Mise en place des calculs

`

A l’exception des calculs acoustiques bas´es sur les seuls efforts instationnaires, pour lesquels n’est n´ecessaire que l’application d’une simple d´eriv´ee temporelle suivie d’un produit scalaire, les r´esultats

CHAPITRE IV. APPLICATION DE M ´ETHODES INT ´EGRALES ET ANALYSE DES SOURCES DANS LE FORMALISME DE L’ANALOGIE ACOUSTIQUE DE FFOWCS-WILLIAMS & HAWKINGS

obtenus pour le calcul du champ lointain acoustique sont calcul´es avec le code KIM qui r´esout les ´equations d´ecrites au chapitre II, § II.3.6.6. On d´etaille dans ce paragraphe les notations utilis´ees pour d´ecrire la position des observateurs en champ lointain. La d´etermination des dimensions de la surface d’int´egration perm´eable est un autre point crucial r´esultant d’un compromis entre sa discr´etisation (qui conditionne le coˆut m´emoire associ´e `a la sauvegarde des donn´ees a´erodynamiques) et ses dimensions. Ces derni`eres doivent permettre `a la fois d’englober la partie acoustiquement efficace du sillage et de ne pas croiser ce dernier dans une zone o`u les perturbations a´erodynamiques sont trop intenses, afin de limiter les sources de bruit parasites.

IV.2.1 Position des observateurs en champ lointain

Dans tous les calculs acoustiques, le champ acoustique est ´evalu´e sur une sph`ere `a une distance Robs

du centre g´eom´etrique de la roue. Pour des raisons de clart´e dans la pr´esentation des r´esultats, on retient quatre positions not´ees P1, P2, P3 et P4 dans le plan m´edian de la roue (y = 0). Dans ce plan, l’angle permettant de rep´erer ces points est not´e ϕ, et on retient la convention ϕ= 0◦dans la direction normale au fond de la cavit´e (cf. figure IV.1). Les points P2 et P3, sym´etriques l’un de l’autre par rapport `a la

ex ez U_∞ R obs ϕ P1 P2 _P3 P4

Figure IV.1 – Position des observateurs pour le calcul du champ lointain acoustique

normale `a la cavit´e, ont ´et´e choisis tels que ϕ= ±30◦afin de d´etecter la pr´esence ´eventuelle d’une r´eponse tonale de la cavit´e. En effet, la directivit´e du bruit de cavit´e est typiquement orient´ee vers l’amont, et le calcul M1 a d´ej`a montr´e une ´emergence `a des angles de l’ordre de30◦. Les points P1 et P4 sont situ´es `a un angle d’observation ϕ= ±80◦. Le choix de cet angle a ´et´e motiv´e par le fait que les niveaux int´egr´es dans les directions rasantes sont particuli`erement sensibles aux erreurs induites par la troncature du domaine source (cf. par exemple Rahier et al. [158] ou encore Ikeda et al. [97]). Sauf mention contraire, on prendra

Robs = 50Dw.

IV.2.2 Discr´etisation des parois

La surface d’int´egration utilis´ee pour l’´evaluation de la solution de FW-H dans sa formulation solide co¨ıncide par d´efinition avec les parois de la roue. Pour des raisons de simplicit´e, et pour ne pas introduire une interpolation suppl´ementaire, le maillage d´ecrivant la surface FW-H a ´et´e pris identique au maillage CFD d´ecrivant la surface de la roue. Les ´el´ements de surface dS ainsi obtenus sont donc triangulaires et de diam`etre correspondant `a la r´esolution impos´ee dans les zones cylindriques d´ecrites dans le paragraphe

III.1.2, c’est-`a-dire∆Σ/Dw' 2 × 10−3`a l’int´erieur de la cavit´e et sur ses bords, et∆Σ/Dw' 3.4 × 10−3

sur le reste de la roue. Une telle r´esolution spatiale est jug´ee suffisante pour d´ecrire correctement les variations de pression `a la surface de la roue.

