VIII.5 D´ ecompositions sous contraintes de positivit´ e pour les cartes de mat´ eriaux
VIII.5.1 D´ecompositions dans les projections
La figureVIII.3pr´esente les d´ecompositions des sinogrammes pour les diff´erents mat´eriaux avec les algorithmes GN, GN-P et ADMM pour la coupe du milieu z = 4. En plus des d´ e-compositions, nous tra¸cons le profil de l’image pour le1200-`eme angle. Nous pouvons voir que les d´ecompositions du gadolinium (VIII.3b) et de l’eau (VIII.3c) obtenues avec GN semblent correctes (`a ce stade nous ne pouvons pas en ˆetre certain mais l’image apr`es la reconstruction tomographique sera plus parlante). Cependant, l’image d’iode (VIII.3a) pr´esente des valeurs n´egatives dans l’objet. Cela peut se voir sur le profil correspondant, mais ´egalement sur l’image o`u cela cr´ee une ”ombre” l`a o`u l’eau se situe. Cet effet rend la positivit´e impossible `a imposer pour les algorithmes GN-P et ADMM. Le fait d’avoir impos´e une concentration de gadoli-nium positive rend les images de l’iode et l’eau tr`es diff´erentes de la d´ecomposition de GN, qui semble correcte. La reconstruction tomographique permettra de clarifier quelle est la meilleure d´ecomposition.
VIII.5.2 Reconstruction des projections d´ecompos´ees
La figure VIII.4 pr´esente les reconstructions tomographiques des diff´erents mat´eriaux `a partir des sinogrammes pr´ec´edents. Nous affichons ´egalement une coupe faite num´eriquement avec les concentrations id´eales pour une meilleure comparaison. Un zoom sur les tubes et sur la vert`ebre est effectu´e pour mieux distinguer ces zones d’int´erˆet. Nous pouvons maintenant voir que la reconstruction obtenue avec GN est correcte : nous retrouvons les structures comme montr´ees sur la figure VIII.2et sur la v´erit´e terrain. Les reconstructions avec ADMM et GN-P sont visuellement mauvaises, aucun ´el´ement du fantˆome ne peut ˆetre retrouv´e.
VIII.5.3 Reformulation des contraintes associ´ees `a la d´ecomposition
Le fait que les cartes de mat´eriaux soient incorrectes pour les algorithmes de minimisation sous contraintes vient du fait que les fonctions d’att´enuation ne correspondent pas `a la r´ealit´e.
Ou plutˆot, le fantˆome n’est pas compos´e uniquement des mat´eriaux pr´esents dans la base choi-sie, il peut y avoir des d´efauts, par exemple la r´esine qui est utilis´ee pour simuler l’eau peut avoir un ´ecart au niveau de la fonction d’att´enuation τm avec la valeur r´eelle pour l’eau. Il y a donc un effet compensatoire entre l’iode et l’eau pour que les cartes des mat´eriauxam corrigent l’´ecart au mod`ele. Il est donc n´ecessaire d’ajuster les contraintes pour r´esoudre ce probl`eme.
Deux conditions peuvent ˆetre utilis´ees pour obtenir des cartes de mat´eriaux coh´erentes en les contraignant pour obtenir de meilleures d´ecompositions que les m´ethodes classiques.
— La premi`ere est le fait que le coefficient d’att´enuation lin´eique projet´e (CAL)µµµdoit ˆetre positif pour tous les pixels et toutes les ´energies. Nous rappelons le mod`ele du CAL projet´e au pixelp `a l’´energieE :
µ(p, E) =X
m
am(p)τm(E) (VIII.5)
Dans le cas o`u les mat´eriaux sont parfaits, le fait d’avoira ≥0implique µ≥0 (τm sera toujours positif car cela refl`ete une att´enuation, un τ n´egatif correspond physiquement `a de la cr´eation de photons). Cependant, dans ce cas, toutes les fonctions d’att´enuation des mat´eriaux composant le fantˆome ne peuvent pas rentrer dans la d´ecomposition. En effet, 42% de pixels deµµµsont n´egatifs dans les d´ecompositions avec GN. Nous changerons donc de contrainte et reformulons le probl`eme sous la forme :
mina C(a) avec µµµ≥0 (VIII.6)
Ce probl`eme (VIII.6) ne pourra ˆetre r´esolu que par ADMM. GN-P ne peut contraindre que la variable qu’il met `a jour. En effet, les ensembles d’indices I1, I2 et I doivent avoir la mˆeme taille quea. La contrainte d’in´egalit´e sera ´ecrite pour ADMM sous la forme :
µµµ=b (VIII.7)
b∈Ω (VIII.8)
o`u Ω = R+, la cr´eation des fonctions de Lagrange suivra le mˆeme principe que dans la sous-section VI.2.1.
— La seconde condition utilise le fait que dans le mod`ele (VIII.5) et dans notre cas (avec iode, gadolinium et eau), seuls les param`etres utilis´es pour le gadolinium sont exacts. En effet, sa discontinuit´e d’att´enuation (K-edge), qui est `a 50.2 keV, est entre deux plages d’´energies2. Il est donc possible de d´ecomposer ce mat´eriau pr´ecis´ement. Dans le cas de l’iode, son K-edge (33.2keV) se situe uniquement dans la premi`ere plage d’´energies. Cela revient `a cr´eer un autre mat´eriau qui a une att´enuation moyenn´ee. Nous pouvons choisir d’´ecrire le probl`eme de d´ecomposition comme ´etant :
mina C(a) s.t. agd ≥0 (VIII.9)
ce qui revient `a relaxer les contraintes initiales.
