Mesure de l’amplitude des oscillations `a partir de la tension mesur´ee

mesur´ee aux bornes du transducteur

Principe de la m´ethode

La tension mesur´ee aux bornes du transducteur est li´ee `a la hauteur de la d´eformation dans le cas d’une interface r´efl´echissante. En effet, consid´erons la cavit´e P´erot-Fabry que l’on a repr´esent´ee sur la figure 7.16 et consid´erons le point A situ´e dans l’eau, infiniment pr`es de la surface du transducteur. Toutes les ondes acoustiques r´efl´echies sur l’interface

air

eau

M

2

M1

L

h

H=L+h

A _A

Fig. 7.16 – L’onde acoustique ´emise par le transducteur est confin´ee dans la cavit´e P´erot-Fabry form´ee par la surface du transducteur et l’interface eau-air (`a gauche). On mod´elise cette cavit´e par un interf´erom`etre de P´erot-Fabry aux miroirs plans distants de la distance H ´egale `a la distance entre le fond du transducteur et le sommet de la d´eformation.

eau-air et arrivant sur le transducteur induisent un signal ´electrique dans le circuit par transduction acousto-´electrique.

Grˆace `a l’extracteur d’amplitude ´electronique plac´e entre l’amplificateur et l’oscilloscope (montage de la figure 6.2), on peut mesurer l’amplitude instantan´ee de la tension aux bornes du transducteur. Lorsqu’une onde capillaire se propage `a la surface de l’eau, on obtient un signal tel que celui repr´esent´e sur la figure 7.17.

L’int´erˆet de cette m´ethode est la pr´ecision du signal trait´e (la tension ´etant cod´ee sur 8 bits). En comparaison, la mesure directe de l’amplitude par traitement d’images discr´etise plus le signal `a cause de la pixelisation des images. Par ailleurs, cette m´ethode a une sensibilit´e interf´erom´etrique, l’intensit´e de l’onde acoustique revenant vers le transducteur d´ependant fortement de la hauteur de la d´eformation et ´etant sensible `a toutes les petites variations de longueur de la cavit´e. Ceci permet de d´etecter des ondes de plus faible am-plitude qu’avec la mesure directe sur les images et permettrait probablement un test plus pr´ecis de l’´equation 7.14.

Mesure de l’amplitude des oscillations au sommet de la d´eformation 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 2.5 3 3.5 4 Temps (s)

Amplitude de la tension au transducteur (V)

Amplitude théorique sans ondes retour Amplitude mesurée

Fig. 7.17 – Amplitude de la tension aux bornes du transducteur. Une onde capillaire se propage `a l’interface eau-air et module la longueur de la cavit´e acoustique. Si l’onde acoustique n’´etait pas r´efl´echie par l’interface fluide, la tension aux bornes du transducteur serait une tension sinuso¨ıdale d’amplitude constante impos´ee par l’amplificateur (courbe en pointill´es). Au contraire, on mesure une tension d’amplitude variable, due aux interf´erences entre les r´eflexions successives `a la surface de l’eau (courbe en trait plein).

Avant que la premi`ere onde r´efl´echie n’atteigne le transducteur, la tension aux bornes de celui-ci est uniquement impos´ee par l’amplificateur qui l’alimente, et vaut Ui(t) = U0eiωt. La pression acoustique ´emise par le transducteur vaut alors, au point A, p1(A) = KU0eiωt, K ´etant le coefficient de transduction ´electrom´ecanique du transducteur. Cette onde subit des r´eflexions successives entre l’interface eau-air et la surface du transducteur. La ni`eme

onde r´efl´echie sur l’interface arrivant au point A s’´ecrit pnr(A) = KU0(RR′eiφ)n−1Reiωteiφ. R et R′ sont les coefficients de r´eflexion de l’onde acoustique respectivement sur l’interface eau-air et sur la surface du transducteur. φ est le d´ephasage que subit l’onde lorsqu’elle effectue un aller-retour dans la cavit´e. La pression acoustique totale due aux ondes se dirigeant de l’interface vers le transducteur vaut donc, au point A :

pAr = KU0Re^iωte^iφ ∞ X n=1 (RR^′e^iφ)ⁿ⁻¹ (7.25) = KU0 Reiφ 1 − RR′eiφe^iωt (7.26)

