Organisation du manuscrit
2.3. Modélisation analytique en trois dimensions
2.3.2.3. Mise en œuvre du calcul
Nous présentons dans cette sous partie le déroulement du calcul permettant d’appliquer les calculs en flexion longitudinale et en flexion transversale.
2.3.2.3.1. Mise en œuvre du calcul de flexion longitudinale
Le calcul est réalisé en deux grandes étapes : dans un premier temps, un équilibre de flexion est réalisé puis le problème présenté à la section 2.3.2.1 est résolu de manière itérative. Chacune des étapes est présentée dans la suite.
b) c)
Page 176 sur 443 L’algorithme utilisé est applicable à une section (abscisse x fixée) en procédant à sa discrétisation selon la hauteur z.
A toutes les étapes du calcul, la nature biaxiale du chargement (possibilité d’une sollicitation de compression avec traction transversale concomitante) est prise en compte dans la loi de comportement. C’est cette spécificité qui permet de mettre en relation les deux parties de l’algorithme de calcul. En effet, le calcul de flexion nécessite de connaitre la loi de comportement reliant la contrainte normale à la déformation εx et implique donc la connaissance de la déformation verticale concomitante. Cette déformation ne pouvant pas être déterminée a priori, sa détermination est réalisée de manière itérative. La condition de convergence est basée sur la comparaison entre le choix initial utilisé pour le calcul de flexion et le résultat fourni par le calcul d’effort tranchant. Dans le cas où la comparaison révèle un écart supérieur à la tolérance fixée, le calcul de flexion est relancé avec pour valeur de déformation transversale concomitante la valeur calculée lors de la dernière itération du calcul d’effort tranchant.
Page 177 sur 443 Calcul de flexion
L’objectif de ce calcul est de déterminer le profil des déformations qui équilibre à la fois le moment sollicitant et l’effort normal grâce à un processus de dichotomie.
La dichotomie est réalisée sur la déformation en fibre inférieure. Pour chaque déformation en fibre inférieure choisie, la déformation en fibre supérieure qui permet d’équilibrer l’effort normal lui est associée. Une fois le profil de déformation connu, le moment de flexion qui lui correspond est calculé et sa comparaison avec la valeur du moment sollicitant permet de déterminer si le calcul peut être arrêté ou s’il faut modifier la valeur de déformation en fibre inférieure.
Le fonctionnement global de la subroutine « Calcul_Flexion » est présenté sur la Figure 116. C’est cette subroutine qui permet de réaliser l’équilibre en flexion longitudinale.
Figure 116: Fonctionnement du programme de calcul de flexion
Le calcul de flexion s’achève par la détermination du bras de levier (voir Figure 115) afin de pouvoir poursuivre le calcul vis-à-vis de l’effort tranchant et de pouvoir déterminer la courbure de la poutre. Dans le cas du béton armé, le bras de levier est déterminé en équilibrant le moment sollicitant et le moment des efforts internes :
Page 178 sur 443 = ×
Avec :
Fc la résultante des contraintes normales sur la hauteur comprimée, yplast le bras de levier des efforts internes.
Dans le cas des poutres précontraintes, la détermination est plus délicate, le bras de levier est déterminé grâce aux trois étapes suivantes :
- L’effort normal de précontrainte P0 ainsi que le moment dû à la précontrainte M0 sous chargement nul sont calculés. L’effort P0 est obtenu grâce à la loi de comportement des armatures et à leur déformation :
= × × ,
Avec :
P0 l’effort normal du à la précontrainte
Ep le module d’Young des armatures de précontrainte
εp,vide la déformation des torons de précontrainte en prenant en compte la déformation du béton sous l’effet de la précontrainte
Le moment M0 est déterminé par la formule suivante :
= × avec e0 l’excentricité des câbles de précontrainte.
- La résultante de l’effort normal R est calculée sans prendre en compte la contrainte moyenne résultant de P0 (voir Figure 117).
- Le bras de levier est obtenu en considérant que le moment total M = M0 + Mext est équilibré par la force résultante R multipliée par le bras de levier :
= ×
Figure 117: Recherche de l'axe neutre plastique Calcul à l’effort tranchant
Le calcul mis en œuvre dans cette partie résout le problème de la MCFT adaptée aux BFUP. La déformation εx est connue grâce au calcul de flexion évoqué précédemment. L’étape suivante consiste à choisir ε1. Ce choix est réalisé par dichotomie sur chaque tranche verticale (issue de
Page 179 sur 443 la discrétisation en z) en considérant comme condition d’arrêt de la boucle l’égalité entre la contrainte de cisaillement calculée à partir de l’équation (1’) et la valeur V0/(b(zi).yplast). Cette première dichotomie est dépendante du calcul de la contrainte de cisaillement. C’est au sein de ce calcul que εz est choisi et que la seconde boucle (qui a pour critère de convergence la nullité de ΔV) est réalisée. En effet, la fonction « CalculTau » qui calcule la contrainte de cisaillement grâce à l’équation (1’) doit déterminer les grandeurs εz, ε2 et θ. Pour ce faire, « CalculTau » appelle la fonction « DiffFVertDicho » qui réalise la dichotomie sur εz ; les paramètres ε2 et θ étant calculés grâce aux relations (4’) et (3’) au sein de la fonction « diffFVert » qui donne la valeur de ΔV.
