est en ´eventail et permettent un gain de temps cons´equent sur l’acquisition. Les m´ethodes (analytiques) de reconstruction tomographique reposent tout de mˆeme sur les mˆemes principes
´
enonc´es dans la partie pr´ec´edente. En plus d’une nouvelle g´eom´etrie de faisceau, deux types de d´etecteurs peuvent ˆetre utilis´es : ´equidistant (chaque ´el´ement est `a la mˆeme distance de la source) ou ´equiangulaire (angle constant entre deux faisceaux pour des pixels voisins). Dans le premier cas, le d´etecteur est circulaire, dans l’autre il est plat. Des m´ethodes ont ´et´e d´ eve-lopp´ees pour int´egrer la g´eom´etrie du faisceau et la forme du d´etecteur aux m´ethodes d´ecrites pr´ec´edemment (Youet al. (2005)). Il est ´egalement possible de changer d’espace pour revenir
`
a des faisceaux parall`eles et appliquer ces m´ethodes, ce qui est d´ecrit en d´etail parHsiehet al.
(2009).
I.6 D´ ecompositions dans une base
Nous allons maintenant nous int´eresser `a la sp´ecificit´e de la TDMS. Les donn´ees spectrales apportent une information suppl´ementaire quant `a la nature de l’objet. Alvarez et Macovski (1976) d´ecrivent le principe de d´ecomposition des donn´ees dans une certaine base. Cette base τm(E) peut d´ecrire par exemple l’importance d’un ph´enom`ene physique ou l’att´enuation d’un mat´eriau particulier, `a une ´energie pr´eciseE. Cette fonction d’att´enuation se retrouve dans la mod´elisation du CAL, comme ´etant :
µ(x, E) =X
etre r´einject´ee dans l’´equation (I.2) de Beer-Lambert. La reconstruction des donn´ees en TDMS consistera `a retrouver la valeur des coefficients ρm(x) dans le volume `a partir des projections spectrales ou plus g´en´eralement du CAL µ(x, E) (Longet Fessler (2014)).
Pour cela, nous devons ´egalement mod´eliser la d´etection des photons X avec un DCP. Du fait des interactions d´ecrites pr´ec´edemment, un photon X incident `a une ´energie E peut ˆetre d´etect´e `a une mauvaise ´energie. Notonsd(ζ, E)la probabilit´e que ce photon arrivant `a l’´energie ζ soit d´etect´e `a l’´energie E. Le nombre de photons d’´energie E d´etect´es dans la i-`eme plage
o`u di(E)est la r´eponse du d´etecteur pour la plage i. La figureI.15montre un exemple de cette r´eponse pour quatre plages d’´energies. L’´equation (I.3) devient donc :
si(p) = Z
R
di(E)n(E, p)dE (I.16)
o`usi(p)est le nombre de photons compt´es dans la plage d’´energieipour le pixelpdu d´etecteur.
En rempla¸cant (I.2) et (I.14) dans (I.16), nous avons l’´equation de la formation de l’image en TDMS :
0 20 40 60 80 100 120 140
FigureI.15 – R´eponse d’un d´etecteur `a comptage de photons avec quatre plages d’´energies :15−35,36−
59,60−90et91−140 keV, calcul´ee `a partir des travaux deSchlomkaet al.(2008).
Il est possible de faire une d´ecomposition dans diff´erentes bases : effet Compton et pho-to´electrique ou de mat´eriaux. `A partir de ces derni`eres nous pouvons ´egalement obtenir des images mono-´energ´etiques.
I.6.1 Base Compton-photo´electrique
L’att´enuation des photons X dans la mati`ere provient principalement des effets photo´ elec-triques et Compton. Alvarez et Macovski (1976) ont propos´es une m´ethode pour d´ecomposer les donn´ees spectrales dans une base repr´esentant ces deux effets, ce qui revient `a choisir dans l’´equation (I.14) les fonctions d’att´enuation (Ehn et al. (2016)) :
τphoto(E) = 1 o`u=E/510.975keV.τCompton(E)est la fonction de Klein-Nishina (Kleinet Nishina(1929)), qui d´ecrit le comportement de la diffusion par effet Compton. Cette d´ecomposition a ´et´e l’une des premi`eres utilis´ees et l’est toujours. La d´ecomposition est tr`es pertinente en imagerie diag-nostique, car l’image qui montre l’effet photo´electrique d´epend fortement du num´ero atomique efficace de l’´el´ement `a chaque voxel, et donc de sa composition (Phelpset al.(1975)). Tandis que l’image de l’effet Compton d´epend de la densit´e ´electronique, donc de la densit´e massique. Ces diff´erences sont utilisables pour diff´erencier des cas de l´esions, qui seraient difficiles `a identifier en imagerie X classique.
