Méta-modèle basé sur les polynômes de Lagrange

Le but principal de l’utilisation de la méthode de décomposition de la dimension est de construire une approximation de la réponse d’un modèle. Cependant, dans les développements présentés jusqu’ici, cette approximation a été utilisée implicitement (i.e. sans construire vraiment la surface de réponse) dans le calcul des intégrales N-dimensionnelles et en particulier le calcul des moments statistiques de la réponse d’un système stochastique. En effet, nous avons bénéficié seulement de l’architecture de cette approximation (i.e. somme hiérarchisée de fonctionnelles de dimensions croissantes) pour réduire la dimension des intégrales N-dimensionnelles, sans déterminer explicitement les différents termes fonctionnels

Q, QW,QY et QW,…,Qð qui la composent. Dans ce qui suit, nous continuons à raisonner dans l’espace standard dans lequel l’aléa associé aux paramètres incertains est représenté par une variable aléatoire Gaussienne standard N-dimensionnelle #, '∗ _{désigne le point de référence}

et J_Q = _Q∘ $, J_QW,QY = _QW,QY∘ $ et J_QW,…,Qð = _QW,…,Qð ∘ $ définissent respectivement les termes fonctionnels unidimensionnel, bidimensionnel et s-dimensionnel. Ainsi, il est clair que la construction d’une approximation Jˆ de la réponse d’un modèle ne nécessite que la détermination des fonctionnelles J_Q, J_QW,QY et J_QW,…,Qð. Pour ce faire, il est possible d’utiliser une technique d’interpolation basée sur les polynômes de Lagrange.

Nous nous intéressons à la construction des fonctionnelles unidimensionnelles J_Q M_Q = J_Q M∗, … , M_QJ∗ , M_Q, M_Qm∗ , … , M∗ _{. Supposons qu’il existe un ensemble de points}

d’expérimentation eM_Q^lg_lD^R dans la direction M_Q pour lesquels on connaît les réponses respectives du modèle eJBM_Q^lC = JBM∗, … , M_QJ∗ , M_Q^l, M_Qm∗ , … , M∗Cg_lD^R . En se référant à la technique d’interpolation par polynômes de Lagrange, la fonctionnelle J_Q M_Q associée au paramètre M_Q s’écrit :

J_Q M_Q = A JBM_Q^lC

R lD

121 où la fonction `_l M_Q n’est autre que le polynôme de Lagrange construit autour de la coordonnée M_Q^l, défini par :

`_l M_Q = ± ^{MQ− MQ} -M_Q^l − M_Q -R

-D ,-ãl

. 110 En utilisant les équation (II.109) et (II.110), les différentes fonctionnelles unidimensionnelles J_Q M_Q , d = 1, … , peuvent être construites en effectuant à chaque fois U appels au modèle. Ainsi, le coût de calcul nécessaire pour la construction d’une approximation d’ordre 1 ˆ = Jˆ ' est évalué à U + 1 appels. Cette approximation est définie dans l’espace aléatoire standard par :

Jˆ ' = A A JBM_Q^lC

R lD QD

`_l M_Q − − 1 J_t . 111 où J_t = J '∗ _{est la réponse du modèle au point de référence} '∗_.

Si nous nous intéressons maintenant à la construction des fonctionnelles bidimensionnelles J_QW,QYBM_QW, M_QYC = J_QW,QYBM∗, … , M_Q∗_WJ , M_QW, M_Q∗_Wm , … , M∗_QYJ , M_QY, M_Q∗_Ym , … , M∗C, le même processus est utilisé dans les directions M_QW et M_QY. Soient eM_Q^lW_Wg_l

WD R et eM_Q^lY_Yg_l YD R les points d’expérimentation respectivement dans les directions M_QW et M_QY, et JBM_Q^lW_W, M_Q^lY_YC = JBM∗, … , M_Q∗_WJ , M_Q^lW_W, M_Q∗_Wm , … , M_Q∗_YJ , M_Q^lY_Y, M_Q∗_Ym , … , M∗C les réponses du modèle qui leurs sont associées, la fonctionnelle bidimensionnelle J_QW,QYBM_QW, M_QYC est alors donnée par :

