Nous d´ecomposerons le thorax en trois mat´eriaux : tissus mous, os et gadolinium (d´ecrit en section III.2.2) avec les algorithmes de Gauss-Newton (GN), Gauss-Newton Projet´e (GN-P) et ADMM. Le terme de r´egularisation sera :
R(a) =βtissus||∆atissus||22+βos|||∇aos|||22+βgd|||∇agd|||22 (VII.9) La solution initiale sera a0 = [0, 0, 0] et les param`etres de r´egularisation initiaux seront βββ0 = [0.1, 0.1, 750]. La boucle du choix automatique des param`etres sera arrˆet´ee si les β n’´evoluent plus. Nous consid´erons qu’il n’y a plus d’´evolution si :
δβmin= 1−βββt+1 β β
βt (VII.10)
est inf´erieur `a 10−1. Le changement automatique des param`etres se fera avec un param`etre γ = 200.
Les crit`eres d’arrˆet sont les suivants pour les diff´erents algorithmes :
• GN (Algorithme3,chapitre IV) et GN-P (Algorithme5,chapitre V)
∗ D´ecroissance de la fonction de coˆut : δCmin≤10−3
∗ Nombre maximum d’it´erations : kmax= 150
∗ Plus petit pas calcul´e par LineSearch :λmin= 5.10−2
• ADMM (Algorithme6,chapitre VI)
∗ Boucle interne (algorithme de minimisation de type Gauss-Newton poura)
−− δCmin≤10−3
−− kmax= 150
−− λmin= 5.10−2
∗ Boucle externe (minimisation deQ)
−− Si la contrainte d’in´egalit´e est respect´ee :||a−b||22<10−3
−− Si la contrainte d’´egalit´e est respect´ee :Ppagdc(p)
gd −1<10−3
Pour comparer les diff´erents choix de param`etres a posteriori (moindres carr´es et Bertero), nous ferons pour θ ={0°,90°} un grand nombre de d´ecompositions pour trouver la meilleure combinaison de param`etres avec log10βm = [−3, −2, . . . , 3] pour chaque mat´eriau. Nous comparerons les trois choix possibles : moindres carr´es, Bertero et automatique.
VII.5 R´ esultats et discussions
Nous voulons tout d’abord nous assurer que le choix automatique des hyperparam`etres est valide. Nous comparerons donc le choix par moindres carr´es, c’est-`a-dire choisir la combinaisonβββ qui minimiseξθ, le choix de Bertero (VII.6) et le choix automatique propos´e. Le temps n´ecessaire pour effectuer le nombre important de combinaisons possibles a fait que les calculs ne sont r´ealis´es que pourθ={0°, 90°}. Sur la table VII.1, nous relevons l’erreur pour chaque m´ethode pour GN, GN-P et ADMM. Le choix par moindres carr´es nous donne l’erreur la plus faible pour
VII.5. R´esultats et discussions
Table VII.1 – Erreur quadratique moyenne ξθ pour les diff´erents choix des param`etresβββ : moindres carr´es, Bertero et choix automatique.
GN et GN-P. Mais pour ADMM, il se trouve que le choix automatique donne qualitativement une meilleure d´ecomposition `a θ= 90°. L’algorithme GN avec le choix automatique donne une erreur quasi similaire que le choix de Bertero, alors que GN-P a une tr`es faible erreur avec le choix automatique (par rapport au choix de Bertero). Avec GN, mˆeme si l’erreur est la mˆeme avec la m´ethode de Bertero ou avec le choix automatique, il est toujours plus judicieux de faire le choix du param`etre au cours des it´erations pour ´eviter de devoir calculer toutes les combinaisons possibles. Pour ADMM, le choix automatique est tr`es bon par rapport au choix de Bertero.
Nous pouvons ´egalement noter qu’avec le choix par moindres carr´es, cette m´ethode produit une tr`es faible erreur. En effet, le choix automatique est tr`es rapide par rapport au balayage des βm. Sur les tablesVII.2etVII.3, nous relevons le temps total pour faire les d´ecompositions, le temps moyen par it´eration et le nombre d’it´erations n´ecessaires pour obtenir la solution pour θ= 0° etθ= 90°, respectivement. Calculer chaque combinaison de βm est tr`es long : avec GN, GN-P et ADMM, il faut respectivement 18 979 secondes (∼ 5 h 30), 25 718 secondes (∼ 7 h 15) et 1 879 496 secondes (∼ 21 jours) en moyenne. Le choix automatique permet de r´eduire consid´erablement le temps de calcul, en passant `a 75.8 secondes,408.9 secondes (∼6 min 50) et 1 156 secondes (∼20 min) pour GN, GN-P et ADMM, respectivement, soit ∼250,∼60 et
∼ 1 500fois plus vite. Les param`etres de r´egularisation ´etant bien estim´es `a chaque it´eration (nous pouvons voir que l’erreur finale est faible et donc que l’algorithme ne diverge pas), le temps de calcul moyen par it´eration est r´eduit : il est divis´e par 2 pour chaque algorithme.
Nous pouvons voir ´egalement que la r´esolution de deux syst`emes lin´eaires dans l’algorithme GN-P impacte le temps de calcul et qu’il demande donc un temps double pour une it´eration.
