · ¯x + (1 − ¯x) ^(2.40)

Avec les notations suivantes :

Γ = Cv C_l α = x · ρ^¯ _l (1 − ¯x) · ρ_v· γ + ¯x · ρ_l γ = v_l vv Et :

• ¯x : le titre massique moyen sur l’épaisseur de la zone où s’effectue le bilan de masse ∆z.

Nous pouvons ainsi déduire un facteur d’enrichissement axial entre une zone avec ébullition et une zone sans ébullition, son expression est la suivante :

FE = Cl C0 = G1→2 G2→1 · ¹ (1 − ¯x) + Γ · ¯x ^(2.41) Avec :

• G_1→2 : le débit spécifique de la zone 1 du fluide vers le zone 2 (cf. figure 2.20), • G_2→1 : le débit spécifique de la zone 2 du fluide vers le zone 1 (cf. figure 2.20). Nous allons nous intéresser maintenant au bilan de masse radial.

2.2.1.2.2 Détermination du facteur d’enrichissement par un bilan de masse radial

Les échanges de masses entre le cœur de l’écoulement (zone 1 de la figure 2.20) et la couche de bulles (zone 2 de la figure 2.20) entraînent une répartition radiale des espèces chimiques concernées. La concentration d’une espèce à la paroi dépend des échanges transverses qui peuvent être formulés par le bilan de masse suivant dans la couche de bulles (avec les notations de la figure 2.20) :

Figure 2.20 : Bilan de masse dans une couche de fluide proche de la paroi [18].

˙ mv· 2 · π · R · ∆z +^M^˙2+ ∆ ˙M2  · (1 − x₂− ∆x₂) + 2 · π · (R + δ) · ∆z · G_2→1 = ˙M2· (1 − x₂) + 2 · π · (R + δ) · ∆z · G_1→2 ^(2.42) Avec :

• ˙mv· 2 · π · R · ∆z : le débit d’eau vaporisée sur ∆z,

• ^M^˙₂+ ∆ ˙M₂^· (1 − x₂− ∆x₂) : le débit axial de liquide quittant la couche de bulles, • 2 · π · (R + δ) · ∆z · G_2→1 : le débit radial de liquide quittant la couche de bulles sur ∆z, • M^˙₂· (1 − x₂) : le débit axial de liquide entrant dans la couche de bulles,

• 2 · π · (R + δ) · ∆z · G_1→2 : le débit radial de liquide pénétrant dans la couche de bulles sur ∆z.

Et :

• R : le rayon de l’élément chauffant (m), • δ : l’épaisseur de la couche de bulles (m), • x₂ : le titre massique dans la zone 2,

• M^˙₂ : le débit spécifique à l’entrée de la zone 2 (kg.m⁻².s⁻¹). En négligeant les termes du second ordre, l’équation 2.42 devient :

˙ m_v· ^R R + δ ⁻ ˙ M₂· ∆x₂ 2 · π (R + δ) · ∆z ^{+ G2→1= G1→2 (2.43)} En considérant que ^M˙2·∆x2

2·π(R+δ)·∆z ≈ 0 et δ << R on obtient le bilan simplifié suivant : ˙

A partir de l’équation (2.44), Peybernès calcule un facteur d’enrichissement, cependant, selon March [40] la modélisation de l’enrichissement présenté par Peybernès comporte les limitations suivantes :

– Il a été supposé dans le modèle de Peybernès que la re-condensation des bulles dans la zone 2 était négligeable (l’épaisseur de cette couche est de 5, 5 · D_b d’après Weisman et Pei [41]). Or la re-condensation peut se produire dès lors que les bulles se trouvent en dehors de la couche de liquide surchauffée. Pujet [42] montre que les bulles en contact avec la paroi atteignent des diamètres bien supérieurs à celui de cette couche de bulles. L’épaisseur de la couche de bulles fixée par Weisman et Pei ne permet donc pas de négliger le flux de re-condensation.

– Le modèle de Peybernès utilise la corrélation de Yang [43] pour le calcul des diamètres de bulles au détachement. Il apparait, d’après les résultats expérimentaux de March, que les diamètres de bulles calculés par cette corrélation sont très inférieurs à ceux qui ont été mesurés comme le montre le tableau 2.12. Ce tableau présente des résultats de mesures de diamètres de bulles en conditions REP primaires ainsi qu’une comparaison avec les modèles de Yang [43] et Unal [44]. A la suite de cette étude, March propose d’utiliser la corrélation d’Unal.

Diamètre mesuré (µm) Référence March [40] Yang [43] Unal [44]

P155-GB-S1 100 29 70

P155-GB-S2 150 29 100

P155-GB-S3 170 29 140

P155-GB-S4 150 27 120

P155-GB-S5 110 25 100

Tableau 2.12 : Comparaison entre les diamètres de bulles au détachement mesurés par March [40] et ceux calculés par les corrélations de Yang [43] et Unal [44].

– La formulation du débit spécifique transverse G⁰ donnée par Peybernès intègre les deux limitations précédentes, l’expression de G⁰ devra donc être modifiée.

L’expression (2.40) donnant la concentration moyenne d’une espèce chimique dans la phase liquide en présence de vapeur est conservée. De la même manière que Peybernès, March construit son raisonnement sur un bilan de masse (cf. figure 2.21), sauf qu’il considère que la zone 2 de Peybernès est divisée en deux zones.

Figure 2.21 : Bilan de masse [40]. Les notations de la figure 2.21 sont les suivantes :

• G_C−P : le débit spécifique transverse liquide de la zone cœur vers la zone paroi (kg.m⁻².s⁻¹), • G_{P −C}: le débit spécifique transverse liquide de la zone paroi vers la zone cœur (kg.m⁻².s⁻¹). Le raisonnement de March est identique à celui de Peybernès jusqu’à l’établissement de l’équation . De cette équation on en déduit :

˙

mv· C_v+ G_{P −C}· C_{P −C} = G_C−P · C_l (2.45) Le terme C_{P −C} correspondant à la concentration de l’espèce considérée du fluide allant de la zone P à la zone C. March propose la relation suivante pour le calcul de cette concentration : C_{P −C} = k · C_p+ (1 − k) · C_l Avec : k = es δ a es = L · (Tp− T_sat) Φ δ = D_b 2

L’échange thermique à travers la couche de liquide surchauffée e_s est supposé comme se faisant par conduction pure. L’équation 2.45 peut se réécrire de la manière suivante :

[G_C−P − G_{P −C}· (1 − k) − ˙m_v· Γ] = k · G_{P −C}· C_p (2.46) De cette équation on peut calculer le facteur d’enrichissement :

FE = Cp C₀ ⁼ nc+ β · (1 − Γ) − 1 n_c− 1 ^· 1 (1 − ¯x) + Γ · ¯x ^(2.47)

Avec : nc = GC−P ˙ m_v β = ¹ k