V.2 Modifications du montage DDM
V.2.2 Matériel
Caractéristiques des capillaires
On ne peut pas utiliser les mêmes capillaires que pour la manipulation à pression ambiante. D’une part, ces derniers sont trop courts pour permettre la connexion avec la pompe. D’autre part, ils sont trop fragiles et ne supporteraient pas la contrainte de la pression imposée. On utilise donc des capillaires à section carrée (Polymicro, WWP Square FS Tubing) dotés d’un revêtement en polyimide, pouvant résister à des contraintes mécaniques variées, en particulier le fait de subir un fort fléchissement sans casser.
silice polyimide e h z y
FIGUREV.3 – Schéma d’une vue en coupe transversale d’un capillaire pour les expériences à haute pression et système de coordonnées.
La figure V.3 montre les constituants principaux du capillaire. En reprenant les notations indiquées, on a pour ces capillaires h = (50± 5) μm et e = (160 ± 10) μm. Le revêtement quant
à lui a une épaisseur d’environ 27μm.
Influence de la température et la pression
On a déjà vu (chapitre II) qu’une variation de température pouvait faire se contracter les parois d’un capillaire, mais que ce phénomène était complètement négligeable au regard de l’incertitude que le fournisseur attribue aux dimensions du capillaire.
Dans le cadre des expériences sous pression, il est de bon aloi de vérifier si ce nouveau paramètre a une influence sur la dimension des capillaires. Un matériau de volume V , à tem-pérature T (considérée comme fixe) et soumis à une pression p a une compressibilité isotherme définie ainsi : χ =−1 V ∂V ∂p T (V.1) On fait l’hypothèse que la valeur de χ est elle-même indépendante de la température et de la pression. Cette grandeur est liée au module d’Young (noté E) et au coefficient de Poisson (noté
ν) et dont les valeurs pour le verre (silice fondue) sont connues (voir tableau II.5, page 60). À température T0donnée, on note V0 = V (p0, T0)où p0 est une pression de référence. Le volume
V (p, T0)d’un matériau dépend alors de la pression p selon l’équation :
V (p, T0) = V0e−χ(p−p0) (V.2)
Au cours des expériences menées, on peut rencontrer Δp = p− p0 102MPace qui amène à considérer légitimement que χΔp 1, de sorte que l’on puisse écrire la variation de volume
ΔV :
ΔV =−V0χΔp (V.3)
On peut appliquer le même raisonnement sur la déformation des parois que lorsque la tempé-rature en était la cause et on trouve que la variation relative d’épaisseur de la paroi est :
Δe
e =− χΔp
1− 2ν (V.4)
On déduit alors la variation de distance entre les parois : Δh = −2Δe. À partir de la valeur de
Δpet des caractéristiques des parois en verre (tableau II.5), on trouve que la distance entre les parois varie d’environ 4%.
On traite de la même manière la compression éventuelle des billes de polystyrène qui sont les mêmes que celles utilisées pour les expériences eau-glycérol. Le liquide étudié étant l’eau pure, sa viscosité est bien moindre que celle que l’on peut rencontrer dans des solutions de glycérol (voir la discussion à ce sujet au paragraphe II.2.7). Le diamètre des billes choisi pour les mesures envisagées est donc 2a = (347± 6) nm (incertitude fournisseur). La variation Δa
du rayon des billes sous l’effet de la pression s’écrit alors à partir de V.3 : Δa =−aχΔp
3 (V.5)
Il va de soi dans cette expression que χ représente la compressibilité du polystyrène, dont la valeur est connue (voir tableau II.5, page 60). Tous calculs faits on constate que l’influence de la pression résulte en une variation de la taille des billes de l’ordre de 1%. On compare ce résultat à des mesures réalisées par Saglimbeni et al. [77] sur la compression de billes de polystyrène de taille micrométrique. Ces derniers trouvent une variation de rayon de −0.13 μm · GPa−1
environ pour une bille de rayon 2.26μm, soit une variation relative d’environ 1%. Ce résultat expérimental est cohérent avec celui des calculs présentés plus hauts.