Ce probl`eme (VIII.9) sera r´esolu par ADMM avec
agd =b (VIII.10)
b∈Ω (VIII.11)
et GN-P avec comme consigneLgd = 0etLm=−∞ pour l’iode et l’eau.
2. Pour ˆetre plus pr´ecis, nous faisons un abus de langage en parlant de plage d’´energies. Il s’agit plutˆot de r´eponse du d´etecteur. Lorsqu’une ´energie se situe ”dans” une plage d’´energies, cela veut dire que cette ´energie va ˆetre compt´ee pour cette plage, qui a la plus grande probabilit´e de d´etecter cette ´energie.
VIII.5. D´ecompositions sous contraintes de positivit´e pour les cartes de mat´eriaux
Figure VIII.3 – Sinogrammes d´ecompos´es du fantˆome QRM avec diff´erents algorithmes (de gauche `a droite) : GN, GN-P et ADMM. Ces deux derniers contraignent les cartes de mat´eriaux `a ˆetre positives pour l’iode VIII.3a, le gadolinium VIII.3b et l’eau VIII.3c. Le profil le long de la ligne trac´ee sur les sinogrammes (correspondant au1200-`eme angle) est montr´e tout `a droite. Le param`etre de r´egularisation final obtenu par le choix automatique est ´egalement indiqu´e en dessous de l’image.
0 50 100 150 200 250 300
0 50 100 150 200 250 300
0 50 100 150 200 250
300 50
100 150 200 250 300 350 400 450
0 100 200
(c) Eau
FigureVIII.3 – Sinogrammes d´ecompos´es du fantˆome QRM avec diff´erents algorithmes (de gauche `a droite) : GN, GN-P et ADMM. Ces deux derniers contraignent les cartes de mat´eriaux `a ˆetre positives pour l’iode VIII.3a, le gadolinium VIII.3b et l’eau VIII.3c. Le profil le long de la ligne trac´ee sur les sinogrammes (correspondant au1200-`eme angle) est montr´e tout `a droite. Le param`etre de r´egularisation final obtenu par le choix automatique est ´egalement indiqu´e en dessous de l’image. (cont.)
VIII.5. D´ecompositions sous contraintes de positivit´e pour les cartes de mat´eriaux
(a) Iode (b) Gadolinium (c) Eau
Figure VIII.4 – Coupes reconstruites `a partir des projections d´ecompos´ees du fantˆome QRM avec diff´erents algorithmes (de haut en bas, `a partir de la deuxi`eme ligne) : GN, GN-P et ADMM. La repr´ e-sentation num´erique de la coupe id´eale est affich´ee sur la premi`ere ligne. Les deux derniers algorithmes contraignent les cartes de mat´eriaux `a ˆetre positives pour les trois mat´eriaux : iodeVIII.4a, gadolinium VIII.4bet eauVIII.4c.
VIII.6 D´ ecompositions sous contraintes de positivit´ e du coeffi-cient d’att´ enuation lin´ eique
Les cartes d´ecompos´ees avec GN et ADMM (avec comme contrainte µµµ ≥ 0) sont donn´ees sur la figure VIII.5. Le profil des images est ´egalement pr´esent´e. Sur le profil des images, la diff´erence entre les m´ethodes est que les cartes obtenues avec ADMM semblent plus lisses, ce qui se confirme avec la valeur du param`etre de r´egularisation de chaque mat´eriau qui est nettement plus grande avec ADMM. Outre un lissage plus fort, les cartes sont similaires : le profil de ADMM est une version tr`es liss´ee de GN. Cependant, nous relevons 3.5% des pixelsµµµn´egatifs avec ADMM, contre42% avec GN (en utilisant (VIII.5) `a partir des cartes d´ecompos´ees). Nous voyons que la contrainte est bien respect´ee avec ADMM et que cela se fait avec l’apparition d’un flou dans la solution. Pour atteindre cette contrainte, l’algorithme a dˆu beaucoup r´egulariser, ce qui ne donne pas de bons r´esultats visuellement. Le fait que les images soient similaires en terme de valeurs et que la contrainte est respect´ee nous confirme que le mod`ele n’est pas exact. S’il l’´etait, µµµ ≥ 0 serait diff´erent par rapport `a GN et ne serait pas juste une version beaucoup plus liss´ee. ADMM a ajust´e des valeurs de pixels pour respecter la contrainte, mais sans r´epercussion sur la d´ecomposition.
-0.2
Figure VIII.5 – D´ecompositions des sinogrammes du fantˆome QRM avec diff´erents algorithmes (de gauche `a droite) : GN et ADMM. Ce dernier contraint le coefficient d’att´enuation lin´eique `a ˆetre positif.
Le fantˆome est compos´e de trois mat´eriaux : iodeVIII.5a, gadoliniumVIII.5bet eau VIII.5c. Le profil le long de la ligne trac´ee sur les images (correspondant au1200-`eme angle) est montr´e tout `a droite. Le param`etre de r´egularisation final obtenu par le choix automatique est ´egalement indiqu´e en dessous de l’image.
VIII.6. D´ecompositions sous contraintes de positivit´e du coefficient d’att´enuation lin´eique
Figure VIII.5 – D´ecompositions des sinogrammes du fantˆome QRM avec diff´erents algorithmes (de gauche `a droite) : GN et ADMM. Ce dernier contraint le coefficient d’att´enuation lin´eique `a ˆetre positif.
Le fantˆome est compos´e de trois mat´eriaux : iodeVIII.5a, gadoliniumVIII.5b et eauVIII.5c. Le profil le long de la ligne trac´ee sur les images (correspondant au1200-`eme angle) est montr´e tout `a droite. Le param`etre de r´egularisation final obtenu par le choix automatique est ´egalement indiqu´e en dessous de l’image. (cont.)