4.4 Efficacité de transmission
4.4.2 Dépendance de l’efficacité à la discrétisation des pentes de la lentille
la lentille
Une technique d’usinage de la lentille étant par exemple comme expliqué une tech- nique de micro-électronique exploitant une attaque ionique avec des masques successifs, la lentille usinée peut posséder un nombre de niveaux finis. Le processus de détermination de la forme du front d’onde émergent est le même que dans la section 4.4.1 : calcul de A0λI ∀ I, réfraction sur la surface d’entrée, détermination des positions des points Hλ
Fig. 4.14 – Pour une lentille à 100 zones de Fresnel, blazée pour 650nm, les zones centrales de 3 fronts d’onde émergent sont représentées en fonction de l’angle d’émergence à l’axe optique. Plus exactement, sont représentées les différences de chemins optiques des fronts d’onde obtenus par rapport à un front d’onde sphérique.
Le front d’onde haut, en pointillés, est celui obtenu à λ = 600nm. Celui en trait fin, à niveau constant est celui obtenu à λ = 650nm, longueur d’onde de blaze : le front d’onde émergent est donc parfaitement sphérique. Le dernier front d’onde, plus grand en amplitude et de sens opposé à celui à λ = 600nm, est pour une longueur d’onde de 750nm.
L’amplitude de l’écart est visible en ordonné, l’amplitude d’affichage de la figure étant de 120nm. Plus le front d’onde va être éloigné d’un front sphérique, plus l’efficacité de transmission de la lentille à cette longueur d’onde sera faible.
Efficacité de transmission 77
L’efficacité peut à nouveau ensuite être calculée en mesurant la quantité de lumière dans le pic central de la PSF associée à ce front d’onde, par rapport à la quantité de lumière que l’on pourrait y mesurer si le front d’onde était sphérique.
Un exemple de lentille à 100 zones de Fresnel, fonctionnant en A0λblazeI0
diamètre lentille = 20
(diamètre de 15mm) est utilisé pour illustration. La zone centrale de cette lentille a été aperçue sur la fig.4.13. Son profil complet est visible sur la fig.4.15. Le substrat de base est supposé être une lame à faces parallèles en silice de 5mm d’épaisseur (courbe d’évo- lution de l’indice en fig.4.16). La lentille est supposée blazée pour 650nm. Les courbes d’efficacité en fonction de la longueur d’onde pour divers nombre de niveaux de la lentille sont visibles sur la figure 4.17. Au bilan, il est possible d’obtenir des lentilles blazées à 650nm dont l’efficacité (hors réflexions d’entrée et de sortie) est meilleure que 90% sur une BP de 220nm avec des lentilles de 32 niveaux et plus. Les courbes d’efficacité de lentilles à 32, 128 niveaux ou profil continu semblent confondues, mais il faut penser que toute l’énergie qui ne passe pas dans l’ordre -1 de la lentille se retrouve en fond parasite, donc que si on est en recherche de haute dynamique photométrique à faible bande spectrale l’augmentation du nombre de niveaux peut être intéressant.
L’efficacité à λblaze pour des lentilles à différents nombre de niveaux peut être compa-
rée aux efficacités théoriques données par Hasman, Davidson et Friesem en 1991 [20], cette efficacité étant indépendante de la dispersion du matériau utilisé : cf tableau 4.1.
efficacité théorique efficacité calculée
profil continu 100.00% 100.00% 128 niveaux 99.98% 99.98% 32 niveaux 99.7% 99.7% 16 niveaux 98.7% 98.7% 8 niveaux 95.0% 95.0% 4 niveaux 81.1% 81.2%
Tab. 4.1 – Comparaison de l’efficacité théorique maximale à λblaze pour différents nombre
de niveaux, par rapport aux efficacités calculées par détermination de l’état du front émergent. Aux précisions d’affichage des valeurs choisi, il n’y a pas d’écart, mis à part pour la lentille à 4 niveaux, dont l’efficacité calculée par état de front d’onde émergent est légèrement supérieure à l’efficacité théorique. Peut-être cet écart est-il dû au fait que mon front d’onde émergent est légèrement échantillonné irrégulièrement (' 2%), du fait que l’échantillonnage qui est dans mes calculs constant, est celui selon la face de la lentille, et non pas celui selon une sphère de centre F0.
Un exemple de front d’onde émergent d’une lentille dessinée pour un A0I0
diamètre de 20 mais
utilisée avec une source plus proche, donnant un A0I0
diamètre de 4 est visible sur la fig.4.18 :
une aberration de sphéricité du troisième ordre apparaît, non corrigible par une simple mise au point.
Fig. 4.15 – Demi-profil d’une lentille blazée pour 650nm, comportant 100 zones de Fresnel et de diamètre 15mm. La dimension du motif central est de 650 microns, celui du motif le plus externe est de 38 microns. La profondeur des marches est d’environ 1.4µm.
Fig. 4.16 –Evolution de l’indice optique de la silice, de 486nm à 1.13µm. Données Silios Technologies.