Toutes ces ondes induisent dans le circuit ´electrique une tension ´electrique Ur(t) = KK^′U0

Reiφ

1 − RR′eiφe^iωt (7.27)

´electrique totale aux bornes du transducteur vaut par cons´equent U (t) = Ui(t) + Ur(t) (7.28) = U0e^iωt µ 1 + KK^{′ Re} iφ 1 − RR′eiφ ¶ (7.29) Elle est directement reli´ee `a la hauteur h de la d´eformation par l’interm´ediaire du d´ephasage φ que subit l’onde acoustique lorsqu’elle effectue un aller-retour dans la cavit´e P´erot-Fabry :

φ = ^4π

λ ^{(L + h) (7.30)}

C’est donc cette phase φ que nous allons calculer `a pr´esent. L’exp´erience pr´esent´ee dans l’annexe C (paragraphe C.1) permet de connaˆıtre la norme du coefficient KK′ : il s’agit du rapport entre l’amplitude du premier signal retour et l’amplitude du signal d’´emission me-sur´ees lors de cette exp´erience, le coefficient de r´eflexion de l’onde acoustique sur l’interface valant 1 :

|KK^′| = ^{2, 344}

5, 25 ^(7.31)

= 0, 45 (7.32)

La phase de KK′ nous est en revanche inconnue. Dans toute la suite, nous allons supposer que KK′ est r´eel. Soit U l’amplitude de la tension totale aux bornes du transducteur :

U = U0 ¯ ¯ ¯ ¯1 + KK^{′ Re} iφ 1 − RR′eiφ ¯ ¯ ¯ ¯ ^(7.33) = U0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + (KK′R − RR′)eiφ 1 − RR′eiφ ¯ ¯ ¯ ¯ ^(7.34) soit U²¯ ¯1 − RR′e^iφ¯_¯2 = U₀²¯ ¯1 + (KK′R − RR^′)e^iφ¯_¯2 (7.35) En d´eveloppant les modules, on trouve

cos φ = ^U

2(1 + (RR′)2) − U2

0 (1 + (KK′R − RR′)2) 2RR′U2+ 2U2

0(KK′R − RR′) ^(7.36)

Or, par d´efinition, φ = ^4π(L+h)_λ , d’o`u il r´esulte que la hauteur h de la d´eformation vaut : h = ^λ 4π µ arccos µ U2(1 + (RR′)2) − U2 0 (1 + (KK′R − RR′)2) 2RR′U2 + 2U2 0(KK′R − RR′) ¶ + 2nπ ¶ − L (7.37) n ´etant un entier relatif.

Test exp´erimental de cette m´ethode de mesure

Pour tester cette m´ethode, j’ai r´ealis´e plusieurs exp´eriences, o`u une d´eformation ´etait pr´esente, et o`u le batteur ´emettait une onde capillaire `a l’interface fluide. Les exp´eriences consistaient `a filmer la d´eformation et `a mesurer sa hauteur sur chaque image, ce qui permet de d´eterminer l’amplitude des oscillations de hauteur induites par l’onde capillaire. Parall`element, l’amplitude de tension aux bornes du transducteur ´etait enregistr´ee, puis

Mesure de l’amplitude des oscillations au sommet de la d´eformation 0 0.1 0.2 0.3 −0.08 −0.04 0 0.04 0.08 Temps (s)

Modification de hauteur de la déformation (mm)

Calcul à partir de la tension Mesure sur les images

Fig. 7.18 – ´Evolution temporelle de l’´ecart de la hauteur de la d´eformation `a sa hauteur moyenne, mesur´e directement sur les images et d´eduit de l’amplitude de la tension aux bornes du transducteur. Pour cette exp´erience, l’amplitude de pression de l’onde acoustique ´emise par le transducteur valait 0,41 MPa.

0 0.1 0.2 0.3 −0.08 −0.04 0 0.04 0.08 Temps (s)

Modification de hauteur de la déformation (mm)

Calcul à partir de la tension Mesure sur les images

Fig. 7.19 – ´Evolution temporelle de l’´ecart de la hauteur de la d´eformation `a sa hauteur moyenne, mesur´e directement sur les images et d´eduit de l’amplitude de la tension aux bornes du transduc-teur. Pour cette exp´erience, l’amplitude de pression de l’onde acoustique ´emise par le transducteur valait 0,61 MPa. On ob-serve un doublement de fr´equence du si-gnal calcul´e `a partir de la tension par rap-port au signal mesur´e sur les images.