I.6. D´ecompositions dans une base
I.6.2 Base de mat´eriaux
Une autre mani`ere d’´ecrire le CAL consiste `a d´ecrire la contribution des diff´erents mat´eriaux.
Dans ce cas, τm(E) est l’att´enuation lin´eaire du mat´eriau m etρm(x) sa densit´e volumique `a chaque voxel x. Les fonctions d’att´enuation de diff´erents mat´eriaux sont connues. Il est donc possible de d´ecomposer les donn´ees spectrales dans une base de mat´eriaux compos´ee des mat´ e-riaux du corps humain (tissus mous, tissus adipeux, os cortical, etc.) ou de marqueurs inject´es (iode, gadolinium, etc.) (Liuet al.(2009)). Ces diff´erentes fonctions d’att´enuation en fonction de l’´energie sont d´ecrites sur la figure I.16. Cette d´ecomposition est beaucoup utilis´ee car elle permet la quantification des mat´eriaux, mais aussi de certains marqueurs inject´es au patient lors de l’examen.
20 40 60 80 100 120 140
Energie (keV) 100
101 102
Tissus mous Tissus adipeux Os cortical Iode Gadolinium Air
Figure I.16 – Exemple de diff´erentes fonctions d’att´enuation pour plusieurs mat´eriaux : tissus mous, tissus adipeux, os cortical, iode, gadolinium et air.
I.6.3 Images mono-´energ´etiques
A partir des d´` ecompositions pr´esent´ees pr´ec´edemment, nous pouvons ´egalement avoir les images correspondantes `a µ(x, E) pour une ´energie E donn´ee pour tout x. Il suffit d’´ecrire l’´equation du CAL (I.14) pour une ´energie pr´ecise pour avoir cette d´ecomposition. De mani`ere g´en´erale, il suffit d’avoir un a priori sur les mat´eriaux pr´esents dans l’objet. Ce genre de d´ecomposition permet d’avoir des pr´ecisions quant aux mat´eriaux pr´esents ou pas (Hickethier et al. (2017)).
I.6.4 Avantages et inconv´enients des diff´erentes bases
La d´ecomposition des donn´ees spectrales d´epend de ce que nous recherchons. Sur la fi-gure I.17, nous montrons la d´ecomposition dans diff´erentes bases pour un fantˆome compos´e de tissus mous avec des tubes d’iode. La d´ecomposition en effet photo´electrique et Compton permet de voir la diff´erence entre la densit´e des mat´eriaux et leur nature. En effet, l’effet pho-to´electrique est plus important pour des mat´eriaux plus denses alors que l’effet Compton est
plus important lorsque la densit´e des atomes est plus grande. C’est pour cela que les tubes d’iode sont pr´esents sur l’image photo´electrique et non sur l’image Compton. La d´ecomposition en mat´eriaux permet quant `a elle une quantification de la densit´e volumique de chaque mat´ e-riau. Enfin, les images mono-´energ´etiques permettent de voir o`u sont certains mat´eriaux dans l’image. En effet, certains mat´eriaux poss`edent un K-edge, comme montr´e dans la figure I.16 pour le gadolinium et l’iode. CeK-edge est un changement d’att´enuation brutal, qui correspond
`
a l’´energie de liaison de la couche K de l’atome en question. LeK-edge de l’iode se situe entre 33 et34 keV. En ce mettant de part et d’autre de cette ´energie, nous pouvons voir que l’iode apparaˆıt et peut ˆetre facilement localis´ee dans l’image. `A noter qu’il est facile de passer d’une base `a une autre.
Figure I.17 – D´ecompositions dans des bases diff´erentes d’un fantˆome compos´e de tissus mous et de tubes d’iode. A gauche, spectre `a partir de deux plages d’´energies. A droite, de haut en bas, d´ e-composition dans une base photo´electrique-Compton, base de mat´eriaux tissus mous / iode et images mono-´energ´etique `a31et37keV.