Chapitre 2 Modélisation des modulateurs électro-optiques
2.3. Le modulateur en anneau
2.3.3. Modèle analytique du modulateur en anneau
Le modèle développé pour simuler les caractéristiques d’un modulateur en anneau a été implémenté sous MATLAB. C’est un modèle purement analytique qui ne nécessite pas la puissance de calcul d’un simulateur par éléments finis ou FDTD. Le but de la modélisation est d’inclure la modulation de l’indice effectif via la jonction PN (section 2.1) dans le modèle de l’anneau donné principalement par l’équation (2-29). Le modèle est schématisé par le graphe de la Figure 2.12. La première étape consiste à définir les paramètres de l’anneau, c’est-à-dire :
les dimensions de l’anneau (rayon , longueur de couplage ) ;
la longueur de la zone active ( ). En général la jonction PN occupe environ 70 % de l’anneau car la zone de couplage avec le guide adjacent n’est pas dopée ;
les dimensions du guide d’onde qui sont résumées à la Figure 2.1 ; les concentrations de dopage des zones N, P, N+ et P+ (Figure 2.1) ;
le coefficient de couplage en puissance qui prend des valeurs en général entre 2% et 15%. A partir de , les coefficients de couplage en amplitude et peuvent être déduits = √ et = √ − ;
Puis la deuxième étape consiste à calculer les pertes dans l’anneau qui se décomposent en une part fixe ℎ = dB/m et une part variable dépendant du dopage de la jonction PN. rend compte de l’absorption par porteurs libres (FCA Free Carrier Absorption) qui est un procédé par lequel les photons sont absorbés par des électrons ou des trous libres. Ainsi, l’intensité de l’onde lumineuse est réduite et l’énergie des photons est perdue sous forme de chaleur. L’absorption FCA devient particulièrement importante lorsque les concentrations de dopants impliquées sont
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élevées, ce qui est le cas pour les anneaux que nous cherchons à concevoir. Les problématiques de FCA sont généralement mises en avant lors de la conception de cellules solaires en silicium [116]. Une modélisation classique du phénomène fait appel au modèle de Drude qui étudie les collisions de porteurs libres dans un solide. Cette modélisation suppose une dépendance linéaire du coefficient d’absorption avec la concentration des porteurs et une dépendance quadratique avec la longueur d’onde. C’est le modèle développé par l’équipe de Schroder en 1978 [117]. Il repose sur une hypothèse forte que les paramètres des porteurs libres, notamment leur mobilité, ne dépendent pas de leur concentration. Par conséquent le modèle n’est valable que sur une certaine plage de longueur d’ondes et de concentrations. Suite à cette première mise en équation, d’autres modèles sont apparus sous la forme de paramétrisation du modèle initial. Nous relevons en particulier le modèle proposé par Isenberg et Warta [118] dont l’application s’étend à du silicium fortement dopé, ainsi que le modèle de Rüdiger et al. [119] qui se concentre à des longueurs d’onde de 1 à 2 µm. Les coefficients des différents modèles sont à chaque fois déterminés à partir de mesures expérimentales. Nous avons choisi ici d’implémenter le modèle de Schroder en y introduisant un coefficient correctif qui permet d’adapter le modèle à nos propres mesures. Le coefficient d’absorption est ainsi donné par l’ensemble d’équations (2-30).
Figure 2.12. Modèle analytique du modulateur en anneau
Définition des paramètres de l’anneau μ dimensions, dopage, coefficient de couplage
, , ,
, ℎ , , , ℎ , , , , +, +
= √ , = √ −
Calcul des pertes de l’anneau μ
ℎ = dB. m− , fixé
dépend du dopage de la junction PN
Cf. équation (2-30)
Modélisation de la jonction PN : variation de l’indice de réfraction et
variation des pertes
Estimation de l’indice effectif et de
l’indice de groupe selon Cf. [120]
Cf. section 2.1 et équations (2-8) et (2-9)
Calcul du déphasage dans l’anneau � et du coefficient de pertes
Introduction des paramètres correctifs � et Cf. équations (2-31) et (2-32)
Modélisation du spectre de transmission Cf. équation (2-29)
Caractérisation du modulateur en anneau : résonance, modulation, bande passante
, − , ℚ ∆ ℎ , , , , Cf. sections 2.3.4 et 3.1Error! Reference source not 1 2 3 4 5 6 7
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= e�p(− − ℎ − ∗ , [Np. cm− ] = . × − [µm] [cm− ] , [Np. cm− ] = . × − [µm] [cm− ] [Np. cm− ] = , + , (2-30)La troisième étape consiste à déterminer les profils d’indice de réfraction et d’indice de groupe au sein de l’anneau. En effet, la propagation des modes optiques dans un guide d’onde dépend fortement des dimensions du guide. La modélisation adoptée ici est tirée directement des codes MATLAB fournis dans le livre de Chrostowski et Hochberg [120].