Le nombre total d’it´erations est ´egalement beaucoup plus faible avec le choix automatique, car nous ne balayons pas tout l’espace. Nous observons aussi qu’avec le choix automatique, GN-P a
´
egalement besoin de plus d’it´erations que GN, car la contrainte met du temps `a ˆetre respect´ee (i.e.Ωk = [0,0]).
Les d´ecompositions associ´ees `a chaque m´ethode sont pr´esent´ees sur la figure VII.3 pour θ = 0° et sur la figure VII.4 pour θ = 90°. Nous pouvons voir que la m´ethode Bertero nous donne beaucoup de diaphonie (apparition d’os dans l’image de gadolinium) ou d’images tr`es lisses (βββ trop grand), ce qui nous indique la valeur choisie n’est pas optimale et ne nous permet pas d’obtenir une bonne solution. Le choix automatique nous donne un r´esultat acceptable visuellement par rapport au choix par moindres carr´es et par rapport `a la v´erit´e terrain. Nous
Algorithmes M´ethodes Choixa posteriori
(Moindres carr´es et Bertero) Automatique Temps total
(secondes)
GN 16446 55
GN-P 24648 574
ADMM 1345413 1112
Temps moyen par it´eration (secondes)
GN 4.69 1.81
GN-P 8.33 3.15
ADMM 1.64 3.49
Nombre total d’it´erations
GN 3504 30
GN-P 3080 182
ADMM 815932 318
TableVII.2 – Temps de calcul total, moyen et nombre d’it´erations pour le choix des hyperparam`etres pourθ= 90°.
Algorithmes M´ethodes
Choixa posteriori
(Moindres carr´es et Bertero) Automatique Temps total
(secondes)
GN 21512 97
GN-P 26788 244
ADMM 2413580 1200
Temps moyen par it´eration (secondes)
GN 5.44 1.61
GN-P 3.10 4.05
ADMM 1.61 3.50
Nombre total d’it´erations
GN 3954 44
GN-P 8619 60
ADMM 1495695 342
TableVII.3 – Temps de calcul total, moyen et nombre d’it´erations pour le choix des hyperparam`etres pourθ= 0°.
VII.5. R´esultats et discussions
Figure VII.1 – ´Evolution de βββ pendant les it´erationst pour un choix automatique, compar´e avec le choix par moindres carr´es et celui de Bertero. Nous consid´erons iciθ= 0°.
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Figure VII.2 – ´Evolution de βββ pendant les it´erationst pour un choix automatique, compar´e avec le choix par moindres carr´es et celui de Bertero. Nous consid´erons iciθ= 90°.
pouvons comprendre ceci en regardant l’´evolution de la valeur des βm au fur et `a mesure des it´erations t sur les figures VII.1 et VII.2 (pour θ = 0° et θ = 90°). Nous pouvons voir que la valeur obtenue avec le choix par moindres carr´es est la mˆeme pour les GN et GN-P, sauf pour les tissus mous. GN-P ”gravite” autour des valeurs optimales tout au long des it´erations, tandis que GN conserve un ´equilibre entre chaque mat´eriau. L’algorithme ADMM trouve des βββ plus grands que le choix par moindres carr´es. En d’autres termes, le ratio des diff´erents βm est le mˆeme avec GN et le choix automatique qu’avec GN et le choix par moindres carr´es. Tandis que pour ADMM, le choix automatique a tendance `a lisser les d´ecompositions.
VII.5. R´esultats et discussions
[-0.1 48.7] g.cm-2
(a) Tissus mous
[-5 26.2] g.cm-2
(b) Os
Figure VII.3 – Projections d´ecompos´ees avec GN, GN-P et ADMM pour les diff´erents choix des hy-perparam`etres pourθ= 0°. De haut en bas : VT, GN et GN-P. De gauche `a droite : choix par moindres carr´es, choix de Bertero et choix automatique pour les trois mat´eriaux : tissus mous (VII.3a), os (VII.3b) et gadolinium (VII.3c).
[-0.2 0.7] g.cm-2
(c) Gadolinium
Figure VII.3 – Projections d´ecompos´ees avec GN, GN-P et ADMM pour les diff´erents choix des hy-perparam`etres pourθ= 0°. De haut en bas : VT, GN et GN-P. De gauche `a droite : choix par moindres carr´es, choix de Bertero et choix automatique pour les trois mat´eriaux : tissus mous (VII.3a), os (VII.3b) et gadolinium (VII.3c). (cont.)
VII.5. R´esultats et discussions
[-0.1 35.8] g.cm-2
(a) Tissus mous
[-2 15.2] g.cm-2
(b) Os
FigureVII.4 – Projections d´ecompos´ees avec GN, GN-P et ADMM pour les diff´erents choix des hyper-param`etres pour θ= 90°. De haut en bas : VT, GN et GN-P. De gauche `a droite : choix par moindres carr´es, choix de Bertero et choix automatique pour les trois mat´eriaux : tissus mous (VII.4a), os (VII.4b) et gadolinium (VII.4c).
[-0.1 0.3] g.cm-2
(c) Gadolinium
FigureVII.4 – Projections d´ecompos´ees avec GN, GN-P et ADMM pour les diff´erents choix des hyper-param`etres pour θ= 90°. De haut en bas : VT, GN et GN-P. De gauche `a droite : choix par moindres carr´es, choix de Bertero et choix automatique pour les trois mat´eriaux : tissus mous (VII.4a), os (VII.4b) et gadolinium (VII.4c). (cont.)