0 0.1 0.2 0.3 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Temps (s)

Modification de hauteur de la déformation (mm)

Calcul à partir de la tension Mesure sur les images

Fig. 7.20 – ´Evolution temporelle de l’´ecart de la hauteur de la d´eformation `a sa hauteur moyenne, mesur´e directement sur les images et d´eduit de l’amplitude de la tension aux bornes du transduc-teur. Pour cette exp´erience, l’amplitude de pression de l’onde acoustique ´emise par le transducteur valait 0,60 MPa. On ob-serve un triplement de fr´equence du signal calcul´e `a partir de la tension par rapport au signal mesur´e sur les images.

trait´ee `a l’aide de l’´equation 7.37 pour en d´eduire la hauteur de la d´eformation. Dans tous ces traitements, la valeur de KK′ utilis´ee ´etait -0,3, valeur qui donnait les r´esultats les plus vraisemblables.

La figure 7.18 montre le r´esultat de l’une de ces exp´eriences : les courbes trac´ees repr´esentent l’´ecart de la hauteur de la d´eformation `a sa hauteur moyenne en fonction du temps. On observe que cette m´ethode permet d’obtenir un bon ordre de grandeur de l’amplitude des oscillations de hauteur de la d´eformation, mˆeme si elle la surestime d’environ 25%.

Les figures 7.19 et 7.20 montrent les r´esultats de deux autres exp´eriences, o`u on observe des ph´enom`enes de doublement et de triplement de fr´equence de la hauteur pr´edite `a partir de la tension par rapport `a la hauteur mesur´ee sur les images, ce qui invalide cette m´ethode de mesure de l’amplitude des oscillations via la mesure de l’amplitude de tension aux bornes du transducteur.

Ce triplement de fr´equence peut ˆetre expliqu´e comme l’indique la figure 7.21.

3

1 2

focal^Plan

Miroirs

conjugués

Fig.7.21 – Il se peut que lorsque la d´eformation subit des oscillations `a cause de la pr´esence de l’onde capillaire, sa forme se superpose mieux aux plans d’onde de l’onde acoustique `a certains moments qu’`a d’autres. `A ces instants (sch´ema 2), les miroirs de la cavit´e sont conjugu´es et le faisceau est totalement r´efl´echi vers le transducteur. Aux autres instants (sch´emas 1 et 3), le faisceau est en partie transmis hors du transducteur, le miroir form´e par la d´eformation ´etant trop focalisant (sch´ema 1) ou trop d´efocalisant (sch´ema 3). Le sch´ema 2 correspond donc `a un instant o`u la tension est susceptible d’ˆetre maximale aux bornes du transducteur, alors que la hauteur de la d´eformation n’est pas maximale. Ainsi, si la d´eformation oscille entre les ´etats 1 et 3 en passant par l’´etat 2, lors d’une oscillation de la d´eformation, la tension aux bornes du transducteur peut passer 2 fois par un maximum : une fois lorsque la d´eformation de hauteur croissante est dans l’´etat 2 et une fois pendant sa d´ecroissance lorsqu’elle est `a nouveau dans l’´etat 2. Cela entraˆıne un doublement, voire un triplement de fr´equence du signal de tension aux bornes du transducteur par rapport aux oscillations de la hauteur de la d´eformation.

On d´eduit de ces exp´eriences que mˆeme si cette m´ethode de mesure de la hauteur de la d´eformation `a partir de l’amplitude de la tension ´electrique aux bornes du transducteur est int´eressante, le r´esultat n’est pas pr´ecis et d´epend de la structure tridimensionnelle de l’onde acoustique, de l’interface fluide et de la surface du transducteur, ce dont la th´eorie pr´esent´ee ne tient pas compte. Pour cette raison, nous avons fini par abandonner cette

Mesure exp´erimentale de la pente de la courbe de r´esonance de P´erot-Fabry

m´ethode, pour finalement n’utiliser que la m´ethode de mesure de l’amplitude directement sur les images.