3.1 Dispositif expérimental : cellule acoustique n˚1
3.1.4 Mesure des modes de résonance dans la cellule acoustique n˚1 98
Nous présentons le montage électrique utilisé pour la mesure des modes de réso-nance dans la cavité. Nous appliquons une tension sinusoïdale sur le transducteur piézoélectrique (émetteur) à l’aide d’un générateur de fonctions (Agilent 33120A). La tension minimale que peut délivrer ce générateur est 50 mV pk-pk et la tension maximale est 10 V pk-pk. Nous utilisons un atténuateur en sortie du générateur pour diminuer la tension appliquée, il s’agit d’un simple diviseur de tension qui nous per-met de couvrir la gamme 100 µV jusqu’à 20 mV. La tension appliquée aux bornes de la céramique est directement mesurée par un voltmètre (Keithley M2000). Le volt-mètre et le générateur de fonction sont connectés à l’ordinateur par une connexion GPIB. L’estimation de la fréquence de résonance d’un cristal dans la cavité de la cellule acoustique n˚1 qui est donnée à l’équation 3.16 et équation 3.17 (∼ 30 kHz) est bien inférieure à la fréquence de résonance propre des transducteurs piézoélec-triques (∼ 600 kHz). On ne risque pas de couplage entre ces deux résonances. La
tension appliquée au transducteur piézoélectrique U(t) = U0exp(iωt) avec ω/2π la
fréquence du signal utilisé, produit un déplacement δz(t) sur sa face avant, c’est l’effet piézoélectrique inverse :
δz(t) = d15U (t) (3.18)
où d15 est la constante piézoélectrique déjà mentionnée. Ce déplacement δz(t) crée
un champ tensoriel de déformation ˜ǫ(x, y, z, t) et un champ tensoriel de contrainte ˜
σ(x, y, z, t) dépendants du temps, dans tout le cristal d’hélium. La contrainte σdet
xz(y, z, t)
s’appliquant sur la face du transducteur détecteur et dirigée selon ez, génère des
par l’intégrale sur la surface de la face avant du transducteur : q(t) =
Z Z
Apzt
d15 σxz(y, z, t) dydz (3.19)
où Apzt=3.25×10−5 m2 est l’aire de la face avant du transducteur piézoélectrique.
La charge détectée sur le transducteur détecteur dépend du temps et s’écrit q(t) =
q0exp(i(ωt + φ)) où φ est le déphasage entre la tension appliquée sur le transducteur
émetteur et la charge induite sur le transducteur détecteur. Le courant résultant dans
la ligne de détection est I(t) = dq(t)
dt = iωq(t). Dans les expériences avec la cellule
acoustique n˚1, nous avons utilisé l’entrée de courant de la détection synchrone et
son pré-amplificateur de courant, l’impédance d’entrée Ze de ce pré-amplificateur
est 1 kΩ. L’impédance du transducteur piézoélectrique est principalement celle de
sa capacité C0≃0.03 nF à 4 K :
|Ztrans| = C1
0 ω ≃ 1.105 , avec ω ∼ 30 kHz (3.20)
|Ztrans| ≫|Ze| le signal est donc correctement amplifié par le pré-amplificateur de courant de la détection synchrone (Stanford Research Systems SR830). La tension mesurée par la détection synchrone après préamplification est :
Umes(t) = I(t)G
Umes(t) = iω d15 G
Z Z
A
σxz(y, z, t) dydz
On définit σmoy(t), la contrainte moyenne sur la surface du transducteur émetteur :
σmoydet (t) = 1 Apzt
Z Z
Apzt
σxz(y, z, t) dydz (3.21)
La tension à la sortie du pré-amplificateur après transformation de Fourier tempo-relle est donc :
Umes(ω) = iωApzt d15 G σdetmoy(ω) (3.22)
Le véritable signal mesuré par la détection synchrone S(ω) est en fait la somme
du signal Umes(ω) et d’un "pick-up" P . Il y a deux contributions à ce "pick-up" :
une contribution électromagnétique et une contribution mécanique. La contribution électromagnétique provient du couplage capacitif des fils de connexion des transduc-teurs dont le blindage n’est pas parfait. Ce signal "pick-up" est en quadrature de phase par rapport à la tension appliquée. La contribution mécanique provient de la transmission d’ondes mécaniques du transducteur émetteur au transducteur détec-teur, au travers de la cellule en cuivre. La phase de ce "pick-up" peut varier, par exemple, à l’approche d’une résonance dans la cellule en cuivre, ce qui ne se produit que pour des fréquences particulières. Il est difficile de caractériser ce "pick-up" car son amplitude dépend aussi de la fréquence par l’intermédiaire du couplage à réso-nance dans l’hélium. Le mieux serait à l’avenir d’utiliser une cellule dans laquelle
les modes de résonance sont éloignés de ceux de la cavité d’hélium. Nous prendrons donc pour simplifier P indépendant de la fréquence.
S(ω) = Umes(ω) + P (3.23)
S(ω) et Umes(ω) et P sont des quantités complexes. La détection synchrone est
synchronisée avec le générateur de tension, elle permet ainsi de filtrer le signal reçu S(ω) en éliminant tous les signaux qui ne sont pas à la même fréquence que la tension excitatrice. Elle permet également d’extraire, du signal mesuré, la partie réelle (signal en phase) :
X(ω) = ℜ[S(ω)] = ℜ[Umes(ω) + P ] (3.24)
et la partie imaginaire (signal en quadrature de phase) :
Y (ω) = ℑ[S(ω)] = ℑ[Umes(ω) + P ] (3.25)
Nous réalisons un spectre de la cavité acoustique en présence d’un cristal en ba-layant la fréquence de la tension excitatrice. Nous mesurons des pics de résonance aux fréquences propres de la cavité. La détermination exacte de la forme des pics de résonance dans la cavité acoustique est difficile et nécessiterait une analyse modale. Nous utilisons un modèle très simple d’oscillateur harmonique forcé à 1D pour mo-déliser la forme du pic de résonance afin d’en extraire la fréquence de résonance et le facteur de qualité. Nous supposons que les données sont décrites par :
S(ω) = Um
ω − ω0− iλ + P (3.26)
On réalise un ajustement de la partie réelle par :
Xaj(ω) = UmR ω − ω0
(ω − ω0)2+ λ2 − UmI
λ
(ω − ω0)2+ λ2 + PR (3.27)
et de la partie imaginaire par :
Yaj(ω) = UR m λ (ω − ω0)2+ λ2 − UI m ω − ω0 (ω − ω0)2+ λ2 + PI (3.28)
Les indices R (et I) représentent les parties réelles (respectivement imaginaire) des quantités concernées. Ces ajustements nous permettent d’extraire à partir des
pa-ramètres UR m, UI m, ω0, λ, PR et PI : la fréquence de résonance f0 = ω0/2π (3.29) le facteur de qualité Q = ω0 2λ (3.30)
l’amplitude du pic de résonance
Umes(ω0) =p(X(ω0) − PR)2+ (Y (ω0) − PI)2 = |Um|
3.2 Résultats : cellule acoustique n˚1
Les résultats présentés ont été obtenus dans des cristaux réalisés soit à partir d’hélium 4 à 300 ppb soit à partir d’hélium 4 à 0.4 ppb. Les monocristaux seront nommés Xn et les polycristaux PolyXn où n est un nombre permettant de les diffé-rencier. On a rajouté le mot "Pur" avant le nom des cristaux ayant été réalisés avec un hélium 4 à 0.4 ppb, par exemple, le cristal "PurPolyX1".