de la densit´e osseuse est importante (Pache et al.(2010)).
Nous avons ´egalement la possibilit´e d’utiliser de nouveaux marqueurs comportant un K-edge comme l’or, le gadolinium, l’iode, l’ytterbium, etc. Ceux-ci permettent d’avoir un choix important dans l’injection et sur la fixation dans le corps. De ce fait, la d´etection de certaines pathologies est plus facile avec cette modalit´e. En ajoutant un produit de contraste (Panet al.
(2012)), comme l’iode par Silva et al.(2011) pour de l’imagerie abdominale, un apport cons´ e-quent a pu ˆetre constat´e. La quantification de la masse graisseuse dans le foie pour le diagnostic st´eatose h´epatique (l´esion du foie suite `a de trop gros d´epˆot de gras) est cruciale et peut ˆetre faite en TMDS (Kriston et al. (2011);Wang et al. (2003)). La TDMS permet d’avoir une meilleure r´esolution spatiale (Kalender et al.(2008)) avec des DCP, ce qui rend le diagnostic de plaque chez le patient tr`es avantageux (plaque osseuse avec Vlassenbroek(2011)).
La possible diff´erenciation de certains tissus rend ´egalement la TDMS meilleure dans le domaine m´edical que pouvait l’ˆetre la TDM. Une telle d´ecomposition en mat´eriaux par exemple, peut permettre de diagnostiquer des maladies qui n’´etaient pas visible en TDM, comme par exemple la goutte tophac´ee, ce qui a ´et´e montr´e par Desaiet al. (2011).
I.9 Conclusion
Nous avons d´ecrit dans ce chapitre comment les RX sont g´en´er´es et la mani`ere dont ils in-teragissent avec la mati`ere. Comprendre comment le spectre transmis est modifi´e est primordial pour le traitement de l’image r´esultante, tout comme sa formation d´ecrite par la suite. Nous avons ´egalement d´etaill´e le principe de formation de l’image en TDMS, modalit´e qui permet d’acqu´erir des donn´ees r´esolues en ´energie pour plusieurs spectres `a diff´erentes ´energies ou pour un spectre d’´energie subdivis´e en diff´erentes plages d’´energies. Cette nouvelle dimension dans l’image peut ˆetre obtenue par diff´erentes m´ethodes, mais les DCP ont depuis peu pris le dessus sur les autres. En effet, ils permettent d’obtenir simplement beaucoup de plages d’´energies sans changer le d´etecteur. Modifier le nombre de plages s’obtient en modifiant les valeurs des seuils de d´etection en ´energie.
Ensuite, `a partir des projections acquises sous plusieurs angles, les outils de reconstruction tomographique permettant d’obtenir une coupe 2D ou un volume 3D ont ´et´e d´ecrits. Grˆace
`
a la discr´etisation des donn´ees en ´energie, il est alors possible de les d´ecomposer dans une base : photo´electrique-Compton, mat´eriaux ou mono-´energ´etique. Cette d´ecomposition peut ˆ
etre effectu´ee de plusieurs mani`eres : dans le domaine de l’objet apr`es une reconstruction to-mographique des donn´ees ou directement `a partir des donn´ees ou dans les projections suivie d’une reconstruction tomographique pour obtenir des volumes.
Nous pouvons changer ais´ement de base, chacune donnant une information diff´erente. Ce-pendant, la m´ethode de traitement choisie joue beaucoup sur les artefacts ou les erreurs. Tandis que la d´ecomposition dans le domaine objet est sujette aux artefacts de stries, la d´ ecomposi-tion dans le domaine des projececomposi-tions ne pr´esente pas de tels artefacts. Cependant, traiter la non-lin´earit´e de la d´ecomposition dans les projections peut ˆetre difficile. Si la d´ecomposition dans ce domaine est correctement faite, bien la traiter permet d’am´eliorer la reconstruction des images spectrales.
La TDM est une modalit´e d’imagerie tr`es r´epandue. Aujourd’hui, la taille des pixels de l’image reconstruite est de l’ordre du millim`etre et nous n’avons besoin que de quelques minutes pour imager un corps entier. Cependant, cette modalit´e est souvent critiqu´ee sur son aspect irradiant. Ainsi, les d´eveloppements r´ecents cherchent `a extraire le plus d’information sur le patient imag´e avec la mˆeme dose. Grˆace `a la r´esolution en ´energie des donn´ees en TDMS, il est possible de d´ecomposer les images dans une certaine base. La d´ecomposition permet de nombreuses applications m´edicales, tout en gardant un niveau de dose ´equivalent `a la TDM classique.
Chapitre II
Probl` emes inverses
Contents
II.1 Introduction . . . . 33 II.2 Probl`eme inverse. . . . 33 II.3 Solutions exactes. . . . 35 II.4 Algorithmes de minimisation . . . . 37 II.4.1 M´ethodes de descente non contraintes . . . . 38 II.4.2 M´ethodes de descente sous contraintes . . . . 42 II.5 Conclusion . . . . 44
Chapitre II
L’
acquisition de donn´ees spectrales en TDMS rend la d´ecomposition dans une base pos-sible. L’obtention des volumes d´ecompos´es se fait en posant un probl`eme inverse. Dans ce chapitre, nous d´ecrirons ce qu’est un probl`eme inverse et les m´ethodes classiques pour le r´ e-soudre. Nous pr´esenterons ´egalement comment obtenir une solution qui respecte des contraintes pr´ed´efinies, leur incorporation et la r´esolution du probl`eme associ´e.II.1 Introduction
La tomodensitom´etrie spectrale conduit `a diff´erents probl`emes inverses. `A partir des donn´ees spectrales, nous avons vu qu’il est possible soit de i) faire une reconstruction tomographique puis de d´ecomposer les donn´ees, ii) faire la d´ecomposition et la reconstruction en mˆeme temps et iii) faire la d´ecomposition dans les projections puis reconstruire les cartes de mat´eriaux obtenues.
En pratique, la reconstruction tomographique est un probl`eme lin´eaire et la d´ecomposition dans une base est non-lin´eaire, mais qui peut ´eventuellement ˆetre lin´earis´ee [5].
Dans ce chapitre nous montrerons comment il est possible de r´esoudre un probl`eme inverse (celui de reconstruction ou de d´ecomposition), qu’il soit lin´eaire ou non. Nous commencerons par montrer la formulation g´en´erale de ce probl`eme, puis nous pr´esenterons ses caract´eristiques.
Ensuite, des m´ethodes pour r´esoudre ce probl`eme seront d´etaill´ees. Premi`erement nous verrons comment, dans certains cas, la solution peut ˆetre obtenue explicitement. Cependant, comme la plupart des probl`emes sont non-lin´eaires, leur r´esolution se fait alors en minimisant une fonction-nelle. Nous d´etaillerons des algorithmes dits de descente qui en premier lieu ne contraindront pas la solution. Pour finir, nous pr´esenterons les diff´erentes possibilit´es qui existent pour incorporer des contraintes au probl`eme de minimisation.