1.4 Simulation de la PSF
2.1.2 Mesure RMS
Afin de donner un ordre de grandeur de l’effet du déplacement d’une zone sur la qualité RMS d’un front d’onde émergent d’une grille de Fresnel, je vais d’abord expliquer la méthodologie me permettant de passer d’une erreur P-V à une erreur RMS dans le cas d’un miroir classique, et l’adapter ensuite au cas de la grille de Fresnel.
2.1.2.1 Exposition de méthode : cas d’un miroir Je considère une optique dont le plan moyen est nominal, et : - Qλ sa qualité de front d’onde P-V ;
- f (p) la fonction de probabilité de répartition des défauts sur l’optique : une fonction gaussienne tronquée comprise entre ±12. En f (p) = ±12, le défaut de l’optique implique une erreur sur le front d’onde de ±12Qλ. La valeur de l’écart RMS de cette fonction de répartition des défauts de l’optique traduit directement la régularité de réalisation de
Effet du déplacement d’une zone dans le plan de la grille 39
l’optique (fig.2.1).
Fig. 2.1 – Une fonction de probabilité de réparti- tion des défauts d’une optique peut être modélisée par une fonction gaussienne f (p) centrée en 0, tron- quée de façon à donner sur le front d’onde une ampli- tude Pic à Vallée des défauts Qλ. Le changement de convexité du profil donne l’écart RMS de ces défauts. Attention : cet écart RMS est bien celui des défauts sur l’optique, pas nécessairement celui des défauts sur le front d’onde
Si on considère que des défauts présents sur le centre de la pupille ont les mêmes effets sur la qualité de la PSF que des défauts présents sur les bords de la pupille, on peut écrire que chaque point du miroir dont la probabilité d’amplitude du défaut répond à la loi f (p) introduit un défaut sur le front d’onde valant :
erreur = f (p)Qλ
(2.3) L’erreur RMS sur la qualité du front d’onde émergent se calcule alors par :
erreur RM S = q < f2(p) λ2 Q2 > = Qλp< f2(p) > (2.4) On retrouve que l’écart RMS des défauts de l’optique est l’écart RMS des défauts sur le front d’onde.
2.1.2.2 Application : cas de la grille de Fresnel
Je suppose à présent que cette fonction f (p) de répartition des défauts s’applique sur une grille de Fresnel. Si f (p) = 12, l’erreur sur le front d’onde vaut à nouveau ±12Qλ. Mais dans le cas de la grille de Fresnel, l’effet d’un ∆x sur la qualité de front d’onde sera d’autant plus faible que le motif est grand1. Or la dimension des motifs variant avec un facteur
q
N
k (cf eq.1.11), l’effet du déplacement sur la qualité du front d’onde varie
elle avec un facteur q
k
N. On peut écrire que chaque zone de la grille d’indice k, dont la
probabilité d’amplitude du défaut répond à la loi f (p), introduit un défaut sur le front d’onde valant :
1En fait, des cas plus favorables existent : si ce ∆x est une incertitude sur la position de découpe des
bords, il est effectivement constant à travers la grille ; mais si ce ∆x correspond à une dilatation de la grille, la référence restant l’axe optique, le ∆x serait plus faible pour les motifs les plus centraux
erreur = f (p) q k N λ Q (2.5) Toutes les couronnes carrées associées à une zone de Fresnel d’indice k possédant une surface égale (fig.1.10, eq.1.13), l’erreur RMS sur la qualité du front d’onde émergent se calcule alors par :
erreur RM S = q< f2(p) k N
λ2
Q2 >
f (p) et k étant des variables indépendantes, on peut écrire erreur RM S = Qλ
q
< f2(p) >< k N >
En considérant N 1, on calcule que < Nk >' 12, et donc que : erreur RM S = √1 2 λ Qp< f 2(p) > (2.6) L’écart RMS des défauts sur le front d’onde est √1
2 fois celui de l’écart RMS des défauts
sur l’optique : une grille de Fresnel dont la qualité sur le front d’onde Pic à Vallée est la même que celle d’un miroir aura par conséquent a priori une qualité RMS meilleure d’un facteur √1
2.
Un exemple de simulation numérique d’une déformation non homothétique peut être vu sur les figures 2.2 à 2.4 : soit une grille possédant 100 zones de Fresnel, déformée dans son plan en forme de parallélogramme, entraînant un décalage des zones les plus externes correspondant à 14 de leur période. L’aspect des PSF des grilles non déformée et déformée peut être vu sur les figs 2.2 et 2.3. La fig.2.4 présente la comparaison des coupes selon les diagonales des deux PSF : les rebonds secondaires sont un peu plus brillants dans le cas de la grille déformée, mais l’effet principal est l’affaiblissement de la valeur maximale du pic central, le pic s’élargissant (diminution de 23% de la valeur max). A noter en référence à la section 1.4.2 que lors de la simulation d’une grille en parallélogramme, la grille ne peut plus être séparée simplement selon x0 et y0, elle nécessite une propagation de Fresnel
Effet du déplacement d’une zone dans le plan de la grille 41
Fig. 2.2 –PSF monochromatique d’une grille à 100 zones non déformée, affichée en logarithme à base 10. Le champ représente 170x170 resels.
Fig. 2.3 – PSF monochromatique d’une grille à 100 zones déformée en parralélogramme, affi- chée en logarithme à base 10. La déformation correspond à un décalage des zones externes de
px0
4 . Le niveau de fond de l’image subit peu
de conséquence, les principales perturbations se concentrent à proximité du pic central : cf fig.2.4.
Fig. 2.4 – Comparaison sur les 50 resels centraux de la coupe sur la dia- gonale d’une PSF monochromatique formée par une grille à 100 zones sans défaut (profil foncé), et d’une PSF monochromatique de la même grille déformée en parallélogramme (profil clair). L’effet principal est une dimi- nution du niveau du maximum de 23%, dû à un élargissement du pic central. La dynamique pour les re- bonds lointains n’est que peu affec- tée.