Nous choisissons d'utiliser le modèle de Bussière dans notre étude, car il met en évidence les deux phénomènes à l'÷uvre dans le processus d'étalement urbain. En eet, ce modèle rend compte d'une part de la croissance urbaine qui correspond à une double progression démographique et spatiale, et d'autre part, il montre bien que l'extension urbaine ne s'est pas faite par un simple phénomène de concrétion, c'est-à-dire un simple rajout de population aux franges du rayon
Guillaume Monchambert Mémoire de Master - Université Lyon 2, ENTPE urbain. C'est aussi l'intérieur du rayon qui s'est modi é. De plus, ce modèle est un modèle monocentrique, et en observant la gure 3, on se rend compte que le modèle monocentrique semble particulièrement adapté à la description de l'agglomération lyonnaise.
Ces deux raisons expliquent donc pourquoi nous choisissons d'utiliser le mo- dèle de Bussière.
Figure 3 Densité de population sur l'agglomération Lyonnaise en 2005
Le modèle développé par Bussière s'inscrit dans la lignée des modèles de localisation néo-classique. Ce modèle reprend donc les hypothèses initiales sous- jacentes à l'analyse néo-classique :
situation de concurrence pure et parfaite de la théorie néo-classique (ato- micité du marché, libre entrée et libre sortie du marché, homogénéité des produits, transparence de l'information et mobilité des facteurs) ;
les agents économiques adoptent un comportement rationnel, c'est-à-dire qu'ils cherchent à maximiser leur fonction d'utilité sous contrainte de re- venu.
Viennent ensuite des hypothèses spéci ques à l'analyse géographique : l'espace urbain est considéré comme posé sur une plaine où aucun em-
placement n'est a priori meilleur qu'un autre. Chaque point de l'espace urbain peut donc être caractérisé par sa seule distance au centre ; les transports sont supposés possibles dans toutes les directions, c'est-à-
Guillaume Monchambert Mémoire de Master - Université Lyon 2, ENTPE dire que le coût de déplacement est strictement proportionnel à la distance au centre ;
les emplois sont tous situés au centre de la ville.
On peut distinguer une forme statique et une forme dynamique selon que le temps est intégré ou non dans la formulation.
1.1 Forme statique
René Bussière étudie la répartition de la population dans l'espace de plu- sieurs villes (Paris, Montréal, Toronto et Zürich) et constate que la forme de la courbe de répartition de la population est relativement semblable quelle que soit la ville :
Figure 4 Population cumulée à partir du centre de la ville
A l'origine, la pente est nulle. Cette pente devient croissante jusqu'à un certain point d'in exion ri, puis décroît ensuite mais reste positive ou nulle. A
partir de là, René Bussière va raisonner en termes de densité exprimée sous la forme d'exponentielle négative (Clark, 1951) puis de population cumulée, c'est-à-dire en considérant la population comprise dans un rayon r de distance au centre. L'équation choisie pour caractériser la densité est la suivante :
D(r) = A ∗ exp(−br)
où D(r) est la densité résidentielle à une distance r du centre, A la densité résidentielle extrapolée au centre de l'agglomération (D(0) = A ) et exp(−br) un coe cient exponentiel de décroissance. Le paramètre de distance r correspond donc ici une approximation du coût généralisé qui est supporté par les habitants à une distance r du centre.
De là, nous pouvons déduire la fonction de population cumulée, notée P (r) :
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P (r) = 2π ˆ
r
0D(r).r.dr
L'équation représentative de la fonction de population cumulée est donc de la forme suivante :
P (r) = 2πA
b2 ∗ [1 − (1 + br) ∗ exp(−br)]
La population totale de l'agglomération N peut aisément être déduite en faisant tendre r vers l'in ni :
P (r)
r→+∞
= 2πA
b2
Les paramètres A et b vont caractériser les villes. Ce seront les paramètres calibrés dans notre modèle.
