Formalisme

8.2.1 Fonctions de corr´elation et de r´eponse `a deux temps.

Quand le temps de relaxation du syst`eme est sup´erieur au temps de l’obser-vation, le syst`eme ne peut pas ˆetre consid´er´e `a l’´equilibre au d´ebut de l’exp´e-rience, ni souvent durant le d´eroulement de celle-ci.

Il est donc n´ecessaire de consid´erer non seulement le temps τ ´ecoul´e durant l’exp´erience (comme dans une situation `a l’´equilibre), mais aussi de garder la m´emoire du temps ´ecoul´e tw, depuis l’instant initial de la pr´eparation du syst`eme jusqu’au d´ebut de l’exp´erience. Supposons par exemple que le syst`eme soit `a l’´equilibre `a l’instant t = 0, `a la temp´erature T , il subit alors une trempe rapide pour ˆetre amen´e `a une temp´erature plus basse T1. On note alors tw le temps ´ecoul´e depuis cette trempe jusqu’au d´ebut de l’exp´erience. Pour une grandeur A, fonction des variables microscopiques du syst`eme (aimantations pour un mod`ele de spin, vitesse et position des particules dans un liquide,...), on d´efinit la fonction de corr´elation `a deux temps C_A(t_w+ τ, t_w) comme

C_A(t_w+ τ, t_w) =hA(τ + tw)A(t_w)i − hA(τ + tw)ihA(tw)i. (8.1) Le crochet signifie que l’on prend la moyenne sur un grand nombre de syst`emes pr´epar´es de mani`ere identique¹.

De mani`ere similaire, on peut d´efinir une fonction de r´eponse pour la variable A, pr´ec´edemment introduite. Soit h son champ conjugu´e, on appelle la fonction de r´eponse, la d´eriv´ee fonctionnelle de la variable A par rapport au champ h :

χ_A(t_w+ τ, t_w) =µ δhA(tw+ τ )i δh(t_w)

¶

h=0

. (8.2)

En d’autres termes, cette fonction peut ˆetre exprim´ee comme hA(tw+ τ )i =

Z tw+τ tw

dsχ_A(t_w+ τ, s)h(s) +O(h²) (8.3)

1Par exemple, on consid`ere un syst`eme ´equilibr´e “rapidement” `a haute temp´erature. On applique une trempe `a l’instant t = 0, et l’on laisse relaxer le syst`eme pendant un temps tw, `

8.2 Formalisme

Pour respecter la causalit´e, la fonction de r´eponse est telle que

χ_A(tw+ τ, tw) = 0, τh0. (8.4)

On peut aussi introduire la fonction de r´eponse int´egr´ee (plus accessible aux simulations num´eriques) :

R_A(tw+ τ, tw) = Z tw+τ

tw

χ_A(tw+ τ, s)ds. (8.5)

8.2.2 R´egime de vieillissement et lois d’´echelle

Pour tout syst`eme, au moins deux ´echelles de temps caract´erisent la dy-namique du syst`eme : un temps de r´eorganisation locale (temps moyen de re-tournement d’un spin pour les mod`eles de spins), que l’on peut appeler temps microscopique t₀, et un temps d’´equilibration t_eq. Quand le temps d’attente t_w et le temps d’observation τ se situent dans l’intervalle suivant

t0 << tw<< teq (8.6) t₀ << t_w+ τ << t_eq, (8.7) le syst`eme n’est pas encore ´equilibr´e et ne pourra pas atteindre l’´equilibre sur l’´echelle de temps de l’exp´erience.

Dans un grand nombre d’exp´eriences, ainsi que pour des mod`eles solubles (g´en´eralement dans l’approximation du champ moyen), il apparaˆıt que la fonc-tion de corr´elafonc-tion s’exprime comme la somme de deux foncfonc-tions,

C_A(t_w+ τ, t_w) = C_ST(τ ) + C_AG µ ξ(t_w) ξ(t_w+ τ ) ¶ (8.8) o`u ξ(t<sub>w</sub>) est une fonction non-universelle qui d´epend du syst`eme. Ceci signifie que, sur une p´eriode courte, le syst`eme r´eagit essentiellement comme s’il ´etait d´ej`a `a l’´equilibre ; ce r´egime est d´ecrit par la fonction C<sub>ST</sub>(τ ), et ne d´epend pas du temps d’attente t<sub>w</sub>, comme dans un syst`eme d´ej`a ´equilibr´e.

