Modèle éléments nis mécanobiologique

Le partie mécanobiologique du modèle EF permet de simuler la croissance osseuse au sein de l'implant poreux en titane implanté sur l'hémimandibule. Puisque la mandibule est considérée comme un os plat, nous prenons uniquement en compte l'ossication primaire, qui, contrairement à l'ossication endochondrale, ne nécessite pas une ébauche cartilagineuse.

La géométrie 2D représente la vue sagittale médiane de l'hémimandibule (Figure IV.10b) et a été obtenue à partir des photos de la corrélation d'images. L'hémimandibule est constituée de deux domaines osseux sains, l'extrémité proximale Σb,p et l'extrémité distale Σb,d et d'un domaine central composé du scaold Σs, des deux interfaces périoste/scaold Σg, et des quatre interfaces os/scaold Σij (l'indice j indique le numéro de l'interface). Les domaines Σset Σij ont été représentés par des fonctions caractéristiques hs et hij spéciques (Annexe C1).

Figure IV.11. a) L'hémimandibule I-12 et b) la géométrie de l'hémimandibule EF implantée : les dimensions, les conditions aux limites et les domaines. A, B et C sont les trois points utilisés pour évaluer la concentration cmlors de l'étude de sensibilité (Annexe C2).

On considère que chaque domaine est constitué d'un matériau élastique linéaire isotrope. Pour les domaines Σb,pet Σb,d, les modules d'Young homogénéisés (Eb,pet Eb,drespectivement) ont été déduits de la courbe expérimentale de exion de la bre neutre de l'hémimandibule à l'aide du modèle poutre présenté au chapitre II (section II.2.3.3). Pour Σs, Σij et Σg, nous supposons qu'à la conguration initiale ils sont remplis d'un tissu granulaire, qui sera progressivement remplacé par de l'os durant les douze semaines. Par conséquent, Es, Eij et Eg varient en fonction du temps et de la minéralisation osseuse et sont dénis comme suit :

Es= (E_s,0(1 − φ_s,0) +φ_s,0(E_t(1 − c_mh_τm) +E_bc_mh_τm))h_s (IV.9) Eij= (Et(1 − cmhτm) +Ebcmhτm)hij (IV.10)

Eg=E_t(1 − c_mh_τm) +E_bc_mh_τm (IV.11) où Es,0 est le module d'Young initial du scaold, Et et Eb sont respectivement les modules d'Young du tissue granulaire et de l'os nouvellement formé, φs,0la porosité initiale du scaold et cm la concentration des cellules mésenchymateuses qui est dénie comme étant la frac- tion de cellules mésenchymateuses au sein du scaold. hτm est la fonction caractéristique qui

permet d'initialiser le processus de minéralisation (Annexe C1). En eet, les ostéoblastes ne sont pas directement modélisés, nous considérons alors que la minéralisation débute après quatorze jours de maturation τm des cellules mésenchymateuses (Malaval et al., 1999) et dure approximativement vingt jours (Eriksen et al., 1986). Ainsi, la fraction d'os minéralisé mb au sein du scaold est dénie par :

mb=c_mh_τm (IV.12)

Nous considérons que cm et mb sont normalisées et peuvent varier entre 0 et 1.

Durant la simulation, une liaison plane est appliquée à la frontière proximale de l'hémi- mandibule, seul le point supérieur est xé, alors que la frontière distale est soumise à un eort constant an de simuler la mastication de la brebis (Thomason et al., 2001) (Figure IV.11b). Nous allons maintenant présenter les équations de diusion qui décrivent l'évolution de la concentration des cellules mésenchymateuses cm au sein des diérents domaines. Dans les domaines Σb,p et Σb,d, nous considérons que cm est constante est égale à la concentration initiale cm,0 au cours du temps, tandis que des conditions de Robin sont imposées sur les frontières ∂Σb,pet ∂Σb,dan de reproduire la prolifération des cellules à l'extérieur du système. L'équation de diusion s'écrit alors

∂cm

∂t =div(D_{´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶}m,b ∇cm) migration

dans Σb,p et Σb,d (IV.13)

(D_m,b ∇c_m, n) = −γ(c_m,0−c_m) sur ∂Σ_b,p et ∂Σ_b,d (IV.14) où (a,b) dénit le produit scalaire de deux vecteurs a et b, γ est une constante et n est la normale sortante aux frontières externes. Dm,best un tenseur qui couple la concentration cm aux containtes et aux directions principales comme suit

Dm,b=α_bI + β_b( √

∣σ_I∣φ_σI⊗φ_σI+ √

∣σ_II∣φ_σII⊗φ_σII) (IV.15) avec αbet βbdes constantes spéciques et φσIet φσIIles directions des contraintes principales σI et σII. |.| et ⊗ dénissent respectivement la valeure absolue et le produit tensoriel.

L'évolution de cm au sein du scaold est dénie par l'équation de diusion suivante ∂cm ∂t =div(D_{´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶}m,s ∇cm) migration + P_m ° prolifération (IV.16) où les deux termes à droite décrivent respectivement les processus de migration et de proli- fération. Tout comme dans l'équation IV.15, Dm,s est couplé à la mécanique du problème comme suit

2. MODÈLE SIMPLIFIÉ 2D

Dm,s=α_sI + β_s( √

∣σ_I∣φ_σI⊗φ_σI+ √

∣σ_II∣φ_σII⊗φ_σII) (IV.17) où αs et βs sont des constantes spéciques.

La prolifération des cellules mésenchymateuses Pm est exprimée par

Pm=P_m,0(1 − c_m)c_m (IV.18)

avec Pm,0 le taux de production des cellules mésenchymateuses.

La migration des cellules mésenchymateuses s'eectue depuis les domaines osseux proxi- mal et distal mais également depuis le périoste. Ainsi, les équations de diusion présentées précédemment sont couplées avec une condition de Robin sur la frontière du périoste ∂Σp

(Dm,s ∇cm, n) = −γ(cm,0−c_m)sur ∂Σ_p (IV.19)

2.2 Résultats

2.2.1 Résultats expérimentaux

Comme mentionné dans la section IV.2.1, un essai de exion simple a été réalisé sur trois hémimandibules : NI-0, I-0 et I-12. Les courbes de déections des bres neutres des trois hémimandibules sont représentées sur la Figure IV.12.

Figure IV.12. Courbes expérimentales de déection des bres neutres des hémimandibules NI-0 et I-0 à t=0 et de I-12 à t=12 semaines.

Tout d'abord, il est possible d'observer une nette diérence entre les deux courbes NI- 0 et I-0. En eet, pour NI-0 la courbe est quasiment une droite, tandis que la courbe I-0 présente deux changements locaux de pente qui correspondent respectivement aux interfaces os/scaold proximale et distale. Enn, en comparant la courbe I-0 à t = 0 à la courbe I-12 à t = 12 semaines, nous pouvons constater que la déection est moins importante pour I-12 que pour I-0.

Ces résultats conrment que (i) le scaold ne soutient pas la totalité de la charge et (ii) la colonisation cellulaire et la minéralisation osseuse aectent la réponse mécanique globale du système via l'augmentation du module d'Young au sein du scaold et aux interfaces os/scaold proximale et distale.