L’interaction entre deux roues

Sur la plupart des avions, une configuration r´eelle de train d’atterrissage pr´esente au moins une paire de roues `a-face (dans le cas d’un train avant). Sur les trains principaux, plusieurs paires de roues face-`

a-face peuvent ˆetre pr´esentes en s´erie. Ceci entraine des interactions entre les roues qui peuvent s’av´erer complexes, notamment `a travers l’impact du sillage turbulent d’une roue sur une roue `a l’aval de cette derni`ere, comme l’ont d´emontr´e les exp´eriences de Lazos [111,110,112]. Par ailleurs, des ph´enom`enes de r´esonance, d’abord d´ecouverts par Manoha et al. [121] sur la configuration LAGOON, et plus r´ecemment report´es par Bennett et al. [9] sur la configuration plus complexe ALLEGRA, peuvent survenir dans

∗. A noter que la formule utilis´ee dans [35] est erron´ee car la formule utilis´ee au § IV.A est tir´ee de Marsden et al. [126], JSV 331 (2012) p. 3531 qui comprend une erreur de typographie (carr´e manquant sur la valeur propre λ). De plus, la correction de longueur sur la profondeur de la cavit´e est ´egalement erron´ee, le coefficient ´etant pris ´egal `a 0.08216 au lieu de 0.8217 (voir eq. (25) de [152])

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l’espace form´e par les cavit´es de deux roues se faisant face. Quelques travaux ont ´et´e men´es pour mieux comprendre ces deux types d’interaction et sont pr´esent´es dans les paragraphes qui suivent.

I.5.3.1 Configuration dite ”en tandem”

Le cas de deux roues en tandem a ´et´e trait´e par Spagnolo [185] dans ses travaux de th`ese `a partir d’une approche exp´erimentale et num´erique. Les deux roues sont identiques et le mod`ele a ´et´e d´ecrit dans le paragraphe pr´ec´edent, le cas de la roue isol´ee ayant ´et´e trait´e comme cas de r´ef´erence. Des mesures des efforts instationnaires subis par les deux roues en tandem ont ´et´e effectu´ees et l’influence de l’incidence sur ces efforts, ainsi que de la distance entre les roues, a ´et´e quantifi´ee. En particulier, l’incidence de l’ensemble a une influence directe sur la traˆın´ee totale du fait de l’augmentation de la surface frontale expos´ee `a l’´ecoulement. Aucun r´esultat acoustique n’est pr´esent´e dans ces travaux, mais une ´etude num´erique ult´erieure r´ealis´ee par Wang et al. [207] sur deux roues CADWIE s´epar´ees de 1.5D fournit des r´esultats acoustiques obtenus avec l’analogie de FW-H sur les parois physiques de la paire de roues. Les r´esultats de la simulation sont valid´es avec les r´esultats exp´erimentaux de Spagnolo [185]. Bien que la roue CADWIE pr´esente une g´eom´etrie diff´erente, avec notamment la pr´esence d’une cavit´e annulaire, et que les mesures de Spagnolo aient ´et´e effectu´ees `a un nombre de Reynolds moindre, les mesures exp´erimentales et les r´esultats num´eriques sont en tr`es bon accord, en ce qui concerne les coefficients de pression moyen et RMS. Un r´esultat int´eressant de cette ´etude est que le bruit tonal de la roue aval paraˆıt ˆetre domin´e par le bruit de l’interaction entre le sillage de la roue amont et cette derni`ere.

I.5.3.2 Face-`a-face

L’observation exp´erimentale de deux composantes tonales distinctes et ind´ependantes du nombre de Mach sur les densit´es spectrales de puissance de pression pari´etale dans les roues du train LAGOON a conduit Manoha et al. [121], d`es les premiers essais a´erodynamiques, `a formuler la conjecture qu’un ph´enom`ene de r´esonance acoustique avait lieu dans l’espace semi-ferm´e constitu´e par les deux cavit´es face-`a-face de ces roues. Par la suite, de plus amples investigations ont ´et´e conduites dans le but de caract´eriser cette interaction particuli`ere. L’occurrence d’un sifflement dˆu `a un ph´enom`ene de lˆacher tourbillonnaire p´eriodique par l’essieu ou la jambe principale a ´et´e ´ecart´ee par Ribeiro et al. [165]. Afin d’aller plus loin, Casalino et al. [25] ont propos´e une ´etude num´erique bas´ee sur la m´ethode Boltzmann sur r´eseau consistant `a ´etudier l’assemblage des deux roues face-`a-face sans jambe principale, pour trois espacements diff´erents, avec ou sans l’essieu entre les roues. L’observation du champ instantan´e de pression filtr´e par transform´ee de Fourier autour des deux fr´equences d’int´erˆet leur permet de d´ecrire la structure azimutale des modes de r´esonance observ´es, montrant en particulier que le premier mode poss`ede une directivit´e axisym´etrique avec un noeud de pression au centre de l’espace inter-roues, tandis que le second mode pr´esente une structure azimutale d’ordre 1 (voir Fig.I.22). Des conclusions tr`es similaires sont rapport´ees

