Q(M, V1, V2, T ) = N X N1=0 Z V 0 d ln µ V1 V − V1 ¶ (V − V1)V1 V VN1 1 (V − V1)N −N1 Λ3NN1!(N− N1)! Z dsN1 1 exp(−βU(sN1 1 )) Z dsN −N1 2 exp(−βU(sN −N1 2 )). (6.34) On en d´eduit alors la nouvelle probabilit´e avec le d´eplacement logarithmique du rapport des volumes des boˆıtes,
N (N1, V1, sN1 1 , sN −N1 2 )∼ V N1+1 1 (V − V1)N −N1+1 V N1!(N − N1)! exp(−β(U(sN1 1 ) + U (sN −N1 2 ))) (6.35) ce qui conduit `a un taux d’acceptation de la forme
π(o→ n) = Min µ
1,(Vn,1)
N1+1(V − Vn,1)N −N1+1exp(−βU(sN n)) (Vo,1)N1+1(V − Vo,1)N −N1+1exp(−βU(sN
o )) ¶
. (6.36) La derni`ere possibilit´e de mouvement concerne le changement de boˆıte pour une particule. Pour faire passer une particule de la boˆıte 1 dans la boˆıte 2, le rapport des poids de Boltzmann est donn´e par
N (o) N (n) =
N1!(N − N1)!(V1)N1−1(V − V1)N −(N1−1)
(N1− 1)!(N − (N1− 1))!(V1)N1(V − V1)N −N1 exp(−β(U(sNn)− U(sNo )) = N1(V − V1)
(N − (N1− 1))V1
exp(−β(U(sNn)− U(sNo ))) (6.37)
ce qui conduit `a un taux d’acceptation Π(o→ n) = Min
µ
1, N1(V − V1) (N − (N1− 1))V1
exp(−β(U(sNn)− U(sNo ))) ¶
. (6.38) L’algorithme correspondant `a la m´ethode de l’ensemble de Gibbs est une g´e-n´eralisation de l’algorithme de l’ensemble (µ, V, T ) dans lequel on remplace l’insertion et le retrait de particules par les ´echanges entre boˆıtes et dans lequel le changement de volume que nous avons vu dans l’algorithme (N, P, T ) est remplac´e ici par le changement simultan´e de volume des deux boˆıtes.
6.5 M´ethode Monte Carlo `a chaˆınes de Markov
mul-tiples
Les barri`eres d’´energie libre empˆechent le syst`eme de pouvoir explorer la totalit´e de l’espace des phases ; en effet, un algorithme de type Metropolis est fortement ralenti par la pr´esence de barri`eres ´elev´ees.
Pour calculer une courbe de coexistence ou pour obtenir un syt`eme ´equi-libr´e au dessous de la temp´erature critique, on doit r´ealiser une succession de simulations pour des valeurs successives de la temp´erature (voire aussi simulta-n´ement de potentiel chimique dans le cas d’un liquide). La m´ethode de “trempe
parall`ele” cherche `a exploiter le fait suivant : s’il est de plus en plus difficile d’´equilibrer un syst`eme quand on abaisse la temp´erature, on peut exploiter la facilit´e du syst`eme `a changer de r´egion de l’espace des phases `a temp´erature ´elev´ee en “propageant” des configurations vers des temp´eratures plus basses.
Consid´erons pour des raisons de simplicit´e le cas d’un syst`eme o`u seul on change la temp´erature (la m´ethode est facilement g´en´eralisable pour d’autres grandeurs intensives (potentiel chimique, changement du Hamiltonien,...)) : la fonction de partition d’un syst`eme `a la temp´erature Tiest donn´ee par la relation
Qi =X
α=1
exp(βiU (α)) (6.39)
o`u α est un indice parcourant l’ensemble des configurations accessibles au sys-t`eme et βi est l’inverse de la temp´erature.
