3.2 Présentation du problème d’optimisation vibro-acoustique en basses fréquences
3.3.5 Choix des points de mesure
Comme il n’est pas possible pour des raisons de temps de calcul de définir les indicateurs définis dans les sections précédentes pour tous les nœuds de chaque zone, il est nécessaire de définir seulement quelques nœuds de contrôle par zone qui représenteront le comportement de celle-ci tout au long de la procédure d’optimisation.
Le critère choisi pour définir les nœuds de contrôle de chaque zone est un critère de visi- bilité des modes défini par Vinot et al. [82] pour la position de capteurs lors d’une campagne de mesures expérimentales. Il s’agit d’un algorithme qui permet à partir d’un modèle numé- rique de définir les nœuds d’observation les plus pertinents à partir d’un ensemble de nœuds candidats pour observer un ensemble de modes définis. Cet algorithme est basé sur des critères d’observabilité et de distinction des modes restreints au nombre de degrés de liberté observés.
L’observabilité κν du mode est évalué en calculant le ratio entre la composante maximale
du νèmevecteur propre de la base modale restreinte aux degrés de liberté de translation et celle de la base modale restreinte aux degrés de liberté des nœuds candidats :
κν =
kryνk∞
kTyνk∞
(3.26)
etTyν le vecteur propre de ce même mode restreint aux degrés de liberté en translation.
Un mode est considéré comme observable si au moins l’un des capteurs (ou nœuds can- didats) obtient un niveau de réponse suffisant par rapport au niveau de réponse maximum. L’observabilité est donc comprise entre 0 et 1, 0 signifiant que le mode ne peut pas être observé sur les nœuds candidats et 1 que le nœud candidat est celui qui observe le niveau maximal de réponse du mode.
Un groupe de mode est considéré comme distinguable si aucun vecteur propre ne peut être décrit comme étant une combinaison linéaire des autres. La distinction d’une base modale est quantifiée par son indice de conditionnement : plus l’indice de conditionnement est faible, plus la distinction est élevée.
Pour déterminer le groupe de nœuds qui permettra la plus grande distinction, une procédure itérative est effectuée. Le premier nœud est choisi en trouvant parmi les candidats celui qui maximise la somme des colonnes de la matrice de la base modale :
S1 = {Dj : max Dj
(min
Yi
(kYi(Dj)k1))} (3.27)
où S1 est la position du premier nœud Dj est l’ensemble des candidats, Yi est la base modale
et Yi(Dj) cette même base modale restreinte aux nœuds candidats.
Ensuite, les positions des autres nœuds sont définies telles que :
Sk= {{Sk−1, Dj} : min
Dj
(max
Yi
(cond(Yi(Sk−1, Dj))))} (3.28)
où Sk est le vecteur des nœuds retenus parmi les candidats, Yi(Sk−1, Dj) la base modale res-
treinte aux k − 1 candidats retenus et cond(X) représente l’indice de conditionnement de la matrice X défini comme le produit entre la norme de la matrice X et la norme de l’inverse de cette matrice :
cond(X) = kXkkX−1k. (3.29)
Les nœuds retenus par zone sont donc ceux qui permettent d’observer et de distinguer les modes de la structure globale, il sont donc les nœuds les plus à même de révéler les amplitudes maximum de déplacement par zone par exemple.
La critique qui peut être faite sur le choix de cet algorithme est qu’au cours de la procédure d’optimisation, les points les plus pertinents pour une zone donnée peuvent évoluer au cours des itérations. En effet la diminution des épaisseurs de certaines zones peut entraîner l’apparition de nouveaux modes dans la bande de fréquence considérée.
3.4/
Conclusions
Une procédure d’optimisation de la masse de cabine de camion, par modification d’épaisseur de tôles, permettant de conserver un comportement vibro-acoustique acceptable a été dévelop- pée. Celle-ci est basée sur des indicateurs de prise de décision qui évaluent a priori l’influence de la modification des épaisseurs de chaque zone sur le comportement de la cabine. Ces zones sont ensuite classées grâce à l’algorithme de classement de la méthode NSGA permettant d’obtenir des fronts de Pareto qui permettent de définir quels groupes de zones peuvent avoir leurs épais- seurs modifiées en dégradant le moins possible le comportement vibro-acoustique de la cabine. Il s’agit d’une méthode adaptative afin que si l’une des fonctions contraintes n’est plus vérifiée, les variables soient modifiées sans provoquer l’arrêt de la procédure. Des points de contrôle sont définis pour chaque zone afin de ne pas avoir à évaluer les réponses harmoniques de tous les nœuds de la structure.
Certaines améliorations peuvent être envisagées permettant de meilleurs résultats. En effet la notion de non-domination de l’algorithme de classement de la méthode NSGA peut impliquer qu’une zone pouvant dégrader le comportement vibro-acoustique soit sélectionnée dans un front dont les épaisseurs sont diminuées. De même, l’algorithme permettant de définir quels sont les points de contrôle de chaque zone est basé sur des critères d’observabilité et de distinction des modes. Dans notre cas, le fait que les modes puissent être distingués n’est pas important et peut donc provoquer un mauvais choix de nœuds.
L’utilisation d’un algorithme ne sélectionnant que les nœuds dont l’amplitude de dépla- cement est élevée est envisageable, de plus, on pourrait utiliser un processus adaptatif pour le choix de ces nœuds. Après un certain nombre d’itérations, il est possible que les points de contrôle choisis au départ ne soient plus les plus efficaces si la base modale est modifiée. On pourrait donc envisager soit un critère permettant de quantifier le changement de la base modale (qui est calculée à chaque itération pour obtenir les réponses harmoniques) qui à partir d’une limite choisie par l’utilisateur provoquerait une modification des points de contrôle, soit que ces points de contrôle soient automatiquement modifiés après un nombre d’itérations défini par l’utilisateur. Cette idée ne permettrait pas de modifier la vitesse de la procédure mais pourrait la rendre plus précise, puisque les points de contrôle seraient ré-évalués.
De même, on pourrait envisager l’utilisation de méthodes de réduction de modèle pour les zones dont les épaisseurs ne peuvent pas être modifiées. En effet ce sont généralement des zones qui ont une grande surface et cela permettrait un gain de temps de calcul non négligeable dans le cas de modèle avec un nombre conséquent de degrés de liberté.
Dans le cas de zone dont la surface est importante, on peut également envisager de vérifier que la diminution de l’épaisseur obtenue par la méthode ne peut pas être améliorée en installant un raidisseur sur le point ayant l’amplitude maximale. En effet en faisant l’analogie avec le
premier mode d’une plaque appuyée sur tous ses bords, le premier mode a une amplitude maximale sur le centre de la plaque. Or en ajoutant un raidisseur sur ce point, on observe une diminution conséquente de l’amplitude. Le gain en masse pourrait donc être plus important.
Application de la stratégie
d’optimisation en basses
fréquences
Ce chapitre permet de montrer l’applicabilité à un cas industriel de la méthode d’optimisa- tion de la masse développée. Dans un premier temps, la méthode est appliquée sur un cas-test académique qui est un modèle éléments finis représentant schématiquement une cabine de ca- mion. Les résultats obtenus en terme de diminution de masse sont présentés et ceux-ci sont comparés à ceux issus de l’algorithme d’optimisation sous contraintes fmincon disponible sous Matlab. Dans un second temps, la méthode est appliquée à un modèle industriel représentant la cabine Midlum développée par Renault Trucks.