L’ingénierie d’indice de réfraction est un domaine important dont les résultats sont utilisés dans diverses applications comme la réduction des réflexions en intercalant une couche d’adaptation d’impédance entre deux milieux d’indices optiques différents. Ce procédé se retrouve naturellement dans l’œil de la mouche. En effet l’œil de la mouche comporte des corrugations agissant comme une variation progressive de l’indice de réfraction, ce qui a pour but de réduire les réflexions et de favoriser ainsi son camouflage [64]. Dans un tout autre domaine, l’ingénierie d’indice est aussi utilisée pour améliorer l’efficacité des fibres optiques. Lorsqu’un gradient d’indice est conçu au cœur de la fibre, celui-ci permet de réduire la dispersion modale des trajets optiques. Le signal transmis dans une telle fibre voyage sur de plus grandes distances avant d’être régénéré. Ceci est un avantage décisif du point de vue économique par rapport à une fibre classique à saut d’indice.
Dans le cadre de cette étude, l’ingénierie d’indice est réalisée grâce au contrôle de l’état de structuration d’un matériau diélectrique unique. De manière générale, le procédé repose sur des résultats issus de la théorie du milieu effectif. Cette théorie permet d’exprimer les propriétés effectives ou macroscopiques d’un milieu en fonction de ses propriétés locales. Pour un matériau périodique structuré fonctionnant en transmission, on admet que ce dernier est équivalent à un matériau homogène si le champ électromagnétique, après traversée de ce matériau structuré, se comporte de façon identique à celui qu’il aurait été s’il avait traversé un milieu homogène d’indice donné.
L’équivalence faite à partir de la théorie du milieu effectif n’est cependant valable que si certaines conditions sont respectées. Dans le cas d’un matériau structuré unidimensionnel tel que présenté sur la Figure 31, le domaine de propagation est constitué de 3 milieux distincts
que sont le milieu incident avec l’indice de réfraction 𝑛1, le milieu de sortie avec l’indice de refraction 𝑛2, et le milieu structuré périodique constitué d’une alternance de 2 indices de réfraction 𝑛𝑚𝑎𝑥 et 𝑛𝑚𝑖𝑛 différents. Dans [5], Lalanne et Hutley y décrivent comment et sous quelles conditions on peut substituer un réseau structuré périodique par un milieu à indice effectif 𝑛𝑒𝑓𝑓. Cette substitution n’est possible que sous trois conditions :
1) Il faut une absence d’ordres propagatifs diffractés autres que l’ordre 0 dans le milieu incident 𝑛1 et dans le milieu transmis 𝑛2. Cela se traduit par une contrainte sur la période du réseau Ʌ séparant les microstructures. Cette période doit en effet vérifier l’équation (II.1) avec 𝜆 la longueur d’onde du rayonnement incident et θi l’angle d’incidence.
Ʌ 𝜆 <
1
max(𝑛1, 𝑛2 ) + 𝑛1sin (θ)
(II.1)
2) Il ne faut pas qu’il y ait plus d’un mode de Bloch propagatif dans le milieu périodique structuré. Cette condition est atteinte en travaillant en dessous d’une période de coupure Ʌ𝑐 qui dépend de la géométrie des microstructures et de l’angle d’incidence.
3) Il faut une épaisseur suffisamment importante du matériau pour éviter la traversée des modes évanescents par effet tunnel [65]. Cette condition est remplie pour des épaisseurs supérieures à 𝜆/4.
Figure 31 : Equivalence entre un milieu 1D structuré périodiquement et une couche d’indice effectif [5].
Lorsque ces conditions sont remplies, on peut alors substituer au milieu structuré périodique, un milieu à indice de réfraction effectif. La détermination de l’indice de ce milieu
repose sur des calculs effectués à partir des équations de Maxwell, qui sont à la base de l’ensemble des phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques.
Lorsque l’onde incidente qui illumine le matériau structuré présente une longueur d’onde beaucoup plus grande que la période de répétition des structures ( Ʌ ≪ 𝜆), il s’agit d’un régime de propagation particulier appelé dans la littérature limite statique. L’expression analytique de la valeur des indices effectifs dans ce régime a été traitée par Rytov [66] en résolvant les équations transcendantales dans le milieu périodique, obtenues à partir de la condition de continuité des champs tangentiels aux interfaces du milieu structuré. Les indices effectifs obtenus dépendent de la polarisation de l’onde incidente et sont exprimables en fonction du facteur de remplissage 𝜏𝑟 qui représente ici la portion de matière occupée par le milieu à fort indice.
𝑛𝑒𝑓𝑓𝑇𝐸= √𝜀𝑒𝑓𝑓 𝑇𝐸 = √𝜏𝑟𝜀𝑚𝑎𝑥 + (1 − 𝜏𝑟)𝜀𝑚𝑖𝑛 (II.2) 𝑛𝑒𝑓𝑓𝑇𝑀 = √𝜀𝑒𝑓𝑓 𝑇𝑀= 1 √𝜀𝜏𝑟 𝑚𝑎𝑥+ 1 − 𝜏𝜀 𝑟 𝑚𝑖𝑛 (II.3)
Le terme TE désigne la polarisation de l’onde incidente perpendiculaire à la direction de périodisation du milieu, et TM pour la polarisation parallèle. 𝜀𝑚𝑎𝑥 désigne la permittivité du milieu à l’indice optique le plus élevé, et 𝜀𝑚𝑖𝑛 pour celui ayant le plus faible indice.
Hors de cette limite statique, il est nécessaire de résoudre rigoureusement les équations de Maxwell dans la structure afin d’extraire l’indice effectif. Cette résolution s’appuie de manière générale sur la décomposition des champs électrique 𝐸⃗ et magnétique 𝐵⃗ dans la structure en modes de Bloch associés à un développement en série de Fourier de la permittivité du milieu structuré. L’indice effectif est alors égal au rapport de la constante de propagation normalisé du mode de Bloch fondamental 𝑛𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑧/𝑘0, avec 𝑘0 qui désigne la constante de propagation dans le vide. 𝑛𝑒𝑓𝑓 est calculé en résolvant un problème aux valeurs propres présenté dans [67]. Moyennant quelques manipulations mathématiques, on peut exprimer l’indice effectif de la couche structurée en fonction du rapport de la période du réseau sur la longueur d’onde Ʌ/𝜆. Une limitation de cette expression à l’ordre 0 correspond de l’indice effectif dans la limite statique.
𝑛𝑒𝑓𝑓 = 𝑛0+ 𝑛1(Ʌ 𝜆) + 𝑛2( Ʌ 𝜆) 2 + ⋯ (II.4)
L’expression de l’indice effectif jusqu’à l’ordre 2 et 4 respectivement pour les polarisations TM et TE [68] a été développé dans la littérature et présente une bonne correspondance avec les résultats issus de simulations rigoureuses.
Pour les structures périodiques à 2 dimensions telles que présentées sur la Figure 32, il n’existe pas d’expression analytique équivalente. Cependant on peut approximer l’indice effectif d’une structure 2D par l’indice obtenu en prenant la moyenne quadratique des indices selon les deux polarisations en 1D à l’ordre 0 [69]. Le facteur de remplissage 𝜏𝑟 est dans ce cas : 𝜏𝑟 = 𝑎 2 Ʌ2 (II.5) 𝑛𝑒𝑓𝑓2𝐷 = [1 2(𝑛𝑒𝑓𝑓𝑇𝐸 2 + 𝑛𝑒𝑓𝑓2 𝑇𝑀)] 1 2 (II.6)