Le fonctionnement du programme concernant la partie du calcul d’effort tranchant est présenté sur la Figure 118.
Page 180 sur 443 Validation de l’hypothèse faite sur la déformation transversale pour le calcul de flexion Comme cela est présenté sur la Figure 115, les deux calculs présentés dans les parties précédentes sont reliés grâce à la comparaison des déformations verticales choisies pour le calcul de flexion et celles obtenues au cours du calcul d’effort tranchant. Si les déformations sont considérées comme suffisamment proches (par rapport à la tolérance choisie), le calcul s’arrête, sinon, l’ensemble de l’algorithme est relancé en considérant comme déformations verticales pour le calcul de flexion les déformations verticales déterminées par le calcul d’effort tranchant à l’itération précédente (voir Figure 119).
Figure 119: Fonctionnement de la boucle permettant de déterminer les déformations verticales
Ainsi, l’application de cet algorithme permet de déterminer les composantes du tenseur des contraintes dues à la présence de la flexion longitudinale : σx et τxy. La partie suivante expose la méthode employée pour déterminer les composantes du tenseur des contraintes dues à la présence d’une flexion transversale.
2.3.2.3.2. Mise en œuvre du calcul de flexion transversale
Dans le cas étudié ici, en raison de la prédominance des sollicitations normales par rapport aux sollicitations tangentielles (flexion de dalle), un simple calcul de flexion est jugé suffisant. Ce calcul est similaire à la première partie du calcul effectué dans le cas de la flexion longitudinale.
De la même façon que pour le calcul longitudinal, la dichotomie n’est réalisée que sur la déformation en fibre inférieure avec pour critère de convergence l’équilibre du moment. L’équilibre de l’effort normal est assuré par l’utilisation de la fonction « epsilon_sup_trans » qui, grâce à une seconde dichotomie, associe à chaque déformation en fibre inférieure considérée lors de la première dichotomie la déformation en fibre supérieure qui équilibre l’effort normal. Le bras de levier plastique est ensuite déterminé de façon identique à ce qui a été réalisé pour le calcul longitudinal.
Comme on l’a évoqué précédemment, la largeur de la section considérée est variable en fonction de la distance par rapport à l’âme à laquelle est effectué le calcul. Le nombre d’armatures qui doit être renseigné est le nombre d’armatures présentes au droit de l’âme. Ensuite, pour chaque section en y, le programme prend en compte le nombre d’armatures qui traverse la section en faisant l’hypothèse qu’elles sont uniformément réparties et que :
Page 181 sur 443 - s’il y a un nombre pair d’armatures, le point d’application de la charge est au milieu
des deux armatures centrales,
- s’il y a un nombre impair d’armatures, le point d’application de la charge est au droit de l’armature centrale.
Ce fonctionnement permet donc de calculer la contrainte normale σy. Il reste à déterminer la contrainte de cisaillement associée. On utilise la relation de la RDM suivante :
= . Avec :
τ la contrainte de cisaillement, V l’effort tranchant sollicitant,
S le moment statique de la partie de la section située à gauche de la coupure, I l’inertie de la section,
e l’épaisseur de la section à l’endroit de la coupure.
De plus, les sections (selon y) considérées sont toutes rectangulaires, le moment statique peut être déterminé facilement grâce à la formule :
( ) = − ( )2 ℎ4 − Avec :
b(y) la largeur de la section considérée, h la hauteur de la section considérée, z la hauteur où le calcul est effectué.
Cette étape de calcul permet ainsi de déterminer deux nouvelles composantes du tenseur des contraintes (σy et τyz). Il reste à obtenir le tenseur global des contraintes. Cela est réalisé à l’étape suivante dont le principe est exposé ci après.
2.3.2.3.3. Détermination du tenseur global des contraintes
Le tenseur des contraintes est obtenu en considérant que les chargements dans les deux directions sont indépendants et ont des effets qui s’additionnent. Cette hypothèse découle du principe de superposition. Elle est vérifiée tant que la structure a un comportement élastique linéaire. On admet que l’hypothèse reste cohérente dans le cadre de notre calcul. Cette hypothèse peut être mise en défaut dans les faits, cependant, il s’agit d’une hypothèse classique et très couramment usitée.
En appliquant le principe de superposition aux résultats obtenus précédemment, on obtient le tenseur complet des contraintes dans la membrure par sommation des différentes composantes (voir Figure 120).
Page 182 sur 443 Figure 120: Etat de contraintes dans la membrure (en rouge les contraintes dues à la flexion longitudinale, en vert celles
dues à la flexion transversale)
Les composantes du tenseur non évoquées sur la Figure 120 sont considérées comme négligeables (σzz ≈ 0 et τxz=τzx ≈ 0). En effet, on considère que les efforts sont régularisés et que le principe de Saint Venant s’applique dans les zones étudiées.
