Dans le second modèle de propagation, on prend en compte à la fois les phénomènes de transmission et de réfraction tout en négligeant ceux liés à la diffraction. La prise en compte de la réfraction nécessite de tenir compte de l’angle d’incidence de l’onde sur le substrat diélectrique. Pour ne prendre en compte que la réfraction et la transmission, le front d’onde incident sur la lentille est analysé et la direction incidente du vecteur de poynting est déterminée puis prise comme direction initiale du chemin optique. Ce chemin optique subit alors les lois de la réfraction à l’interface et dans le composant diélectrique. Avec les approximations de ce modèle, la phase et la distribution spatiale du champ résultant en sortie du composant est modifiée en fonction des angles d’incidence de chaque chemin. Ce modèle est appelé chemins réfractés. La Figure 59 montre le lien entre les chemins réfractés et la configuration des ondes secondaires de Huygens pour ce modèle.
Figure 59 : (a) front d’onde de Huygens approximé par (b) des chemins optiques réfractés à partir des lois de l’optique géométrique.
Dans la pratique, un unique chemin incident est pris sur chaque structure. Ce chemin subi une première réfraction à l’interface diélectrique selon la loi de la réfraction de Snell-Descartes de l’équation (II.13). Une nouvelle direction d’évolution de ce chemin est obtenue à la suite de cette première réfraction. Ce chemin évolue alors à l’intérieur du composant à
gradient d’indice en empruntant la trajectoire d’un rayon lumineux dans un gradient d’indice suivant l’équation (II.22).
𝑑
𝑑𝑠( 𝑛𝑒𝑓𝑓 𝑑𝑟
𝑑𝑠) = 𝛻⃗ 𝑛𝑒𝑓𝑓 (II.22)
avec 𝑟 désignant le vecteur position d’un point du chemin optique et s l’abscisse curviligne [84] servant à paramétrer le chemin optique. Lorsqu’un chemin optique arrive sur une des zones de discontinuité de la lentille diffractive, la loi de réfraction de Snell-Descartes est de nouveau appliquée au chemin optique. Ces différentes étapes sont exécutées dans le modèle jusqu’à ce que le chemin optique atteigne la surface de sortie de la lentille. La marche optique totale du chemin est calculée en sommant tous les chemins optiques élémentaires selon l’équation (II.24). Cette marche est alors utilisée pour le calcul de l’amplitude complexe du champ en chaque point de la surface de sortie selon l’équation (II.23). La distribution du champ électrique complexe résultant de l’ensemble des chemins peut alors être utilisée pour calculer le diagramme de rayonnement en champ lointain et le gain de l’antenne.
Ce modèle est utilisé pour simuler la propagation dans la lentille diffractive à gradient d’indice, les chemins optiques associés à cette simulation sont illustrés sur la Figure 60. La comparaison avec CST est faite sur la distribution du champ électrique en sortie de composant sur la Figure 61.
Figure 60 : Modèle du chemin optique réfracté. 𝐸𝑀(𝑋𝑜, 𝑌𝑜) = 𝐸𝑃(𝑋𝑖, 𝑌𝑖) exp (𝑖2𝜋
𝑃𝑀𝑝𝑎𝑡ℎ = ∑ 𝑑𝑃𝑀 𝑛𝑒𝑓𝑓(𝑋, 𝑌) (II.24)
Figure 61 : Distribution du champ électrique en amplitude et phase, à la fréquence de 42 GHz en entrée (gauche), et en sortie (droite) calculé par CST et le modèle de la réfraction.
On remarque que la distribution du champ électrique restituée par le modèle de chemins réfractés présente un effet de zonage du champ, mais il est moins prononcé par rapport aux résultats restitués par CST. Cet effet de zonage est la conséquence de la réfraction des chemins sur les zones de discontinuité d’indice. On note cependant que les effets d’anneau observés au centre de la lentille sur CST ne sont pas restitués par le modèle. On observe aussi une sorte d’effet de damier sur la distribution du champ dans l’ouverture pour le modèle. Cet effet est un artefact de représentation. Il vient des trajets réfractés qui arrivent sur la surface de sortie de la lentille à des positions ne coïncidant pas avec les points de la grille de représentation dans l’ouverture de l’antenne.