J_QW,QYBM_QW, M_QYC = A A JBM_Q^lW_W, M_Q^lY_YC`<sub>lW</sub>BM<sub>QW</sub>C`_lYBM_QYC R lYD R lWD . 112 où les fonctions `<sub>lW</sub>BM<sub>QW</sub>C et `_lYBM_QYC ne sont autres que les polynômes de Lagrange construits respectivement autour des coordonnées M_Q^lW_W et M_Q^lY_Y. En utilisant les équations (II.110) et (II.112), toutes les fonctionnelles bidimensionnelles peuvent être construites en nécessitant à chaque fois (i.e. chaque combinaison de deux directions) U; _{appels au modèle. Ainsi, le coût}

de calcul nécessaire pour la construction d’une approximation d’ordre 2 ˆ_; = Jˆ_; ' est évalué à − 1 U;⁄ + U + 1 appels. Cette approximation est définie par : 2

Jˆ_; ' = A A A A JBM_Q^lW_W, M_Q^lY_YC`<sub>lW</sub>BM<sub>QW</sub>C`_lYBM_QYC R lYD R lWD QYDQWm J QWD − − 2 A A JBM_Q^lC R lD QD `_l M_Q + ^{− 1}₂ ^{− 2} J_t . 113 En suivant le même procédé, l’approximation d’ordre î ˆ_‹ = Jˆ_‹ ' s’écrit :

Jˆ_‹ ' = A −1 + _{J‹m J} ‹ Dt × A … A A … A J ÀM_Q^lW_W, … , M_Q^lðØ"_ðØ"Á `l<sub>W</sub>BMQ<sub>W</sub>C … `l_ðØ"BMQ_ðØ"C R l_ðØ"D R l_WD Q_ðØ"DQ_ðØ"ØWm J‹m m Q_WD . 114

122 où M_Q^lðØ"_ðØ" est le º_‹JèÔo _{point d’expérimentation associé à la} d_‹J^èÔo direction, la fonction `_lðØ"BM_QðØ"C n’est autre que le polynôme de Lagrange construit autour de la coordonnée M_Q^lðØ"_ðØ", et J ÀM_Q^lW_W, … , M_Q^lðØ"_ðØ"Á est un coefficient réel obtenu par évaluation du modèle au point ÀM_Q^lW_W, … , M_Q^lðØ"_ðØ"Á = ÀM∗, … , M_Q∗_WJ , M_Q^lW_W, M_Q∗_Wm , … , M_Q∗_ðØ"J , M_Q^lðØ"_ðØ", M_Q∗_ðØ"m , … , M∗Á.

Dans les problèmes d’ingénierie dans lesquels le comportement d’une structure ou d’un système est souvent décrit d’une façon implicite (par exemple par modélisation par éléments finis), l’approximation définie par l’équation (II.114) peut constituer une représentation explicite du modèle, qui peut être utilisée en conjonction avec les simulations de Monte-Carlo dans un contexte d’analyses stochastiques tel que le calcul des moments statistiques ou l’estimation de la fiabilité vis-à-vis d’un scénario de défaillance. Ainsi, le coût de calcul en terme d’appels au modèle implicite provient principalement de la construction de l’approximation Jˆ_‹ ' correspondant à la méthode de décomposition de la dimension. Cette approximation est souvent désignée par surface de réponse stochastique. Une étape importante dans la construction de cette surface de réponse stochastique, est le choix des points d’expérimentation. Ils peuvent être choisis comme les points d’intégration de Gauss-Hermite ou uniformément distribués dans l’espace aléatoire standard. Dans ce dernier cas, les points d’expérimentation dans une direction donnée M_Q sont donnés par :

’M_Q∗ − ^{U − 1}_2i

Q , M_Q∗ − ^{U − 3}_2i

Q , … , M_Q∗, … , M_Q∗ + ^{U − 3}_2i

Q , M_Q∗ + ^{U − 1}_2i

Q “ . 115 où U = 3, 5, 7, 9 est le nombre de points d’expérimentation, M_Q∗ _{la coordonnée du point de}

référence associée à la direction M_Q et i_Q est une perturbation qui commande l’écart entre les points d’expérimentation. Les figures II.14a, II.14b et II.14c illustrent les plans d’expérimentation utilisés respectivement pour une approximation d’ordre 1 de fonctions unidimensionnelle et bidimensionnelle, et pour une approximation d’ordre 2 d’une fonction bidimensionnelle. On note que d’autre type de plans d’expérimentation peuvent être utilisés. Cependant, plus les points sont uniformément répartis plus l’approximation est précise.