IV.2.3 D´efinition d’une surface d’int´egration perm´eable

La surface perm´eable utilis´ee par la suite a ´et´e prise aussi large que le permettait le maillage M2 d´ecrit pr´ec´edemment (cf. §III.3.1). Elle s’´etend ainsi dans la direction transverse sur l’intervalle |y/Dw| ≤ 0.8 sur toute sa longueur. De mˆeme que les zones volumiques de raffinement d´efinies pour le maillage, elle se compose de deux parall´el´epip`edes joints par un trap´ezo¨ıde central destin´e `a englober totalement le sillage

CHAPITRE IV. APPLICATION DE M ´ETHODES INT ´EGRALES ET ANALYSE DES SOURCES DANS LE FORMALISME DE L’ANALOGIE ACOUSTIQUE DE FFOWCS-WILLIAMS &

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et son ´evasement sur une distance de3.3Dw. Les dimensions de la surface ainsi d´efinie sont pr´esent´ees sur la figureIV.2. Cette surface est divis´ee en ´el´ements rectangulaires dS dont la taille∆Σn’a pas pu ˆetre prise

Figure IV.2 – Surface perm´eable utilis´ee pour le calcul du champ lointain

aussi petite que les ´el´ements de surface discr´etisant les parois de la roue pour des raisons de coˆut m´emoire. En effet, contrairement `a la surface solide, les fluctuations de densit´e, de pression, et des trois composantes de la vitesses doivent ˆetre enregistr´ees, ce qui augmente consid´erablement l’espace de stockage n´ecessaire par rapport `a la surface solide qui ne n´ecessite que la pression. Dans le but de d´eterminer la sensibilit´e des r´esultats fournis par le calcul ”perm´eable”, trois niveaux de discr´etisation seront test´es, correspondant `a ∆Σ/Dw= 1.67 × 10−2 pour le plus fin. Une r´esolution interm´ediaire∆Σ/Dw= 3.3 × 10−2 est obtenue en ne prenant qu’un point sur deux, et enfin une r´esolution grossi`ere en ne prenant qu’un point sur quatre, conduisant `a une taille des ´el´ements de surface∆Σ/Dw= 6.67 × 10−2.

IV.2.4 Convergence statistique

La convergence statistique des fluctuations acoustiques calcul´ees en champ lointain a ´et´e ´evalu´ee `a partir d’un calcul en formulation solide pour un observateur situ´e au point P2 (ϕ = 30◦) pour trois dur´ees de signaux d’entr´ee. La simulation pr´eliminaire de De la Puente [37] pr´esentait T<sub>1</sub> = 128 ms de signal utile, correspondant `a 192 p´eriodes T⁽⁰¹¹⁾ du mode de profondeur d’ordre (011) de cette cavit´e (voir chapitreVI). Ce calcul a ´et´e poursuivi pour une dur´ee de T2= 328 ms (492T(011)), correspondant `a la dur´ee des signaux enregistr´es lors de la simulation sur le maillage M2. En concat´enant les r´esultats des deux simulations, on obtient des signaux d’entr´ee d’une dur´ee totale T<sub>3</sub> = 456 ms (684T(011)). La DSP des fluctuations de pression au point P2 pour ces trois dur´ees est pr´esent´ee en figureIV.3, o`u la fr´equence f⁽⁰¹¹⁾= 1570 Hz correspondant au mode de profondeur (011) est repr´esent´ee en tirets. On note en premier lieu que la composante pseudo-tonale d´ej`a observ´ee sur le calcul M1 (128ms) est mieux d´ecrite lorsque le temps de simulation est augment´e `a 328 ms. De plus, les niveaux obtenus ne varient plus entre 200 Hz et 10 kHz lorsque le temps de simulation passe `a 456 ms, indiquant que la dur´ee de la simulation choisie pour le calcul M2 est suffisante pour obtenir des r´esultats converg´es (au sens statistique) pour des fr´equences jusqu’`a 200 Hz. On rappelle que le nombre de Strouhal maximum support´e par le maillage est de 37.2 (9.7 kHz) pour les ondes se d´epla¸cant vers l’aval du domaine et 23.5 (6.1 kHz) pour les ondes se d´epla¸cant vers l’amont. On choisit par cons´equent, et pour le reste des analyses, de pr´esenter les spectres des fluctuations obtenues en champ lointain sur la gamme de fr´equences [200 Hz, 10 kHz], tout en gardant `

a l’esprit que les erreurs de dissipation et/ou dispersion peuvent commencer `a avoir une influence `a partir de 6 kHz.

CHAPITRE IV. APPLICATION DE M ´ETHODES INT ´EGRALES ET ANALYSE DES SOURCES DANS LE FORMALISME DE L’ANALOGIE ACOUSTIQUE DE FFOWCS-WILLIAMS & HAWKINGS 102 103 104 20 30 40 50 Fr´equence (Hz) P SD (Hz − 1)^en dB P^re f = 2× 10 − 5P^a T1 T₂ T3= T1+ T2

Figure IV.3 – DSP des fluctuations de pression calcul´ees au point P2 `a partir de l’´equation de FW-H solide et pour trois dur´ees des signaux d’entr´ee croissantes T1, T2 et T3. (- -) : mode (011) de la cavit´e circulaire.