Figure I.22 – Champ de pression instantan´<sup>e filtr´e par transform´ee de Fourier autour des fr´equences discr`etes</sup> observ´ees en champ lointain `a 1 et 1.5 kHz. Travaux de Casalino et al. [25].

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par Giret [67] dans ses travaux de th`ese sur la base de la Dynamic Mode Decomposition (DMD) du champ instantan´e de pression dans l’espace entre les roues, en pr´esence de la jambe principale (voir Fig.I.23).

(a) (b)

Figure I.23 – Champ de pression instantan´<sup>e filtr´e par DMD autour des fr´equences discr`etes observ´ees en champ</sup> lointain `a 1 et 1.5 kHz. Travaux de Giret [67].

Une id´ee originale apport´ee par Casalino et al. consiste `a mod´eliser l’espace entre les roues par un conduit annulaire afin de d´eduire les fr´equences de r´esonance th´eoriques d’une telle g´eom´etrie. La formule utilis´ee est adapt´ee de l’article de Marsden et al. [126] pour tenir compte de la pr´esence de l’essieu (g´eo-m´etrie annulaire et non cavit´e circulaire simple). Bien que les deux extr´emit´es du conduit ainsi mod´elis´e soient des parois rigides, ils recherchent des modes longitudinaux de type ”quart d’onde” caract´eristiques des tubes en configuration ”ouvert-ferm´e”. `A partir de ce mod`ele, ils d´eduisent que le mode azimutal est li´e `a la distance ”floor-floor” entre le fond des deux cavit´es, corrig´ee d’un facteur 0.82 et que le second mode est li´e `a la distance ”edge-edge” entre les bords des deux cavit´es, corrig´ee d’un facteur 1.11. Ces facteurs correctifs sont introduits afin de tenir compte de la diff´erence entre la g´eom´etrie id´eale d’un conduit an-nulaire et la g´eom´etrie r´eelle, ne pr´esentant pas de parois lat´erales entre les roues. Les auteurs expliquent l’absence des autres modes de r´esonance acoustique de l’espace entre les roues par la synchronisation des seuls modes `a 1 et 1.5 kHz avec un m´ecanisme de type Rossiter, dont ils d´eduisent les fr´equences `a partir d’un mod`ele propos´e par Block [11].

Enfin, en plus des approches bas´ees sur la visualisation de champs instantan´es issus de la simulation num´erique et de l’approche analytique pr´esent´ees ci-dessus, Giret [67] a propos´e d’utiliser un solveur bas´e sur la m´ethode des ´el´ements finis (MEF) afin de r´esoudre num´eriquement l’´equation de Helmholtz dans l’espace entre les roues. Toutefois, il indique que la simulation ne converge pas lorsque le domaine entier utilis´e pour la LES est utilis´e pour sa simulation MEF, ce qui le conduit `a d´efinir une surface cylindrique arbitraire englobant les cavit´es, et une condition aux limites p<sup>0</sup> = 0 sur cette surface. Malgr´e cette condition restrictive, il obtient avec une tr`es bonne pr´ecision la fr´equence du premier mode, dont il confirme le caract`ere axisym´etrique. Une ambigu¨ıt´e dans la fr´equence du second mode de r´esonance est toutefois observ´ee dans les r´esultats, le solveur MEF fournissant deux fr´equences tr`es proches de la fr´equence observ´ee exp´erimentalement, dont la structure spatiale est ´egalement tr`es proche de celle attendue. Il interpr`ete cet effet par l’occurrence d’un mode ”de battement”, dont il explique l’origine par la superposition d’un ph´enom`ene d´eterministe (ici la r´esonance acoustique), et d’un ph´enom`ene plus al´eatoire, constitu´e par les sillages turbulents de l’essieu et de l’axe. Les r´esultats de cette ´etude semblent contredire l’hypoth`ese selon laquelle l’occurrence d’un mode de Rossiter ”s´electionnerait” les deux modes de r´esonance `a 1 et 1.5 kHz. En effet, la simulation MEF ne permet pas de restituer un ph´enom`ene de r´etroaction a´erodynamique de type Rossiter. Pourtant, les autres modes de r´esonance (ordres azimutaux et de profondeur plus ´elev´es), n’apparaissent pas plus dans les r´esultats MEF de Giret [67] que dans les simulations instationnaires de Casalino et al. [25].

