C.2 Méthodes par superposition

La dose en un point est obtenue par superposition des contributions provenant de différents éléments du volume couvrant l’ensemble du volume irradié (cf. figure I-22). La dose en un point P peut être considérée comme la somme des contributions de dépôt d’énergie dans un petit volume autour de P par les photons et électrons originaires de l’interaction de photons primaires dans des volumes distants. On peut les séparer en deux grandes familles :

Figure I-22 : Principe de la superposition de kernels [MAZ10]

Séparation primaire-diffusé

Cette méthode a principalement été développée pour prendre en compte les champs de forme irrégulière. Elle a d’abord été développée par Clarkson [CLA41] puis par Cunningham [CUN72]. Elle consiste à calculer la dose primaire et à lui ajouter la dose diffusée par le volume inclus dans le faisceau par une méthode qui divise le champ en secteur de cercle centrés sur le point de calcul.

Dans sa forme simplifiée, la méthode de séparation primaire-diffusé suppose que la fluence primaire donnant naissance au diffusé est uniforme sur toute la surface du champ. En effectuant un découpage radial en plus du découpage angulaire, on décompose le milieu en colonnes qui génèrent un diffusé proportionnel au primaire lui donnant naissance et on peut ainsi calculer la dose précisément même en cas d'incidence oblique ou de modulation d'intensité significative.

L'avantage essentiel des méthodes de séparation primaire-diffusé est lié à leur capacité de calculer les doses avec des temps assez courts, dans des situations relativement complexes. Les limitations essentielles correspondent aux situations où il y a modification de l'équilibre électronique en présence d'hétérogénéités.

Convolution / superposition de kernels

Les méthodes de convolution / superposition de kernels sont également des méthodes de décomposition en composante primaire-diffusé. Elles ont été proposées durant les années 1980 et sont à l’heure actuelle les méthodes les plus utilisées en routine clinique [BOY85] [MOH86] [AHN89] [MAC85].

Ces méthodes séparent les processus de transport et de dépôt d’énergie en deux phases : le transport de l’énergie par les particules primaires et son dépôt d’énergie par les particules secondaires. La dose absorbée correspond à la somme des énergies déposées par les fonctions de dispersion d’énergie (« point spread functions » ou point-kernels) pondérées par la fluence des photons primaires au point d’interaction. Cette somme est réalisée par la convolution des deux phases (cf. figure I-23).

L’équation générale du calcul de dose à la position 𝑞 s’écrit : 𝐷(𝑞) = ∑ 𝑇(𝑝) × 𝐾(𝑝 − 𝑞)

𝑝

où 𝑇(𝑝) est le TERMA (Total Energy Realeased per Mass unit) à la position p et 𝐾(𝑝 − 𝑞) est la part de l’énergie 𝑇(𝑝) au point 𝑞.

I.C.2.b.i Méthode point-kernel

La méthode du point kernel consiste en deux étapes successives. La première correspond au calcul de l’énergie totale transférée par tous les photons primaires dans une unité de masse, appelée aussi TERMA. Il correspond à l’énergie radiante totale libérée par unité de masse par les photons primaires de fluence énergétique Ψ(𝑝) :

𝑇(𝑝) =𝜇

𝜌(𝑝). Ψ(𝑝)

où 𝜇_𝜌(𝑝) correspond au coefficient d’atténuation à la position p (donnée issue du scanner) et Ψ(𝑝) la fluence énergétique primaire (issue des mesures).

La deuxième phase consiste à calculer un modèle de dépôt de cette énergie autour d’un site d’interaction primaire. Ce modèle est appelé noyau de convolution ou point-kernel [AHN87]. Les points-kernels représentent la fraction d’énergie déposée par les particules secondaires autour du site d’interaction de la particule primaire (cf. figure I-24 a). Ils sont pré-calculés par simulation Monte-Carlo [MAC88] pour un certain nombre de faisceaux mono énergétiques.

Figure I-24 : Noyaux de convolution : (a) noyau représentant la répartition de l’énergie libérée par des interactions de photons primaires ayant lieu en un point unique ; (b) un noyau de type « pencil beam »,

représentant la dose déposée par un faisceau de section infinitésimale. [YAN14]

Les noyaux de convolution sont calculés dans une cuve d’eau homogène. Or le corps humain est constitué d’une multitude de milieux très différents (air, poumon, tissu mou, os, …) ce qui va modifier de manière importante le dépôt d’énergie. En milieu hétérogène, il va donc y avoir une adaptation des deux phases de calcul :

- le TERMA étant proportionnel à la fluence primaire, il doit être calculé en prenant en compte les coefficients d’atténuation des matériaux traversés. La carte d’atténuation du milieu est issue de l’acquisition scanographique ;

- le noyau de convolution va être adapté : dilaté lorsque la densité électronique est faible, et compressé lorsqu’elle est élevée. Ces adaptations sont appelées scaling [OCO84].