Figure II. 14 : Plan d’expérimentation : (a) s = 1, N = 1, (b) s = 1, N = 2, (c) s = 2, N = 2

Nous nous proposons de valider la procédure de construction de la surface de réponse stochastique décrite ci-dessus, ainsi que son éventuelle utilisation en conjonction avec les simulations de Monte-Carlo pour l’estimation des caractéristiques statistiques de la réponse d’un modèle.

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Figure II. 15 : Evolution de l’approximation de la réponse du modèle par décomposition de la

dimension en fonction des différents paramètres incertains

Nous considérons une fois de plus le modèle polynômial représenté par l’équation (II.67). Nous nous intéressons dans un premier temps à la précision de la surface de réponse construite par la méthode de décomposition de la dimension. La figure II.15 illustre l’évolution de l’approximation de la réponse du modèle défini par l’équation (II.114) en fonction des différents paramètres incertains dans un intervalle Z8_!"” 39_!"[. Sachant que la décomposition de la dimension est d’ordre î = 1 et le nombre de points d’expérimentation est U = 3, on constate que l’approximation reproduit exactement la réponse du modèle. Par conséquent, cette dernière peut se substituer au modèle exact pour effectuer des analyses probabilistes. Dans ce contexte, nous nous intéressons dans ce qui suit au calcul des caractéristiques statistiques de la réponse du modèle. Pour ce faire, 10⁶ simulations de Monte-Carlo ont été effectuées sur la surface de réponse obtenue par la méthode de décomposition de la dimension. Le tableau II.6 donne les estimations des quatre premiers moments statistiques de la réponse du modèle pour différents ordres î de décomposition de la dimension et pour un nombre de points d’expérimentation U = 3.

Tableau II. 6 : Moments statistiques de la réponse du modèle obtenus par simulations de

Monte-Carlo sur la surface de réponse construite par la méthode de décomposition de la dimension

Moments statistiques

Ordre de la méthode de réduction

î = 1, U = 3 î = 2, U = 3

8+ 10,48 10,48

9₊ 4,707 4,768

i+ ^{0,208 0,691}

{+ 3,046 3,615

On constate que les estimations obtenues par la surface de réponse d’ordre î = 2 en conjonction avec les simulations de Monte-Carlo s’accordent bien avec la solution de référence (cf. §I.4.3.2), en ne nécessitant que 37 appels au modèle. De plus, on constate que l’erreur d’estimation des moments statistiques obtenus par simulations de Monte-Carlo en conjonction avec une approximation d’ordre î = 1 du modèle, est moins significative que celle observée sur les estimations obtenues par intégration basée sur la méthode de réduction de la dimension du même d’ordre.

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Figure II. 16 : Comparaison de la densité de probabilité fY(y) de la réponse du modèle obtenue par la méthode indirecte (simulations de Monte-Carlo sur la surface de réponse) et la méthode directe

(simulations de Monte-Carlo sur le modèle)

La densité de probabilité + de la réponse du modèle a été construite par deux approches : la première consiste à effectuer des simulations de Monte-Carlo sur la surface de réponse obtenue par la méthode de décomposition et la deuxième, prise comme solution de référence, consiste à effectuer des simulations de Monte-Carlo directement sur le modèle défini par l’équation (II.67). La figure II.16 compare les densités de probabilité obtenues par 10⁶ simulations de Monte-Carlo sur la surface de réponse construite par la méthode de décomposition de la dimension d’ordre î = 1 et d’ordre î = 2, avec la solution de référence. On constate que la densité de probabilité construite par la surface de réponse obtenue à partir de la méthode de décomposition de la dimension d’ordre î = 2 s’accorde bien avec la solution de référence. De plus, on constate qu’en utilisant une approximation d’ordre î = 1, la densité de probabilité obtenue par simulations de Monte-Carlo est plus précise que celle construite à partir de la méthode des moments (cf. figure II.13). Ainsi, on peut conclure que la méthode de décomposition de la dimension est plus efficace pour l’approximation de fonction N-dimensionnelle que pour l’estimation d’intégrale N-dimensionnelle.