Modèle éléments finis de la toiture

Figure III. 17 : Géométrie et répartition des fermettes de la toiture à combles perdus étudiée dans le

cadre du projet SISBAT [7]

Dans le cadre du projet SISBAT, il est demandé d’effectuer des calculs stochastiques (i.e. analyse de tendance centrale, analyse de sensibilité ou analyse de fiabilité) afin de cerner

161 l’effet des différentes sources d’incertitudes sur le comportement d’une habitation individuelle installée dans un territoire à forte sismicité. Dans cette perspective, un modèle éléments finis, développé sur le code éléments finis Code_Aster, nous a été fourni par le LMT

[159], partenaire du projet SISBAT. Il permet de simuler le comportement dynamique non

linéaire d’une toiture à ossature bois de dimensions réelles sollicitée par une action sismique. Notre tâche consiste à y intégrer les différentes sources d’incertitudes et de quantifier leurs effets sur l’évolution de l’endommagement, en utilisant la stratégie de calcul stochastique développée dans le chapitre précédent. Mais avant d’entamer cette tâche, nous nous proposons, dans ce paragraphe, de présenter brièvement le modèle éléments finis de la charpente d’une toiture à combles perdus de dimensions 8, × 12,, dont la figure III.17 illustre la géométrie et la répartition des fermettes.

Notons que le modèle éléments finis de la toiture à l’échelle réelle (cf. figure III.17) a été validé en comparant les estimations fournies par le modèle aux résultats des essais effectués sur des maquettes de dimensions réduites 6, × 6, dont la géométrie est illustrée sur la figure III.18.

Figure III. 18 : Géométrie de la maquette de toiture à combles perdus testée dans le cadre du projet

SISBAT [7]

Afin d’être le plus représentatif possible du comportement réel d’une toiture installée au dessus d’une maison individuelle, le modèle éléments finis prend en compte les chaînages représentés par des poutres en béton armé de section 0,15, × 0,15,, ainsi que les poutres au vent représentées par un treillis en bois dont la géométrie et les dimensions sont données sur la figure III.19.

Cette modélisation est motivée par le fait que la rigidité du support sur lequel est installée la toiture influence le comportement de cette dernière. On note que les poutres en béton des chaînages sont supposées articulées entre elles, et ne forment pas ainsi un cadre rectangulaire rigide. Les poutres au vent sont fixées d’une part aux poutres de chaînage par des équerres métalliques et d’autre part aux entraits des fermettes par des pointes.

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Figure III. 19 : Géométrie et dimensions des poutres au vent [7]

Les éléments en bois constituant la toiture sont représentés par des éléments poutres dont le comportement est élastique linéaire isotrope. Le matériau bois constituant les membres d’une fermette a un module d’Young ê_~ = 12 •uâ, tandis que celui des membres de contreventement et des liteaux est ê_Û = 9 •uâ. Les tuiles et les liteaux sont représentés par des éléments grilles qui ont une raideur seulement dans le sens perpendiculaire aux plans des fermettes. La masse totale des tuiles est prise en compte dans le modèle éléments finis par la masse volumique Þ_{y÷ --o}= 50 dJ ,⁄ des éléments grilles. Les liaisons entre les éléments ;

bois eux-mêmes ou avec d’autres éléments structuraux tels que les chaînages en béton armé sont représentées par des éléments discrets à deux nœuds de mêmes coordonnées. Le comportement des assemblages par plaques métalliques à dents constituant les fermettes est élastique linéaire. La raideur de l’assemblage en translation dans le plan de la plaque est 30 d ,,⁄ et infinie hors plan. Le comportement des assemblages réalisés par des équerres ou par pointes métalliques est non linéaire : il est modélisé par la loi anisotrope avec hystérésis présentée dans le paragraphe III.2.2 dont les différents paramètres sont déterminés pour chaque type d’assemblages à partir des résultats des essais sous chargements monotones et cycliques [151, 152].

Généralement, lorsqu’on procède à un calcul dynamique transitoire, l’amortissement dans la structure est représenté par un amortissement visqueux de type Rayleight lié à la matrice de masse 0¡1 et à la matrice de rigidité 0¢1 de la structure par la relation :

0S1 = H0¡1 + ’0¢1 . 4 où H et ’ sont deux coefficients réels déterminés à partir des amortissements désirés 7 sur les deux premiers modes propres de la structure, représentés par les fréquences propres et ; : :H, ’= = ²⁷₊

;:1, _;= . 5 Pour les éléments finis classiques tels que les éléments poutres, les coefficients H et ’ sont déterminés à partir des caractéristiques des matériaux. Malheureusement, cela n’est pas le cas

163 pour les éléments discrets. Afin de pallier ce problème, des éléments discrets amortisseurs ont été ajoutés parallèlement aux éléments discrets représentant les liaisons par connecteurs métalliques. Les premières simulations du modèle éléments finis, en dynamique non linéaire, ont montré que lorsque les liaisons clouées sont fortement dégradées ou rompues, la toiture résiste encore au chargement. Il s’est révélé que cette résistance est fictive, et qu’elle résulte du mouvement des amortisseurs qui engendre des efforts presque du même ordre que la résistance des liaisons. En effet, dans Code_Aster, la matrice d’amortissement est calculée à partir de la matrice de raideur élastique et des fréquences propres de la structure saine. Ainsi, il a été décidé d’utiliser un amortissement uniquement proportionnel à la masse de la structure :

0S1 = 27 0¡1 . 6 Ce choix est soutenu par le fait que les simulations ont révélé que la toiture possède un seul mode de vibration dominant dans chaque direction de chargement (i.e. directions perpendiculaire et parallèle aux plans des fermettes).

L’action sismique à laquelle est soumise la toiture est représentée par des accélérogrammes fournis par le BRGM, correspondant à des évenements sismiques enregistrés dans différents sites en France métropolitaine ou en territoires d’outre mer. D’un point de vue pratique, l’effet de l’action sismique est représenté par des forces d’inertie équivalentes induites par l’accélération du sol. Elles sont appliquées aux nœuds du maillage éléments finis de la toiture. La réponse de la structure est obtenue par une procédure itérative.