CHAPITRE 4 MÉTHODOLOGIE NUMÉRIQUE
4.3 Programme développé
4.3.2 Modèle d’Empilement Compressible (CPM)
En donnée d’entrée de l’algorigramme se trouve un nombre. Ce nombre est compris entre 1 et le nombre de compositions à tester, chacune d’entre elles ayant été validées par la fonction « Mélange ».
Ce nombre est alors transformé par la fonction « Changement de base » qui permet de transformer un nombre de la base 10 à la base « Différence max ». C’est ce nombre en base « Différence max » qui permet d’associer un nombre en base 10 à une formulation.
La fonction « Composition » affecte un des mélanges établis par la fonction « Mélange » à chaque nombre en base « Différence max ». À cette fin, pour chacune des composantes, la fonction « Composition » ajoute au pourcentage massique minimal la valeur du rang associé à chacune des composantes, le rang associé à une composante correspondant à une des « décimales » en base « Différence max ». Par exemple, le Tableau 4.2 présente l’ensemble des pourcentages massiques à étudier pour un mélange de quatre composantes pour lesquelles la fonction « Différence max » prend une valeur égale à 8. Un total de 4096 combinaisons potentielles est ainsi à étudier. Pour une combinaison de 4 composantes, la fonction « Composition » navigue dans le tableau en affiliant le numéro (en base « Différence max ») correspondant aux milliers à la première colonne, le numéro (en base « Différence max ») correspondant aux centaines à la deuxième colonne, et ainsi de suite pour les composantes subséquentes. De cette manière, les nombres conservés par la fonction « Mélanges » sont associés à une et une seule composition, tel que présenté au Tableau 4.3. Par exemple, pour la combinaison 3737 (en base « Différence max »), la fonction récupère le pourcentage massique de la composante 1 (31) et y ajoute le chiffre affilié aux milliers (3) : 31+3 = 34. Elle procède ensuite de même pour chacune des composantes associées à une des colonnes.
Tableau 4.2: Pourcentages à combiner pour 4 composantes (extrait du programme)
Tableau 4.3: Exemple de fonctionnement de « Composition » avec « Changement de base » (extrait du programme)
La fonction « Volumique » utilise ensuite les densités de chacune des composantes pour transformer les pourcentages massiques donnés par la fonction « Composition » en pourcentages volumiques.
La fonction « Passant cumulé » calcule la courbe granulométrique volumique du mélange de composantes considérées. Le calcul consiste en la détermination du pourcentage de passant cumulatif pour chacune des classes de grains, à partir des pourcentages volumiques et des granulométries des composantes.
La fonction « Passant par classe » calcule les pourcentages de passants volumiques compris entre classes consécutives, pour chacune des classes séparément. C’est l’équivalent du calcul de pourcentage d’éléments retenus sur chacun des tamis de granulométrie, ce calcul étant effectué de manière volumique. Il s’agit simplement de la différence comprise entre les passants volumiques cumulés de la classe 𝑖 et les passants volumiques cumulés de la classe 𝑖 + 1, pour tout 𝑖.
Les compacités résiduelles sont mesurées pour l’ensemble des classes granulaires d’une composante donnée. Ainsi, les compacités résiduelles pour chacune des classes granulaires au sein d’un mélange de composantes ne sont pas disponibles. La fonction « Beta_i par classe » permet de les déterminer en effectuant la moyenne pondérée des compacités résiduelles de chacune des composantes utilisées, par application de l’équation 4.1. Ce calcul prend en compte les compacités résiduelles des composantes, les pourcentages volumiques calculés avec la fonction « Volumique » et les distributions granulométriques.
𝛽𝑖 = ∑ 𝑔𝑖𝑘𝑡𝑘𝛽𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑦𝑖 (4.1) Où :
- 𝛽𝑖 est la compacité résiduelle moyenne pondérée de la combinaison de composantes
considérée, pour la classe 𝑖 ;
- 𝑔𝑖𝑘 est le pourcentage volumique de passants de la composante 𝑘 à la classe 𝑖 ;
- 𝑡𝑘 est le pourcentage volumique de la composante 𝑘 au sein de la combinaison de
composantes considérée ;
- 𝛽𝑘 est la compacité résiduelle de la composante 𝑘 ;
- 𝑦𝑖 est le pourcentage volumique de passant de la classe 𝑖 calculé par la
fonction « Passant par classe ».
Les fonctions « Aij » et « Bji » sont calculées une fois seulement et font office de tableaux de données au sein de la programmation. Ces fonctions utilisent les équations présentées à la section 2.2.1.5 (équations 2.35 et 2.36) pour déterminer les coefficients 𝑎𝑖𝑗 et 𝑏𝑗𝑖. Ces coefficients sont calculés en fonction du nombre de classes et de la taille des grains de chacune des classes étudiées. Le calcul des coefficients génère deux tableaux de données dont un exemple est présenté aux Tableau 4.4 et Tableau 4.5.
Tableau 4.4: Exemple de tableau des coefficients 𝑎𝑖𝑗 (extrait du programme)
Tableau 4.5: Exemple de tableau des coefficients 𝑏𝑗𝑖 (extrait du programme)
Les fonctions « Calcul intermédiaire A » et « Calcul intermédiaire B » permettent d’alléger la fonction de calcul « Gamma_i ». Elles déterminent les résultats des sommes contenues au dénominateur du calcul de compacité par classe dominante (encadrés en rouge au dénominateur de l’équation 2.33). Elles utilisent les fonctions « Aij », « Bji », « passant par classe » et « Beta_i par classe».
La fonction « Gamma_i » calcule les 𝑛 compacités en considérant que la classe 𝑖 parmi 𝑛 est dominante, par application de l’équation 2.33. La fonction « Compacité théorique » conserve uniquement la compacité virtuelle 𝛾𝑖 la plus petite parmi l’ensemble des compacités 𝛾𝑖 calculées.
𝛾𝑖 = 𝛽𝑖 1 − ∑ [1 − 𝛽𝑖+ 𝑏𝑗𝑖𝛽𝑖(1 −𝛽1 𝑗)] 𝑦𝑗 𝑖−1 𝑗=1 − ∑ [1 − 𝑎𝑖𝑗𝛽𝛽𝑖 𝑗] 𝑦𝑗 𝑛 𝑗=𝑖+1 (2.33) répétée
La fonction « Compacité (itérations) » fixe une valeur sous-estimée de la compacité réelle du mélange de composantes considérées. Cette compacité est utilisée pour le calcul de 𝐾 par application de l’équation 2.37, calcul effectué en utilisant la fonction « K calculé ». Le 𝐾 ainsi calculé est comparé au 𝐾 fixé par l’opérateur. La fonction « K calculé » permet alors de fixer une nouvelle compacité réelle dans la fonction « Compacité (itérations) » et de recommencer le calcul de 𝐾. Ce calcul itératif se poursuit jusqu’à ce que la compacité réelle corresponde au 𝐾 fixé par l’opérateur. La compacité réelle ainsi déterminée est indiquée au tableau de résultats, et ce pour chacune des compositions testées.