Loi anisotrope avec hystérésis

Le comportement des assemblages bois réalisés par des plaques métalliques à dents, comme on l’a déjà évoqué dans le paragraphe précédent, est fortement non linéaire. Ainsi, dans la pratique, on a souvent recours à une modélisation par éléments finis pour décrire d’une façon implicite le comportement de ces assemblages. Afin qu’elle puisse être représentative du comportement réel de l’assemblage, la modélisation par éléments finis doit être très raffinée et prendre en compte les différents détails géométriques et les caractéristiques mécaniques des différents matériaux. Bien que cette alternative paraisse pertinente, elle engendre souvent un temps de calcul prohibitif. Par conséquent, son emploi en conjonction avec une procédure de calcul stochastique n’est pas envisageable. En effet, quand on mène des analyses

144 stochastiques, une des préoccupations principales est d’utiliser des modèles mécaniques à la fois robustes et non exigeants en terme de temps de calcul. Pour pallier ce problème, des macro-modèles sont alors employés pour décrire le comportement global de l’assemblage bois. Ces derniers sont basés sur des lois de comportements qui décrivent l’évolution de la force en fonction du déplacement dans l’assemblage. Dans ce contexte, une loi bidimensionnelle avec hystérésis [139], développée par le laboratoire 3S-R, est utilisée dans cette étude. Cette dernière est basée sur une loi unidimensionnelle avec hystérésis développée sur la base du modèle de Yasumura et Yasui [137] et du modèle LMT [138]. La correspondance entre le déplacement scalaire 3 et la force résultante est donnée par la courbe force-déplacement présentée sur la figure III.2.

Figure III. 2 : Loi d’hystérésis unidimensionnelle [139] développée dans le cadre du projet SISBAT

Elle est composée d’une enveloppe monotone (branche 1) jusqu'à la force maximale , définie à l’aide de polynômes de Bézier, suivie de deux fonctions linéaires (branches 2 et 3) représentant les pertes de rigidité post-pic. L’emploi des polynômes de Bézier permet d’assurer une continuité analytique de la courbe force-déplacement, ce qui n’est pas le cas des modèles proposés dans la littérature, pour lesquels cette continuité est seulement établie d’une façon asymptotique. A partir de la force au pic, les boucles d’hystérésis sont composées d’une décharge élastique (branche 4) jusqu’à = 0, suivie d’une recharge (branche 5). Afin d’assurer la continuité, le point de départ de la branche de recharge et le point de fin de la branche de décharge sont les mêmes. Les coordonnées M_VQ et VQ ^{du point pic peuvent avoir}

différentes valeurs dépendant de l’histoire du chargement. Ainsi, la taille de la boucle d’hystérésis formée par les branches de recharge et décharge peut être variable. La rigidité š_Ò peut être liée au comportement élastique, et, pour certains types d’assemblage, elle peut être égale à la rigidité initiale š_t. Le déplacement critique 3_Û représente la limite de la décharge élastique non linéaire. On note que les boucles d’hystérésis sont délimitées d’une part par l’axe des déplacements, et d’autre par une courbe enveloppe obtenue par une homothétie de rapport H × ’ sur la courbe monotone correspondante en traction ou en compression. En effet, les résultats des essais expérimentaux ont montré que la courbe monotone n’est pas une enveloppe des essais cycliques, mais, pour un cycle donné, elle peut être une enveloppe de ce dernier en effectuant une homothétie sur la force. Cette loi unidimensionnelle avec hystérésis permet de prendre en compte la perte de rigidité après le pic, l’évolution de l’endommagement de l’assemblage durant des cycles de déplacement à amplitude constante et de modéliser des boucles cycliques de tailles variables. En effet, les coefficients H et ’, définissant le rapport de l’homothétie, représentent en réalité l’évolution de

145 l’endommagement au sein de l’assemblage. Ils sont obtenus à partir des résultats des essais expérimentaux. Le coefficient H représente un endommagement modéré piloté par le déplacement maximal des cycles, tandis que le coefficient ’ correspond à un endommagement significatif activé après le pic d’effort et piloté à son tour par le déplacement. Cependant, à cause du contact qui peut se manifester entre les éléments bois ainsi que des différentes directions que peut avoir le chargement, cette loi unidimensionnelle avec hystérésis ne permet pas de décrire le comportement réel (anisotrope) de l’assemblage. Ainsi, en se basant sur l’hypothèse d’un modèle ressort stipulant que la force est colinéaire au déplacement, cette loi unidimensionnelle avec hystérésis a été généralisée [139] pour le cas bidimensionnel, en considérant un assemblage composé par deux éléments bois connectés de part et d’autre par deux plaques métalliques à dents (figure III.3).