Le calcul présenté dans les paragraphes précédents (sections 2.3.2.3.1 et 2.3.2.3.2) est réalisé pour chacune des sections longitudinales et transversales évoquées sur la Figure 121 et pour chaque hauteur issue de la discrétisation de chacune des sections en z. Cependant, les tenseurs des contraintes globaux ne sont déterminés que pour les nœuds du maillage choisi, pour chaque section longitudinale, dans la table de la poutre (voir Figure 122).
a) Discrétisation longitudinale b) Discrétisation transversale
Page 183 sur 443 Figure 122: Exemple de maillage de la table d'une poutre
2.3.3. Détermination de l’état de déformations
Une fois l’état de contrainte déterminé pour tous les nœuds du maillage choisi dans la table, chaque tenseur est diagonalisé. Cette diagonalisation permet d’obtenir les contraintes principales et le repère principal. Le modèle différencie alors le cas élastique du cas endommagé :
- Si toutes les contraintes principales sont inférieures aux limites élastiques, le comportement du matériau est considéré comme élastique et la loi de Hooke tridimensionnelle est appliquée pour obtenir le tenseur des déformations dans le repère (x, y, z) à partir du tenseur des contraintes exprimé dans le reprère (x, y, z). - Si au moins une des contraintes principales est supérieure à une limite élastique, nous
utilisons les lois de comportement biaxiales présentées au 2.3.1.1.1.2 pour déterminer la matrice des déformation principales puis, en supposant que le repère principal de déformation est le même que le repère principal de contraintes (hypothèse retenue dans la MCFT), la matrice de déformation dans le repère (x, y, z) est obtenue.
Lors de cette étape, les trois directions principales ne peuvent pas être traitées de manière similaire ni dans un ordre quelconque. En effet, la détermination d’une déformation principale de compression nécessite de connaitre les éventuelles déformations de traction transversales pour fixer le facteur « fact » de la loi de comportement.
Ainsi, le programme traite dans un premier temps le cas des directions tendues (pour lesquelles la loi de comportement ne dépend pas des directions transversales) puis s’intéresse au cas des directions comprimées.
A la fin de cette étape, nous avons donc déterminé l’état de déformations de la poutre sur l’ensemble des sections longitudinales dans l’âme et à tous les nœuds du maillage choisi dans la table.
Page 184 sur 443 2.3.4. Détermination de la déformée
Cette dernière partie expose la méthode permettant de calculer la flèche d’une poutre à partir du tenseur des déformations.
Ce calcul prend en compte à la fois les effets de l’effort tranchant et du moment fléchissant. Pour la membrure, deux flèches peuvent être calculées : la flèche « totale » comprenant les effets des sollicitations longitudinales et transversales en chacun des points (elle est calculée par rapport à la position du point sous chargement nul), ou la flèche « relative » de la membrure par rapport à l’âme. Dans les deux cas, le calcul prend en compte la déformation de cisaillement et la courbure de flexion.
La flèche doit être calculée pour chaque coordonnées (x, y), elle est obtenue à partir de la relation suivante :
( , ) = ( , 0) + 2 ∙ ( , ) + ( , )
Avec :
v(x,y) le déplacement vertical au point de coordonnées (x,y), γyz la déformation de cisaillement,
α l’angle de rotation de la poutre dans le plan (y, z), il est obtenu par intégration de la courbure dans la direction considérée :
( ) = (0) + ( ) où χ représente la courbure.
En considérant l’origine des y au niveau de la jonction âme-membrure et v(x,0) = 0, l’expression évoquée ci-dessus permet d’obtenir la flèche relative. Il est également possible de déterminer la flèche totale en considérant que v(x,0) représente la flèche de la poutre induite par la flexion longitudinale, on a alors :
( , 0) = (0,0) + (2 ∙ + )
Avec :
γxz la déformation d’effort tranchant dans la poutre,
α l’angle de rotation dans le plan (x, z), calculé par intégration de la courbure.
Ce calcul de flèche nécessite d’intégrer les déformations et les courbures et donc de connaitre leur valeur sur l’ensemble de la poutre. Une discrétisation de la poutre est donc réalisée dans les directions longitudinales et transversales. Il est à noter que le saut d’effort tranchant au droit de l’appui suppérieur impose de mettre en place deux sections à la même abscisse (7 et 8 sur la Figure 123), l’une prenant en compte la présence d’un effort tranchant vertical (section 7 sur la Figure 123) et une seconde considérant qu’il n’y a plus d’effort tranchant (section 8 sur la Figure 123).
La discrétisation est réalisée en considérant 10 sections dans la direction longitudinale et 10 sections dans la direction transversale (voir Figure 123).
Page 185 sur 443 Figure 123: Discrétisation longitudinale de la poutre
Dans les deux cas de discrétisation, les déformations de cisaillement γxz et γyz sont considérées comme égales à leur moyenne sur la hauteur de la poutre ou de la membrure.
Une intégration numérique de la courbure et de la déformation de cisaillement est effectuée grâce à la méthode des trapèzes.
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