5.4.1/ Principe
Le principe de la méthodologie développée pour l’optimisation de la masse en moyennes et hautes fréquences est similaire à celui utilisé en basses fréquences cependant, il n’y a que des quantités énergétiques qui sont prises en compte, ce qui simplifie la gestion des informations par zones. En effet, en basses fréquences il y avait trois indicateurs par zone, représentant le comportement modal de la structure, tandis qu’ici il n’y a qu’une seule information par zone et par tiers d’octave. Il n’est donc plus nécessaire d’utiliser un algorithme de classement afin de déterminer quelles épaisseurs peuvent être modifiées, les valeurs énergétiques par zone sont simplement comparées à leurs valeurs limites autorisées par tiers d’octave.
Un organigramme de la procédure développée est présenté figure 5.12 et peut être résumé de la manière suivante :
1. Préparation du modèle : création des sous-systèmes, définition des conditions limites entre les sous-systèmes.
2. Définition des paramètres tels que le nombre maximal d’itérations.
3. Choix des seuils à partir d’une analyse préliminaire.
4. Calcul des énergies des sous-systèmes par tiers d’octave.
5. Modification des épaisseurs selon les énergies calculées.
6. Mise à jour du modèle avec les nouvelles épaisseurs.
7. Si l’un des critère d’arrêt est atteint, analyse avec les dernières valeurs d’épaisseurs vali- dées, sinon retour au point 4.
Il faut également vérifier avant d’utiliser la procédure la validité des choix des sous-systèmes, des conditions limites et également définir la bande de fréquences sur laquelle la stratégie est applicable par une étape de validation comparant les énergies des sous-systèmes obtenus avec un modèle éléments finis complets et celles obtenues avec les sous-systèmes SmEdA de la même manière que dans la partie 5.2.1.
5.4.2/ Stratégie d’action sur les variables
Dans la stratégie d’optimisation proposée ici, il n’y a pas d’indicateurs de prise de décision défini à proprement parler. En effet, les seules informations pouvant être obtenues sur les diffé- rents sous-systèmes sont les énergies par tiers d’octave. Si l’une de ces énergies ne permet plus de vérifier les fonctions contraintes, l’épaisseur associée à ce sous-système est augmentée d’une valeur définie au préalable. Dans le cas où toutes les fonctions contraintes sont vérifiées, deux seuils sont définis permettant de diminuer les épaisseurs des sous-systèmes concentrant le moins d’énergie. Ces deux seuils sont des pourcentages de l’énergie totale de la structure, il y a donc deux valeurs différentes de diminution des épaisseurs.
D´ebut D´efinition des sous-
syst`emes et des conditions limites
Analyse
D´efinition des seuils
Calcul des ´energies
Mise `a jour du mod`ele
Analyse
Convergence ?
Fin oui
Diminution des ´epaisseurs Augmentation
des ´epaisseurs
non
Figure 5.12: Organigramme de la stratégie d’optimisation
Si la fonction contraintes qui n’est plus vérifiée est celle concernant l’énergie acoustique dans la cavité alors comme précédemment (section 3.3.4), toutes les épaisseurs diminuées à l’étape précédente sont ré-augmentées. La stratégie développée dans le cas des moyennes et hautes fréquences est donc également adaptative et se corrige dans le cas où des fonctions contraintes ne sont plus vérifiées, un paramètre ninv est défini de la même manière que dans la stratégie d’optimisation en basses fréquences afin de contrôler le nombre de designs non validés.
Dans le cas où un sous-système est composé de plusieurs plaques d’épaisseurs différentes, toutes les épaisseurs du système sont diminuées ou augmentées du même pourcentage.
Le paramètre ninv peut avoir une importance particulière lors de la procédure, en effet, le fait de modifier les épaisseurs des zones modifie également les fréquences des modes. Or l’utilisation de la méthode SmEdA permet d’obtenir les facteurs de pertes en couplage entre les modes de deux sous-systèmes sur une bande de fréquence donnée, ici des tiers d’octave. Or si la fréquence d’un mode est modifiée, il est possible que ce mode change de tiers d’octave ce
qui peut modifier significativement les énergies du sous-sytème sur les deux tiers d’octave en question notament dans le cas où la densité modale d’un sous-système est faible sur les premiers tiers d’octave en moyennes fréquences.
A chaque itération, la validité des choix des conditions limites entre les sous-systèmes est également vérifiée. En effet si l’un des sous-systèmes voit son épaisseur modifiée, il est possible que le rapport entre les épaisseurs s’inverse et qu’il faille échanger les conditions limites (en général bloquée et supportée). Ainsi, à chaque modification d’épaisseur un test est mené pour déterminer quel sous-système a l’épaisseur la plus grande.
5.4.3/ Obtention de sous-systèmes ayant des épaisseurs égales
Il existe un cas critique lors duquel les épaisseurs des deux sous-systèmes deviendraient égales après une itération. Afin d’évaluer les différences pouvant être obtenues sur les énergies lorsque les conditions limites entre deux sous-systèmes sont incertaines, un calcul a été mené sur un ensemble de deux plaques de même épaisseur. Dans un premier cas, la première plaque est bloquée sur l’arête commune tandis que la seconde est supportée et dans un second cas, ces conditions limites sont échangées. La première plaque est de 0, 6m × 1m × 0.003m, la seconde de 0.475m × 1m × 0.003m. Elles forment un angle de 108 degrès. La figure 5.13 présente les facteurs de recouvrement modal dans les deux cas de conditions limites puisque le fait de les changer entraîne une modification des bases modales des deux plaques. L’amortissement structural im- posé est de 2%. Sur cette figure on peut s’appercevoir que les facteurs de recouvrement modal sont légèrement différents mais que les plaques ont un comportement moyennes fréquences aux même fréquences. 6300 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 2 4 6 8 10 Fréquence
Facteur de recouvrement modal
plaque 1 bloquée plaque 2 supportée plaque 1 supportée plaque 2 bloquée
Figure 5.13: Facteurs de recouvrement modal des deux plaques par tiers d’octave selon les conditions limites
La figure 5.14 présente les énergies des deux plaques, en bleu le premier cas de conditions limites (plaque 1 bloquée, plaque 2 supportée), en rouge le second (plaque 1 supportée, plaque 2 bloquée), en trait plein la première plaque et en pointillés la seconde. Les calculs sont effectués dans les deux cas d’excitation. Sur cette figure, on peut observer que les énergies sont diffé-
rentes sur les deux premiers tiers d’octave, c’est-à-dire lorsque les plaques n’ont pas encore un comportement moyennes fréquences, mais que par la suite leurs énergies sont très proches voire égales dans les hautes fréquences.
6300 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Fréquence Energie plaque 1 bloquée plaque 2 supportée plaque 1 supportée plaque 2 bloquée
(a) Excitation plaque 1
6300 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6300 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 Fréquence Energie (b) Excitation plaque 2
Figure 5.14: Énergies des sous-systèmes par tiers d’octave
Les énergies dans les deux cas de conditions limites étant très proches, il a été décidé que dans le cas où lors d’une itération, deux épaisseurs de sous-systèmes coïncidents devenaient égales, les conditions limites restent identiques aux conditions initiales et ne sont modifiées que lorsque le rapport entre les deux épaisseurs s’inverse.