Si on consid`ere le produit direct de l’ensemble de ces syst`emes ´evoluant `a des temp´eratures toutes diff´erentes, on peut ´ecrire la fonction de partition de cet ensmble comme
Qtotal =
N
Y
i=1
Qi (6.40)
o`u N d´esigne le nombre total de temp´eratures utilis´e dans les simulations. On peut tirer un grand avantage en r´ealisant simultan´ement les simulations pour les diff´erentes temp´eratures ; la m´ethode de “trempe parall`ele” introduit une chaine de Markov suppl´ementaire en sus de celles pr´esentes dans chaque boite de simulation ; cette chaine se propose d’´echanger, en respectant les condi-tions d’un bilan d´etaill´e, la totalit´e des particules entre deux boites cons´ecutives choisies au hasard parmi la totalit´e de celles-ci.
La condition de bilan d´etaill´e de cette seconde chaine peut s’exprimer comme Π((i, βi), (j, βj)→ (j, βi), (i, βj))
Π((i, βj), (j, βi)→ (i, βi), (j, βj)) =
exp (−βjU (i)) exp (−βiU (j))
exp (−βiU (i)) exp (−βjU (j)) (6.41) o`u U (i) et U(j) r´epresentent les ´energies des particules de la boite i et j. L’algorithme de la simulation est constitu´e de deux types de mouvement – D´eplacement de particule dans chaque boˆıte (qui peut ˆetre r´ealis´e en
pa-rall`ele) selon l’algorithme de Metropolis La probabilit´e d’acceptation : pour chaque pas de simulation `a l’int´erieur de chaque boite est donn´ee par
min(1, exp(βi(Ui(n)− Ui(o)))) (6.42) o`u les notations n et o correspondent `a la nouvelle et l’ancienne configu-ration respectivement.
– Echange de particules entre deux boˆıtes cons´ecutives. la probabilit´e d’ac-ceptation est alors donn´ee par
min(1, exp((βi− βj)(Uj− Ui))) (6.43) La proportion de ces ´echanges reste `a fixer afin d’optimiser la simulation pour l’ensemble de ce syst`eme.
6.5 M´ethode Monte Carlo `a chaˆınes de Markov multiples -2 -1 0 1 2 x 0 2 4 6 8 V(x)
Fig. 6.3 – Potentiel unidimensionel auquel est soumise une particule
Afin d’illustrer tr`es simplement ce concept, nous allons ´etudi´e le syst`eme mod`ele suivant. Soit une particule dans un espace unidimensionnel soumise au potentiel ext´erieur V (x) suivant
V (x) = +∞ si x <−2 1 + sin(2πx) si−2 ≤ x ≤ 1.25 2 + 2 sin(2πx) si−1.25 ≤ x ≤ −0.25 3 + 3 sin(2πx) si−0.25 ≤ x ≤ 0.75 4 + 4 sin(2πx) si 0.75≤ x ≤ 1.75 5 + 5 sin(2πx) si 1.75≤ x ≤ 2.0 (6.44)
Les probabilit´es d’´equilibre Peq(x, β) pour ce syst`eme s’exprime simplement comme
Peq(x, β) = exp(−βV (x)) R2
−2dx exp(−βV (x)) (6.45)
La figure 6.4 montre ces probabilit´es `a l’´equilibre. Notons que comme les minima de l’´energie potentielle sont identiques, les maxima des probabilit´es d’´equilibre sont les mˆemes. Quand la temp´erature est abaiss´ee, la probabilit´e entre deux minima d’´energie potentielle devient extrˆemement faible.
La figure 6.4 montre aussi le r´esultat de simulations Monte Carlo de type Metropolis ind´ependantes tandis que la figure 6.5 montre le r´esultat avec un simulation de “trempe parall`ele”. Le nombre total de configurations effectu´ees par la simulation reste inchang´ee.
-2 -1 0 1 2 x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 P(x) Metropolis+ Exact
Fig. 6.4 – Probabilit´es d’´equilibre (courbes pleines ) et probabilit´es obtenues par une simulation Metropolis pour la particule soumise au potentiel unidimen-sionnel pour trois temp´eratures T = 0.1, 0.3, 2
-2 -1 0 1 2 x 0 0.005 0.01 0.015 0.02 P(x) Tempering+ Exact
Fig. 6.5 – Identique `a la figure 6.4 except´e que la simulation est une trempe parall`ele
6.6 Conclusion
Avec une m´ethode de Metropolis habituelle, le syst`eme n’est ´equilibr´e que pour la temp´erature la plus ´elev´ee. Pour T = 0.3, le syst`eme ne peut explorer que les deux premiers puits de potentiel (sachant que la particule ´etait situ´ee dans le premier puits `a l’instant initial) et pour T = 0.1, la particule est incapable de franchir une seule barri`ere. Avec la m´ethode de “trempe parall`ele”, le syst`eme devient ´equilibr´e `a toute temp´erature en particulier `a tr`es basse temp´erature.
