Modèle élémentaire

Les éléments de base qui sont ajoutés dans le processus de diagnostic sont les contraintes. Le mode de comportement d’un item Iiest décrit par une ou plusieurs contraintes. Dans l’ana-lyse diagnostique à base de modèle de consistance, la conception des tests de détection puie sur les contraintes tandis que la formulation des résultats de test (test faut/test vrai) s’ap-puie sur des modes de comportement. Pour faire le lien entre ces deux aspects, nous avons introduit la notion de modèle élémentaire. Chaque modèle élémentaire est associé à une et une seule contrainte de comportement. Le modèle élémentaire est défini par

hmode(I_i), k, [K⁰])i (2.1.4) avec

– mode(I_i) est un mode de comportement/fonctionnement d’un item I_i qui est décrit par une ou plusieurs contraintes.

– k est une contrainte de comportement décrivant mode(Ii).

– K⁰est un ensemble de contraintes de validité pour k.

Un modèle élémentaire correspond à un seul mode mais comme plusieurs modèles élé-mentaires peuvent se rapporter à un même mode, un mode peut être décrit par plusieurs contraintes de comportement. Ceci est exprimé par la proposition (2.1.3).

Nous allons analyser en détail la notion de modèle élémentaire en prenant en compte les contraintes de validité. Nous pouvons distinguer deux types de contraintes par :

– Les contraintes de comportement k(obs,V ) = 0 qui sont satisfaites pour des observa-tions obs avec V = var(k).

– Une contrainte de validité k⁰(obs,V⁰) ¦ 0 qui est satisfaite pour des observations obs avec V0= var(k0). L’opérateur ¦ représente les opérateurs de comparaison comme ≤, ≥, =, . . . .

Dans (Touaf et Ploix [2004b]), les contraintes de comportement et de validité sont mo-délisées par le tableau 2.1.

k(obs, V ) = 0 ^V_ik0

i(obs, V0

i) ¦ 0 mode(I)

faux faux vrai

faux vrai faux

vrai faux vrai

vrai vrai vrai

TAB. 2.1 – Vérité des modes selon les contraintes

Nous pouvons formuler à partir du tableau 2.1 :

mode(I) ↔ ∀obs ∈ OBS, (k(obs,V ) = 0) ∨ ¬(^{^} i

k_i⁰(obs,V_i⁰) ¦ 0) (2.1.5) En réalité, il est trop difficile de tester tous les obs ∈ OBS, (2.1.5) devient pratiquement

mode(I) → ∃obs ∈ Obs, (k(obs,V ) = 0) ∨ ¬(^{^} i

k_i⁰(obs,V_i⁰) ¦ 0) (2.1.6) avec Obs ⊂ OBS

L’expression (2.1.6) montre qu’il est difficile de déterminer le mode actuel d’un item I_i. En revanche, si toutes les contraintes de validité k⁰_i∈ K⁰sont satisfaites et s’il existe une contrainte ki∈ K qui n’est pas satisfaite par les observations, le mode correspondant peut être exclu. Il est exprimé par

i _i les valeurs sont inconnues. Les contraintes doivent être combinées entre elles pour éliminer les variables qui sont par nature inconnues.

Connexion entre les modèles élémentaires

Dans le problème de diagnostic avec interactions durant la phase de modélisation, le mo-dèle du système est construit au fur et à mesure par l’opérateur. Les nouveaux momo-dèles élémen-taires ajoutés et les modèles existants sont connectés entre eux via des variables. Les variables peuvent être définies par des domaines de valeurs différents. Pour faire le lien entre les modèles élémentaires par des variables, on introduit la notion de connexion entre deux variables.

Supposons que Ii soit un item et que ki soit une contrainte décrivant Ii. ki fait intervenir des variables var(ki). Pour tout vi ∈ var(ki), dom(vi) est l’ensemble de valeurs de vi. Une connexion partielle est définie par :

Définition 2.1.5. (Connexion partielle) Soient deux contraintes k1 et k2 avec v1= v_∠dom1 ∈ var(k1), v2= v_∠dom2∈ var(k2), pcon(v1→ v2, f ) est la connexion partielle associée à la gran-deur physique v entre la variable v₁et la variable v₂par la fonction non-inversible f si v₁ et v₂ se rapportent à la même grandeur physique et si pour chaque valeur de v₁, il existe une valeur de v₂telle que f (v₁) = v₂.

Une connexion complète est définie par :

Définition 2.1.6. (Connexion complète) Soient deux contraintes k1 et k2 avec v1= v_∠dom1 ∈ var(k₁), v₂ = v_∠dom2 ∈ var(k₂), f con(v₁ ↔ v₂, f ) est la connexion complète associée à la grandeur physique v entre la variable v₁ et la variable v₂ par la fonction f si v₁ et v₂ se rapportent à la même grandeur physique et si pour chaque valeur de v₁, il existe une valeur de v₂tel que f (v₁) = v₂et f⁻¹(v₂) = v₁.

Pour simplifier, la connexion complète f con(v1↔ v2, f ) est réécrite f con(v1↔ v2) car f est identique dans toutes les connexions complètes.

Représentation graphique de la connexion entre les modèles élémentaires via des va-riables :

– le cercle représente une grandeur physique.

– la flèche unidirectionnelle associée à la connexion représente une connexion partielle entre deux variables réalisée via une fonction f (Figure 2.4).

– la flèche bidirectionnelle associée à la connexion représente une connexion complète entre deux variables réalisée via une fonction f (Figure 2.5).

– le lien représente le lien entre une variable et sa grandeur physique.

FIG. 2.4 – Connexion partielle

FIG. 2.5 – Connexion complète

Traitement des connexions entre les modèles élémentaires

Une fonction de connexion est considérée comme une contrainte représentant la relation entre deux variables d’une même grandeur physique. Pourtant, elle n’est associée à aucun mode de comportement. Une fonction de connexion est traitée comme une contrainte de com-portement dans certaines tâches, par exemple la tâche de génération des SSTs (Dustegor et al. [2004]; Ploix et al. [2008]) ou la propagation des valeurs au sein des contraintes (annexe C),ect. Dans ces tâches, la notion de variable déductible / non-déductible (Ploix et al. [2008]) apparaissant dans une contrainte de comportement peut être considérée. Selon la définition 2.1.5, parmi deux variables d’une connexion partielle f , l’une est déductible et l’autre est non-déductible en considérant f .

Dans cette partie, nous avons introduit la notion de modèle élémentaire pour faire le lien entre la génération des tests de détection qui s’appuie sur les contraintes de comportement et la formulation des résultats de test qui s’appuie sur les modes. Un modèle élémentaire est consi-déré aussi comme un élément de base dans la construction du modèle d’abstraction d’un sys-tème parce que les niveaux d’abstraction entre des contraires doivent être liés avec les modes décrits par ces contraintes. Pour ajouter au fur et à mesure des modèles élémentaires dans la construction du système, les connexions doivent être définies. Nous avons distingué deux types de connexions : partielle et complète parce que les connexions peuvent être réalisées via des variables différents décrites sur différents domaines d’une même grandeur physique.