On compare ensuite sur la Figure 62 les diagrammes de rayonnement dans les deux plans E et H pour la lentille structurée et sur la Figure 63les diagrammes de rayonnement dans le plan H pour le prisme structuré.
Figure 62 : Diagramme de rayonnement, à la fréquence de 42 GHz. Comparaison entre CST (rouge) et le modèle du piston de la réfraction (bleu).
Figure 63 : Diagramme de rayonnement dans le plan H, à la fréquence de 42 GHz. Comparaison entre CST (rouge) et le modèle de la réfraction (bleu).
On note une remontée des lobes secondaires plus importante que celle restituée par le modèle du piston de phase. Cette remontée est provoquée par le zonage dans la distribution du champ dans l’ouverture. La remontée des lobes n’est toutefois pas suffisante comparé à CST. On retrouve la même tendance sur la remontée des lobes de réseau du prisme. L’écart entre CST et le modèle atteint presque 8 dB sur le lobe à -28° du prisme.
Sur la Figure 64, les comportements dans la bande de fonctionnement pour la lentille diffractive issus du modèle et de CST sont comparés. On observe sur ce modèle une baisse du gain maximal par rapport au modèle précédent. Ce gain est de 32,3 dB, soit 1 dB de moins que le modèle du piston de phase. Le gain est identique à celui calculé par CST. Ce sont les effets de zonage dans la distribution du champ dans l’ouverture qui ont provoqué cette baisse de 1 dB en affectant l’efficacité d’ouverture de l’antenne. On observe aussi que ce maximum de gain est décalé vers les hautes fréquences à 44 GHz associé à un élargissement de la largeur de bande par rapport au modèle précédent. Cette largeur de bande est de 11 GHz comparé au 9,5 GHz sur CST et au 9 GHz du piston de phase.
Figure 64 : Evolution du gain dans la bande de fonctionnement (33-51 GHz). Comparaison entre CST (rouge) et le modèle de la réfraction (bleu).
Analyse du modèle des chemins réfractés
Les effets de la réfraction au niveau de la discontinuité des zones du gradient d’indice sont à l’origine de l’effet de zonage observé à travers ce modèle. Cet effet est aussi directement lié à une remontée des lobes secondaires qui sont plus importants que sur le modèle du piston de phase. La prise en compte dans ce modèle des angles d’incidences est à l’origine du décalage en fréquence dans la bande passante restitué par le modèle. En effet, on peut noter sur la lentille, que les chemins passant près de l’axe subissent un déphasage restituant une onde plane à la fréquence nominale de conception de la lentille 42 GHz, alors que les chemins les plus éloignés de l’axe présentent un trajet incliné par rapport à l’axe de la lentille explorant ainsi un trajet
se fait pour une fréquence plus élevée. En fin de compte, ceci se manifeste par une baisse du gain à la fréquence nominale et une amélioration de celui-ci sur les fréquences hautes voisines de la fréquence nominale. Cet effet a pour conséquence finale d’élargir légèrement la bande et de décaler le maximum de gain vers les hautes fréquences. L’exécution de ce modèle prend environ 1min, ce qui est beaucoup plus long que les 3 secondes du modèle du piston de phase mais reste tout de même très court par rapport aux 6 heures 30 minutes de CST. Cependant, malgré ce faible temps de calcul, ce modèle n’est pas suffisamment précis pour la prédiction des performances. On l’observe sur le niveau de la remontée des lobes secondaires non suffisante et sur l’absence de certains phénomènes non restitués comme les effets d’anneaux observés au centre de la lentille.