Pour des syst`emes `a N particules, la m´ethode de trempe parall`ele n´ecessite un nombre de boites sup´erieur `a celui utilis´e dans cet exemple tr`es simple. On peut mˆeme montrer que pour un mˆeme intervalle de temp´eratures, le nombre de boites n´ecessaire pour obtenir un syst`eme ´equilibr´e augmente quand la taille du syst`eme augmente.
6.6 Conclusion
Nous avons vu que la m´ethode Monte Carlo peut ˆetre utilis´ee dans un nombre tr`es vari´e de situations. Ce rapide survol de ces quelques variantes ne peut repr´esenter la tr`es vaste litt´erature sur le sujet. Cela permet, je l’esp`ere, de donner des ´el´ements pour construire, en fonction du syst`eme ´etudi´e, une m´ethode plus sp´ecifiquement adapt´ee.
Chapitre 7
Syst`emes hors d’´equilibre
Contenu
7.1 Introduction . . . . 79 7.2 Mod`ele d’addition s´equentielle al´eatoire . . . . 80 7.2.1 Motivation . . . 80 7.2.2 D´efinition . . . 81 7.2.3 Algorithme . . . 81 7.2.4 R´esultats . . . 83 7.3 Mod`ele d’avalanches . . . . 85 7.3.1 Introduction . . . 85 7.3.2 D´efinition . . . 86 7.3.3 R´esultats . . . 87 7.4 Mod`ele des sph`eres dures in´elastiques . . . . 88 7.4.1 Introduction . . . 88 7.4.2 D´efinition . . . 89 7.4.3 R´esultats . . . 89
7.1 Introduction
Nous abordons, dans les deux derniers chapitres, le vaste domaine de la m´ecanique statistique hors d’´equilibre. Les situations dans lesquelles un syst`eme ´evolue sans relaxer vers un ´etat d’´equilibre sont de loin les plus fr´equentes dans la nature. Les raisons en sont diverses : i) un syst`eme n’est pas forc´ement isol´e, en contact avec un thermostat, ou entour´e d’un r´eservoir de particules,... ce qui empˆeche une ´evolution vers un ´etat d’´equilibre ; ii) il peut exister des temps de relaxation tr`es sup´erieurs aux temps microscopiques (adsorption de prot´eines aux interfaces, polym`eres, verres structuraux, verres de spins) ; iii) le ph´enom`ene peut poss´eder une irr´eversibilit´e intrins`eque (li´ee `a des ph´enom`enes dissipatifs) qui n´ecessite l’introduction d’une mod´elisation fondamentalement hors d’´equilibre (milieux granulaires, fragmentation, ph´enom`enes de croissance, avalanches, tremblements de terre).
On peut distinguer trois grandes classes de syst`emes en ce qui concerne l’´evolution du syst`eme dans un r´egime hors d’´equilibre : dans un premier cas,
les syst`emes sont le si`ege de temps de relaxation tr`es longs (tr`es sup´erieurs au temps caract´eristique de l’observation), dans un second cas, les syst`emes qui ´evoluent vers un ´etat stationnaire loin de l’´equilibre.
Nous illustrons, sur trois syst`emes mod`eles, la pertinence d’une approche statistique des ph´enom`enes hors d’´equilibre et, particuli`erement, l’int´erˆet d’une ´etude par simulation num´erique des mod`eles.
Cette approche num´erique est d’autant plus justifi´ee qu’en l’absence d’une formulation analogue `a la thermodynamique, les m´ethodes th´eoriques de la m´ecanique statistique sont moins puissantes. L’utilisation de la simulation nu-m´erique est donc `a la fois un moyen essentiel pour comprendre la physique des mod`eles et un support pour le d´eveloppement de nouveaux outils th´eoriques.