Un ´etat de l’art des m´ethodes de pr´ediction du bruit de train d’atterrissage a ´et´e r´ealis´e. Comme mentionn´e dans l’introduction, de r´ecentes ´etudes ont sp´ecifiquement port´e sur l’´etude de sous-composants isol´es d’un train d’atterrissage dans le but d’am´eliorer la compr´ehension des m´ecanismes physiques mis en jeu. En particulier, les ´etudes portant sur les roues ont ´et´e d´etaill´ees, ainsi que les conclusions auxquelles elles ont abouti. Dans la continuit´e des travaux de De la Puente [37], on se propose d’´etudier dans cette

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th`ese les m´ecanismes physiques responsables de la g´en´eration de bruit par une roue isol´ee de la g´eom´etrie LAGOON, ainsi que la r´esonance lorsqu’une seconde roue est pr´esente. Le prochain chapitre introduit les m´ethodes et outils utilis´es `a cet effet.

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Chapitre II

Pr´esentation des m´ethodes

num´eriques utilis´ees

Sommaire

II.1 Introduction . . . 26 II.2 Simulation num´erique des ´ecoulements compressibles . . . 26 II.2.1 Equations de la dynamique des fluides . . . .^´ 26 II.2.2 Mod´elisation de la turbulence . . . 27 II.2.3 R´esolution num´erique avec le code CEDRE . . . 29 II.3 Quelques rappels sur les m´ethodes int´egrales : formulations th´eoriques et

principales id´ees physiques . . . 30 II.3.1 L’analogie de Lighthill . . . 30 II.3.2 Solution int´egrale de l’´equation d’onde dans le cas g´en´eral . . . 31 II.3.3 Solution int´egrale en l’absence de surfaces . . . 32 II.3.4 Solution int´egrale en pr´esence de surfaces - utilisation d’une fonction de Green

adapt´ee . . . 33 II.3.5 Un probl`eme de diffraction : introduction des param`etres sans dimension ad´equats 33 II.3.6 G´en´eralisation : l’´equation de Ffowcs-Williams et Hawkings . . . 34 II.4 Une m´ethode de localisation des sources : la formation de voies classique 40 II.5 Outils de traitement du signal pour l’analyse du champ de pression . . . . 41 II.5.1 Caract´erisation du champ de pression . . . 41 II.5.2 Outils math´ematiques de base . . . 42 II.5.3 Un filtrage ”classique” : la d´ecomposition en nombres d’onde-pulsations k − ω . 47 II.5.4 M´ethodes de filtrage bas´ees sur la transform´ee en ondelettes . . . 48 II.6 R´esolution de l’´equation de Helmholtz par la m´ethode des ´el´ements finis

de fronti`ere . . . 50 II.6.1 Principe de la m´ethode . . . 50 II.6.2 Formulation th´eorique du probl`eme sur les fronti`eres . . . 50 II.6.3 R´esolution num´erique avec le code BEMUSE . . . 51

CHAPITRE II. PR ´ESENTATION DES M ´ETHODES NUM ´ERIQUES UTILIS ´EES

II.1 Introduction

Ce chapitre pr´esente l’ensemble des outils num´eriques et m´ethodes d’analyse mis en œuvre dans ces travaux de th`ese afin de caract´eriser les sources de bruit a´eroacoustiques d’un train d’atterrissage. La premi`ere partie pr´esente les ´equations de conservation et le code de simulation num´erique utilis´e. Dans les parties suivantes, sont successivement d´etaill´ees plusieurs m´ethodes d’analyse associ´ees `a des caract´e-risations diff´erentes des sources acoustiques via des interpr´etations distinctes. Tout d’abord, les m´ethodes int´egrales permettant le calcul du champ acoustique en champ lointain sont d´ecrites, en pr´ecisant no-tamment les interpr´etations physiques associ´ees. La partie suivante pr´esente une autre voie d’analyse des sources acoustiques bas´ee leur localisation par formation de voies. Des outils d’analyse et de post-traitement des donn´ees bas´ees sur la Transform´ee de Fourier et sur les ondelettes sont ensuite pr´esent´es. Enfin une derni`ere voie d’analyse des r´esonances acoustiques est propos´ee via la r´esolution de l’´equation de Helmholtz en utilisant la m´ethode des ´el´ements de fronti`ere.