On peut à présent faire un nouveau bilan d’incertitudes (voir tableau V.1 sur les billes et les parois du capillaire en tenant compte des influences de la température, de la pression et de la tolérance du constructeur vis à vis des dimensions indiquées. De nouveau, les contributions de la température et de la pression à l’incertitude finale sont négligeables au regard de celle provenant de la conception des billes ou du capillaire.
Retour sur la relation d’Oseen
La relation d’Oseen (équation II.17) permettait de tenir compte de l’influence de deux parois parallèles entre lesquelles diffusaient les particules. Cependant, dans le cas des capillaires de section carrées, les quatre parois contribuent à l’interaction avec les particules et elles doivent être prises en compte. On utilise de nouveau l’hypothèse d’Oseen qui stipule que les contri-butions de toutes les parois sont additives pour calculer le coefficient de diffusion apparent, parallèle aux parois :
D= D0 1−9a 16 1 y + 1 h− y + 1 z + 1 h− z (V.6) De nouveau, il faut intégrer cette expression pour tenir compte de l’effet moyen des parois sur les particules que l’on suppose réparties de façon homogène. Le coefficient de diffusion
V.2. MODIFICATIONS DU MONTAGE DDM 115 TABLEAUV.1 – Bilan d’incertitudes
Grandeur Source d’incertitude Type Notation Valeur
a
dispersion de taille A uaA 0.02a dilatation thermique B uaBT 0.002a
compression B uaBp 0.01a incertitude composée - ua 0.02a
h
incertitude fournisseur B uhBf 0.1h dilatation thermique B uhBT 5· 10−5h
compression B uhBp 0.04h incertitude composée - uh 0.1h
apparent moyen et parallèle aux parois se calcule alors : D = D0 (h− 2a)2 h−a a h−a a 1−9a 16 1 y + 1 h− y + 1 z + 1 h− z dy dz (V.7) Les grandeurs y et z étant indépendantes les unes des autres, le calcul de l’intégrale ne présente pas de difficulté et le résultat est :
D = D0 1− 9a 4(h− 2a)ln h a − 1 = f O(a, h)D0 (V.8) Le nouveau facteur d’Oseen se déduit en fait de celui du cas de deux parois parallèles :
f
O(a, h) = 2fO(a, h)− 1 (V.9)
a: rayon des particules
h: distance entre les parois
fO(a, h): facteur d’Oseen (relation II.17) On peut donc calculer le facteur d’Oseen théorique, ainsi que son incertitude pour ce mon-tage, connaissant celles sur a et h :
f
O(a, h) = 0.955± 0.002 (V.10) Des expériences sur trois capillaires ont été réalisées de manière indépendante afin de véri-fier l’accord entre les résultats théoriques et expérimentaux. On rappelle que le facteur d’Oseen expérimental est obtenu en comparant le coefficient de diffusion mesuré avec celui calculé à partir de la relation de Stokes-Einstein (équation I.11, page 34). Cette dernière nécessite la connaissance de la viscosité du liquide à 293 K, que l’on a obtenu à partir du site du NIST1. La viscosité varie très peu à 293.15 K sur la gamme de pressions explorées (jusqu’à 150 MPa). Pour chaque capillaire, la température étant fixée, on a réalisé la DDM en prenant une dizaine
de vidéos pour chaque pression afin de permettre une analyse statistique des données. Les résultats sont représentés en figure V.4.
FIGURE V.4 – Facteur d’Oseen mesuré dans un capillaire de section carrée à 293.15 K pour différentes pressions
Les valeurs obtenues avec chaque capillaire (marqueurs triangulaires) peuvent être com-parées au facteur d’Oseen calculé pour deux parois parallèles (fO) et celui qui tient compte de toutes les parois (fO = 2fO− 1). Les valeurs sont généralement plus proches de f
O ce qui justifie la correction apportée, mais la grandeur des barres d’erreur souligne également que la précision de la mesure n’est pas suffisante pour discriminer les très légères variations de visco-sité se produisant du fait de la pression, à température ambiante. Dans l’essentiel, ces résultats ne remettent pas en cause la relation d’Oseen et justifient que l’on continue à recourir à la « re-normalisation » des données à 293.15 K (relation II.27). En dépit du fait que la précision du montage ne permette pas de discriminer les variations de viscosité entre 0.1 MPa et 100 MPa, on applique quand même la méthode de « renormalisation » à pression donnée.