La forme de la fonction retenue implique trois conséquences majeures : ∂P (r)
∂r = 2πAr ∗ exp(−br) donc
∂P (0) ∂0 = 0
La pente à l'origine est nulle. Cela équivaut à dire que la croissance de la population est quasi-nulle au centre de la ville.
lim r→+∞ dP (r) dr = limr→+∞ 1 exp(−br) = 0
La pente est nulle à l'in ni, autrement dit, la population de l'agglomé- ration est nie et la fonction de population cumulée stagne à partir d'un certain point qui sera considéré comme la frontière de l'agglomération. ∂2P (r)
∂r2 = 2πrA(1 − br) ∗ exp(−br)si r =
1 b
Le point d'in exion de la courbe est situé en 1/b. Avant ce point, la vi-
tesse d'augmentation de la population est une fonction croissante de la distance au centre, au-delà elle en est une fonction décroissante.
1.2 Forme dynamique
Après avoir eectué un raisonnement en statique, René Bussière entre- prend une analyse dynamique a n de mettre en évidence une logique de crois- sance urbaine.
Observation
La gure suivante représente la population cumulée de Paris au début du siècle et en 1968 :
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Figure 5 Évolution de la population cumulée dans le temps et dans l'espace à Paris
On peut observer une diminution de la population au centre de l'aggloméra- tion puis une augmentation de la population au-delà d'un certain point. Il y a ici une double progression de la croissance urbaine : croissance de la population et extension spatiale. De plus, cette croissance a aussi modi é l'intérieur du rayon. Pour apprécier cette évolution, il vaut mieux raisonner en termes de densité radiale. Eectivement, la densité super cielle ne permet pas ici de localiser 1/b, le point d'in exion de la courbe de population cumulée.
Cette densité radiale représente le nombre d'habitants par unité de distance radiale. Elle se dé nit comme étant la dérivée de la fonction de population cumulée par rapport à la distance :
G(r) = dP (r)
dr = 2πAr ∗ exp(−br) = 2πrD(r)
La représentation graphique de cette fonction est de la forme suivante :
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Figure 6 Densité radiale
Ici, 600000 personnes habitent à une distance 1/b du centre. Ce point est
aussi le point d'in exion de la courbe de population cumulée. Si b diminue,1/b
augmente et il y a un éloignement du centre de l'espace qui contient le plus grand nombre d'habitants.
L'évolution de1/bpermet de déterminer de manière dynamique la répartition
de la population, et donc les demandes de construction de logements. Elle met en évidence le principe de croissance par vagues de l'agglomération.
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Figure 7 La croissance par vague d'une agglomération à partir des densités radiales
René Bussière introduit donc le temps dans une équation de population totale cumulée :
P (r, t) = 2πA(t)
b(t)2 ∗ [1 − (1 + b(t).r) ∗ exp(−b(t).r)]
Si l'on est capable de déterminer une relation linéaire A(t) = α + β.b(t) entre A et b comme René Bussière l'a fait pour Paris entre 1911 et 1968, alors il su ra d'estimer N(t), la population totale à l'instant t, pour pouvoir calculer la répartition résidentielle de la population à une date déterminée.
1.3 Forme amendée
La formulation originale de Bussière a été amendée par l'introduction d'un paramètre K. Cette introduction améliore sensiblement les estimations pro- duites et donc la validité du modèle (Bonnafous & Tabourin, 1996) :
P (r) = 2πA
b2 ∗ [1 − (1 + br) ∗ exp(−br)] + K.r
Le paramètre K est en lien étroit avec les eets des infrastructures de trans- port qui modi ent l'accessibilité des communes en fonction de leur rattachement éventuel à un réseau de communication.
Guillaume Monchambert Mémoire de Master - Université Lyon 2, ENTPE Par souci d'exhaustivité, notons ici que le paramètre K peut renvoyer à des bandes radiales. Pour l'estimer, il est donc possible donc découper l'espace en bande radiale :
Figure 8 Exemple de découpage en secteur de la ville (Hoyt, 1939)
Cet amendement permet une meilleure prise en compte des réalités des con - gurations urbaines, surtout si l'on raisonne en distance à vol d'oiseau. En eet, sa pertinence est plus discutable si l'on utilise d'autres variables qui tiennent compte des eets des infrastructures. C'est pourquoi nous n'utiliserons pas le découpage en bandes radiales.