Figure III. 3 : Définition du déplacement relatif u, de la force résultante F et du plan d’anisotropie

(x, y)

La direction , définie comme la normale au plan de contact entre les deux éléments bois, est parallèle aux plans contenant les plaques métalliques. Cette configuration est réaliste puisque les éléments bois ont des sections rectangulaires de même épaisseur. L’orientation de la direction est conventionnellement choisie pour correspondre à la traction. Le contact entre les éléments bois n’aura lieu que si le déplacement relatif suivant la direction est négatif. La direction est définie par la tangente au plan de contact et elle est toujours parallèle aux plans des plaques métalliques. Ainsi, le plan d’anisotropie est défini par les directions et . Le déplacement relatif ' entre les deux éléments bois est orienté par l’angle 6 qui représente la direction du chargement par rapport à la direction . La loi bidimensionnelle avec hystérésis est définie comme un ressort non linéaire pour lequel le vecteur force › et le vecteur déplacement ' sont colinéaires dans le plan d’anisotropie. Autrement dit, la loi bidimensionnelle avec hystérésis n’est autre que l’application de la loi unidimensionnelle donnée par la figure III.2 dans la direction définie par l’angle 6. Ainsi, la force résultante pour un déplacement donné est facilement obtenue en utilisant la loi unidimensionnelle dont les paramètres sont déterminés par une interpolation par rapport à l’angle 6 dans les deux directions et . La figure III.4 illustre le modèle ressort utilisé dans la modélisation du comportement anisotrope des assemblages bois.

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Figure III. 4 : Modèle ressort utilisé dans la modélisation du comportement anisotrope des

assemblages bois

Le déplacement M du ressort avec hystérésis se déplaçant dans le plan d’anisotropie , suivant la direction définie par l’angle 6 est obtenu comme la norme des déplacements M et M_€. Les déplacements limites 3_€, 3 , 3_; et 3₁, représentant les paramètres de la loi de unidimensionnelle modélisant le comportement du ressort, sont obtenus à partir de leurs équivalents dans les directions et à l’aide d’une interpolation elliptique de la forme suivante :

3_€ = 3_, 3_,€•3;_, cos 6 ;+ 3;_,€sin 6 ; , = : , 1,2, M= . 1 Les figures III.5a et III.5b illustrent respectivement l’évolution du déplacement au pic 3 en fonction de l’angle de chargement 6 et pour différentes combinaisons des déplacements au pic 3 _, et 3 _,€, définis respectivement dans les directions et .

Figure III. 5 : Evolution du déplacement au pic d1 en fonction (a) de l’angle de chargement et (b) des déplacements au pic équivalent dans le plan d’anisotropie (x, y)

Le choix d’une interpolation elliptique par rapport à d’autres types d’interpolation (en particulier l’interpolation linéaire) est soutenu par le fait qu’elle fournit des résultats compatibles avec la physique, plus précisément avec les observations expérimentales. On note que, parmi toutes les forces définissant la courbe force-déplacement, seule la force au pic est à interpoler. De plus, certains déplacements tels que M_VQ doivent être enregistrés pour l’incrément de temps suivant. Etant donné que les paramètres sont interpolés à partir des paramètres équivalents dans les deux directions et du plan d’anisotropie, il faut extrapoler

147 les paramètres équivalents de M_VQ dans ces directions à partir de sa valeur suivant la direction de déplacement du ressort avec hystérésis.

Bien que cette loi anisotrope avec hystérésis soit présentée ici pour la modélisation du comportement des assemblages bois avec plaques métalliques à dents, notons qu’elle peut être utilisée également dans la modélisation du comportement des assemblages bois réalisés avec d’autres types de connecteurs métalliques, tels que les clous, les pointes ou les équerres, que nous les aborderons plus tard dans ce chapitre.