Prenons l’exemple de la croissance d’un domaine ferromagn´etique dans un mod`ele de spins, tremp´e `a une temp´erature inf´erieure `a la temp´erature critique. Le premier terme de l’´equation (8.8) correspond `a la relaxation des spins `a l’int´erieur d’un domaine. Le second terme d´epend du temps d’attente et d´ecrit la relaxation des parois des domaines (o`u ξ(t) est la taille caract´eristique des domaines `a l’instant t).

Le terme de “vieillissement” se justifie par le fait que, plus on attend long-temps pour faire une mesure, plus le syst`eme a besoin de long-temps pour perdre la m´emoire de sa configuration initiale.

La fonction ξ(t_w) n’est pas pas connue en g´en´eral, ce qui signifie qu’il est n´ecessaire de proposer des fonctions d’essai simples et de v´erifier si les diff´erentes fonctions de corr´elation C_AG^{³ ξ(t}w)

ξ(tw+τ )

´

se superposent sur une seule courbe-maˆıtresse.

8.2.3 Vieillissement interrompu

Si la seconde in´egalit´e de l’´equation (8.7) n’est pas v´erifi´ee, c’est `a dire si le temps tw+ τ devient tr`es sup´erieur au temps d’´equilibration teq, alors que tw

est inf´erieur `a celui-ci, on va se trouver dans la situation dite, de “vieillissement interrompu”.

Au del`a des temps courts, le syst`eme relaxe comme un syst`eme hors d’´equi-libre, c’est-`a-dire avec une partie non stationnaire de la fonction de corr´elation. Aux temps tr`es longs, le syst`eme retourne `a l’´equilibre ; sa fonction de corr´ela-tion redevient invariante par translacorr´ela-tion dans le temps et v´erifie `a nouveau le th´eor`eme de fluctuation-dissipation.

8.2.4 “Violation” du th´eor`eme de fluctuation-dissipation

Dans le cas d’un syst`eme `a l’´equilibre, les fonctions de r´eponse et de corr´e-lation sont `a la fois invariantes par transcorr´e-lation dans le temps χ<sub>A</sub>(t<sub>w</sub>+ τ, t<sub>w</sub>) = χ<sub>A</sub>(τ ) et C<sub>A</sub>(t<sub>w</sub> + τ, t<sub>w</sub>) = C<sub>A</sub>(τ ), et reli´ees l’une `a l’autre par le th´eor`eme de fluctuation-dissipation (voir Appendice A).

χ(τ ) =    −β^{dCA(τ )} dτ ^τ ≥ 0 0 τ < 0 (8.9) Une telle relation ne peut ˆetre ´etablie dans le cas d’un syst`eme ´evoluant en dehors d’un ´etat d’´equilibre<sup>2</sup>. On parle de mani`ere abusive de la violation du th´eor`eme de fluctuation-dissipation pour souligner le fait que la relation ´etablie `a l’´equilibre n’est plus v´erifi´ee en dehors de l’´equilibre, mais il ne s’agit pas d’une v´eritable violation car les conditions de ce th´eor`eme ne sont remplies alors. Une v´eritable violation consisterait `a observe le non respect du th´eor`eme dans les conditions de l’´equilibre, ce qui n’est jamais observ´e.

Compte tenu des r´esultats analytiques obtenus sur des mod`eles solubles et des r´esultats de simulation num´erique, on d´efinit formellement une relation entre la fonction de r´eponse et la fonction de corr´elation associ´ee,

χA(t, t⁰) =−βXo(t, t⁰)^{∂CA(t, t}

0)

∂t0 (8.10)

o`u la fonction Xo(t, t⁰) est alors d´efinie par cette relation : cette fonction n’est donc pas connue a priori.

Dans le cas o`u le syst`eme est `a l’´equilibre, on a

X_o(t, t⁰) = 1. (8.11)

Aux temps courts, les d´ecroissances de la fonction de corr´elation et de la fonction de r´eponse sont donn´ees par des fonctions stationnaires qui ne d´ependent pas du temps d’attente ; on a alors

X_o(t_w, +τ, t_w) = 1 τ << t_w. (8.12) Au del`a de ce r´egime, le syst`eme vieillit et la fonction X_o est diff´erente de 1.

2Le point cl´e dans la d´emonstration du th´eor`eme de fluctuation-dissipation est la connais-sance de la distribution de probabilit´e `a l’´equilibre.