La quatrième étape consiste à introduire la modélisation de la jonction PN. La modulation de la tension appliquée sur la jonction a pour conséquence la modulation de la concentration des porteurs libres. Cette variation, comme nous l’avons expliqué dans la section 2.1, conduit à la variation de l’indice de réfraction du silicium mais également à la variation du coefficient d’absorption selon les équations (2-8) et (2-9).
La cinquième étape consiste à calculer le déphasage � apporté par un tour effectué dans l’anneau et le coefficient de pertes qui interviennent tous deux dans l’expression du spectre de transmission de l’anneau. Ces deux paramètres se calculent facilement en additionnant les contributions dues à un anneau passif et celles dues à la modulation de la jonction PN. Nous obtenons alors les équations (2-31) et (2-32) où un coefficient correctif � (resp. ) est introduit dans l’équation de la phase (resp. dans l’équation des pertes). Ces coefficients permettent d’ajuster le modèle de la jonction PN aux mesures réalisées sur des anneaux résonants. Physiquement ces paramètres sont liés au confinement du mode optique dans le guide d’onde et au recouvrement du mode avec la zone de charge d’espace de la jonction PN. (Dans l’équation (2-32), les coefficients d’absorption ℎ , et sont exprimés en Np/m.)
(2-31)
(2-32) La sixième étape consiste à introduire la modélisation de l’anneau résonant. Nous utilisons l’expression du spectre de transmission (2-29) qui est obtenue par l’approche « round-trip » et qui est valable sur une large plage de longueurs d’onde. Tous ses paramètres ont été définis dans les étapes précédentes.
La septième et dernière étape consiste enfin à analyser les résultats obtenus par cette modélisation. Les principales figures de mérite que nous allons caractériser sont :
la résonance de l’anneau définie par la longueur de résonance , la profondeur − et le facteur de qualité ℚ (équations (2-13), (2-22), (2-24)) ;
la modulation de l’anneau définie par l’efficacité de modulation ∆ ℎ (c’est-à-dire le décalage du pic de résonance en fonction de la tension appliquée) et par la pénalité en transmission dérivée à partir du taux d’extinction et des pertes d’insertion . Des précisions sont apportées dans le paragraphe suivant. La bande passante de l’anneau définie par une limitation optique due au temps de vie des photons dans la
cavité et une limitation électrique due au produit RC de la jonction PN. Ceci sera détaillé dans la section 3.1. Pour conclure sur la description du modèle analytique, il est important de souligner que ce modèle est flexible par rapport aux mesures expérimentales car nous disposons de quatre paramètres permettant d’adapter les courbes modélisées sur des courbes mesurées. Ceci permet de prendre en compte des variations liées au procédé de fabrication par exemple ou de compenser une modélisation trop restrictive de certains phénomènes. Ces quatre paramètres sont : , , � et . Le coefficient de couplage dépend directement du gap entre l’anneau et le guide adjacent. Une loi a été établie expérimentalement, cependant le modèle de l’anneau étant très sensible au couplage (une variation de de 0.01% est significative pour l’anneau), nous avons préféré laisser comme paramètre. suit une loi exponentielle en fonction du gap qui dépend évidemment des dimensions de l’anneau (largeur du guide, rayon et longueur de couplage). La Figure 2.13 donne la courbe de tendance tracée à partir de quatre points de mesure pour des anneaux de caractéristiques =
µm, = µm et = nm. Cette figure sera utilisée notamment lors de la conception des anneaux 50G (Chapitre 3) pour déterminer le gap à appliquer afin d’obtenir le couplage souhaité.
� = + ∗ �
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Figure 2.13. Couplage anneau - guide en fonction du gap pour un anneau de rayon 8µm et de longueur de couplage 2µm