Efficacité de transmission 79
Fig. 4.17 – Les différentes courbes représentent l’efficacité de transmission pour des lentilles dont les pentes ont été approximées par un nombre croissant de marches, du bas vers le haut : 4 niveaux, 8 niveaux, puis 32, 128 niveaux et profil continu (ces 3 dernières courbes étant quasi-confondues). L’efficacité maximale se situe pour toutes ces lentilles à 650nm : la longueur d’onde de blaze. Une lentille de 32 niveaux ou plus permet une efficacité de plus de 90% sur une bande passante de 220 nm. L’efficacité à λblazed’une
Fig. 4.18 – Profils d’un front d’onde émergent d’une lentille à 100 zones blazée pour 650nm, dont le profil a été déterminé pour un A0λblazeI0
diamètre = 20, mais dont l’utilisation s’est faite pour un rapport A0λ
blazeI0
diamètre = 4. Une aberration sphérique de troisième ordre est visible, d’amplitude P-V ' 500nm. Deux
profils sont visibles : un possédant une certaine dispersion (épaisseur) dû à l’utilisation d’une lentille échantillonnée sur 32 niveaux, l’autre en clair, non dispersé et superposé au précédant : la modélisation d’une lentille à profil continu.
Efficacité de transmission 81
4.4.3
Longueur d’onde de blaze nominale
Comment choisir la longueur d’onde de blaze ? Elle va être choisie de telle façon que l’énergie qui passe soit maximale dans la bande spectrale choisie. Cela signifie que par exemple sur la courbe d’efficacité de la fig.4.19, l’aire de la surface comprise entre la courbe d’efficacité et le niveau de valeur 1 soit minimale à ∆λ donné. Cela signifie que les efficacités doivent être les mêmes pour les longueurs d’onde minimale et maximale de la bande passante prise en compte. Cette figure nous montre aussi que la courbe d’efficacité est assymétrique de part et d’autre de la longueur d’onde de blaze : en effet, pour une amplitude P-V d’écart d’un front d’onde donné à un front d’onde idéal, l’effet sur le front d’onde sera d’autant plus important que λ est faible.
On peut déterminer la longueur d’onde de blaze λb grâce aux faits que :
- si la pente d’une zone, dessinée pour une longueur d’onde de blaze λb, est plus haute
qu’elle ne devrait l’être pour une longueur d’onde λ, la différence de chemin optique P-V introduite par rapport au cas idéal vaudra :
ddm = (n λb nb−1) − (( λb nb−1 − λ n−1) + n λ n−1) soit ddm = λb nn−1 b−1 − λ (4.20) - si en revanche la pente d’une zone, dessinée pour une longueur d’onde de blaze λb, est
plus petite qu’elle ne devrait l’être pour une longueur d’onde λ, la différence de chemin optique P-V introduite par rapport au cas idéal vaudra :
ddm = ((n−1λ − λb nb−1) + n λb nb−1) − (n λ n−1) soit à nouveau ddm = λb nn−1b−1 − λ (4.21) Si l’indice varie avec la longueur d’onde de façon monotone, les longueurs d’onde où l’efficacité sera la plus faible seront les deux longueurs d’onde extrémales de la bande passante : les valeurs ddmλmin
λmin et
ddmλmax
λmax seront en valeur absolue maximaux et égaux.
La hauteur des pentes à la longueur d’onde où la lentille devra être blazée se calcule en égalisant ces rapports | ddmλ |, et l’on obtient :
λboptimale nb−1 =
2
nmax−1
λmax +nmin−1λmin
(4.22) A l’aide de la courbe d’évolution de l’indice du matériau en fonction de la longueur d’onde (fig.4.16 dans le cas de la silice), la longueur d’onde de blaze optimale peut ainsi être calculée. Si le matériau change peu d’indice à travers la bande spectrale, l’équation 4.22 peut être approximée comme étant la moyenne harmonique des longueurs d’onde :
λboptimale = 2 1 λmin+ 1 λmax (4.23) Par exemple dans la fig.4.19, on retrouve que si les longueurs d’onde min et max voulues étaient (par exemple...) de 520 et 870 nm (tous deux environ à la même efficacité de
'80%), la longueur d’onde de blaze optimale calculée par 4.23 serait 650nm. Et l’on re- trouve aussi que la longueur d’onde de blaze optimale correspondant à une bande passante allant de 550 à 790 nm (efficacités de 90%) serait de 649 nm.
Fig. 4.19 – Courbe d’efficacité re- prise de la figure 4.17. Est hachurée une zone correspondant à l’énergie non transmise à l’ordre -1 de la len- tille blazée, les longueurs d’onde min et max ayant la même efficacité. En supposant ∆λ constant, si l’on dé- cale cette bande spectrale vers des λ plus petites ou plus grandes, l’axe des longueurs d’onde étant linéaire, l’aire de la surface hachurée va augmen- ter, l’énergie transmise par la len- tille aux ordres autres que -1 va par conséquent augmenter (approxima- tion pour des ∆λ faibles).