L’équation générale du calcul de dose s’écrit alors : 𝐷(𝑞) = ∑ 𝑇(𝑝) × 𝐾 (𝜌

𝑚𝑎𝑡

𝜌𝑟𝑒𝑓(𝑝 − 𝑞)) 𝑝

où 𝜌𝑟𝑒𝑓est la densité électronique du milieu dans lequel le noyau a été généré et 𝜌𝑚𝑎𝑡 est la densité électronique du milieu dans lequel le noyau doit être adapté.

Le scaling correspond à des modifications en ligne droite à partir du centre du noyau. Or, les trajectoires des électrons mis en mouvement à partir de ce centre sont en réalité bien plus irrégulières. Cependant, cette approximation reste acceptable avec des erreurs ne dépassant pas 5 %. En revanche le temps de calcul est très long car la méthode nécessite deux boucles imbriquées sur l’ensemble des voxels. Les méthodes détaillées ci-dessous sont les méthodes les plus efficaces afin de rendre le temps de calcul cliniquement acceptable.

I.C.2.b.ii Méthode du Pencil Beam : cas des photons

Cette méthode consiste en une pré-intégration de tous les noyaux dans le sens de la profondeur du faisceau de section infinitésimale. Le noyau obtenu donne donc la dose déposée par ce faisceau de section infinitésimale lorsqu’il pénètre dans la matière (cf. figure I.24 b). Cette méthode dite « pencil beam » est aussi bien utilisée pour des faisceaux d’électrons [KOO89] que pour les photons [AHN92].

Le calcul de dose pour un faisceau plus large est réalisé en mettant tous les noyaux côte à côte. On réalise ainsi une convolution entre le noyau Pencil beam et le TERMA du faisceau dans la cuve d’eau. Cette méthode donne de très bons résultats en milieu homogène mais reste limitée pour des milieux hétérogènes. En effet, la mise à l’échelle du noyau en fonction de la densité (scaling) est réalisée uniquement le long de l’axe du faisceau. Les diffusions électroniques latérales ne sont donc pas prises en compte.

La méthode du pencil beam a été améliorée grâce à la création de scaling latéral et à l’ajout de modèles complémentaires aux interfaces [ULM05] [TIL08]. Cela permet une augmentation de la précision de calcul mais des erreurs importantes (jusqu'à 8 % dans le cas de faisceaux étroits) peuvent toutefois être relevées sur des géométries complexes.

I.C.2.b.iii Méthode du Pencil Beam : cas des électrons

De même que pour les photons, cette méthode consiste à diviser un faisceau large en un grand nombre de faisceaux étroits (pencils) pour représenter les électrons et décrire leur comportement dans un patient. La dose absorbée en un point P correspondra à la somme des pencils du faisceau superposé en ce point (cf. figure I-25).

Hogstrom et al. [HOG81] ont montré que la forme analytique de Fermi-Eyges dans le Pencil Beam est capable de prédire l’existence et la position approximative des perturbations dans les distributions de dose causées par les hétérogénéités. De plus, l’effet dû aux incidences obliques des

faisceaux est correctement pris en compte. Pour les champs irréguliers, la méthode du Pencil Beam est un choix adapté car elle est capable d’intégrer le calcul sur une forme quelconque du champ.

Figure I-25 : Concept du Pencil Beam pour des faisceaux d’électrons [NAH86]

Ce modèle est adapté à une géométrie « en tranches » car il y a une mise à l’échelle en fonction du pouvoir d’arrêt (cf. figure I-26 a). En revanche, il ne permet pas de prendre en compte les dimensions latérales des hétérogénéités (cf. figure I-26 b).

Figure I-26 : Modification des kernels en fonction des hétérogénéités : (a) cas d’une géométrie en tranche, (b) cas d’une variation latérale de densité [NAH86]

I.C.2.b.iv Méthode Collapsed Cone Convolution

Le méthode « Collapsed Cone Convolution » a été développée par Ahnesjö [AHN89] de manière à améliorer le compromis temps/précision.

Cette méthode utilise des noyaux exprimés en coordonnées sphériques permettant d’avoir une direction de transport d’énergie sous forme de cône dont le point central correspond en TERMA préalablement calculé (cf. figure I-27 a). On suppose que toute l’énergie qui est propagée dans un cône du noyau est transportée, atténuée et déposée sur l’axe de ce cône selon une loi exponentielle.

Cette hypothèse permet de distribuer simultanément la dose le long d’un ensemble de raies discrètes qui émergent de chaque point TERMA et d’accumuler le TERMA au fur et à mesure que l’on avance dans la direction considérée (cf. figure I-27 b). Cette simultanéité est à la base des performances en temps de calcul de l’algorithme.

Figure I-27 : Concept du Collapsed cone : (a) la ligne axiale dans le cône représente l’énergie transférée dans

une zone en forme de cône avec un angle azimutal 𝜑 et un angle zénithal 𝜃. (b) la zone du kernel est quantifiée par un nombre M de collapsed cones. Chaque ligne de cône est aussi quantifiée par N nombre de voxels

[WOO12]