Méthodes d’optimisation stochastique multiobjectif

Par la suite, les méthodes les plus répandues sont présentées ainsi que leur fonctionnement respectif. Cet état de l’art n’est pas exhaustif mais permet d’avoir une vue d’ensemble des méthodes disponibles pour la résolution d’un problème en fonction de sa typologie. Ces méthodes sont catégorisées en fonction des caractéristiques qui ont été énoncées précédemment.

Tout d’abord, les principales méthodes agrégées sont :

 La somme pondérée

Un poids (wi) est affecté à chaque fonction objectif. Cette pondération représente l’importance inférée par le décideur pour chacun des objectifs. La somme pondérée des fonctions objectif devient alors l’unique fonction objectif à minimiser, telle que :

 Goal programming (Charnes and Cooper, 1961)

Cette méthode permet l’analyse de la déviation des objectifs par rapport aux buts (bi) à atteindre fixés par le décideur. La finalité consiste à trouver une solution qui se rapproche de ces buts en satisfaisant les contraintes. Il est aussi possible de regrouper les objectifs en fonction de leur priorité afin de résoudre le problème en cascade.

 Min-Max (Coello Coello et al., 1995)

Un but (bi), ou valeur cible à atteindre, est associé à chacun des objectifs par le décideur. Cette méthode consiste à minimiser le maximum de l’écart relatif entre l’objectif et son but, telle que :

 Ɛ-contraintes

Seule la fonction objectif prioritaire fi est minimisée. Les autres fonctions objectif sont considérées comme étant des contraintes auxquelles sont appliquées des limites 𝜀_𝑗.

𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑠𝑒𝑟 ∑ 𝑤_𝑖 ∙ 𝑓_𝑖(𝑥) 𝑛 𝑖=1 , 𝑥 ∈ 𝐾 (3.4) 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑠𝑒𝑟 ∑ 𝑤_𝑖∙ 𝑚𝑎𝑥(𝑓_𝑖(𝑥) − 𝑏_𝑖, 0) 𝑛 𝑖=1 , 𝑥 ∈ 𝐾 (3.5) 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑚𝑎𝑥_𝑖(^𝑓𝑖(𝑥) − 𝑏_𝑖 𝑏_𝑖 ^{) , 𝑥 ∈ 𝐾 (3.6)}

Ensuite, les méthodes non-agrégées qui conservent l’intégrité des objectifs sont différenciées en deux catégories en fonction du type de recherche :

 Non-Pareto :

Les objectifs sont traités séparément, ce qui simplifie leur prise en compte. Parmi les méthodologies notables, il y a :

o L’ordonnancement lexicographique (Fourman, 1985)

Cette méthode prend en considération les objectifs les uns après les autres, en fonction de l’ordre d’importance préalablement donné par le décideur. Le problème complet est donc une succession de problèmes mono-objectifs dont les résultats obtenus sont considérés comme étant des contraintes au fur et à mesure du déroulement du processus.

o Vector Evaluated Genetic Algorithm : VEGA (Schaffer, 1984)

Cet algorithme génétique, dont une description est donnée à la Section 3.4.3, est l’un des premiers de ce type à avoir été conçu pour résoudre les problèmes multiobjectifs. Sa singularité concerne le processus utilisé pour la sélection « en parallèle » des solutions à conserver. En effet, à partir d’un ensemble de n solutions, les n/k meilleures solutions sont retenues pour chacun des k objectifs. Ces k sous-ensembles sont alors regroupés pour former le nouvel ensemble sur lequel les autres opérations génétiques peuvent alors être effectuées. Evidemment, seules les solutions optimales pour un critère à la fois sont conservées.

 Pareto :

Dans ce cas, les objectifs sont traités conjointement. Ces algorithmes ont pour objectif d’orienter rapidement les recherches vers les optima-Pareto (l’intensification) tout en conservant une bonne diversité des solutions (la diversification). La Figure 3.2 illustre ce concept avec l’exemple de deux fonctions à minimiser. Le front de Pareto y est représenté par la ligne bleue reliant les points verts.

f2 f1 f2 f1 f2 f1 f2 f1

Figure 3.2. Représentation des deux principales finalités concernant la recherche du front de Pareto pour un problème à deux fonctions objectif

Plusieurs méthodologies largement répandues ont été développées : o Recuit simulé (Kirkpatrick et al., 1983)

Cette méthodologie est inspirée d’un phénomène thermodynamique. Le recuit est un procédé utilisé en métallurgie qui consiste à élever la température d’un matériau cristallin pour ensuite le faire refroidir sous conditions contrôlées. Cet algorithme agit sur une unique solution qui est modifiée itérativement afin de minimiser la fonction objectif, définie par analogie comme étant l’énergie du système. Un paramètre de sélection, la température du système, est progressivement abaissé pour faire converger l’algorithme.

o Algorithmes génétiques (Goldberg, 1989 ; Davis, 1991)

Cette méthodologie est inspirée de phénomènes biologiques et plus particulièrement génétiques. L’analogie entre le fonctionnement des principes évolutionnaires et l’optimisation

est directe en considérant une population sur laquelle s’appliquent itérativement les principes de la sélection naturelle.

o Colonie de fourmis (Colorni et al., 1991)

Cette méthodologie est inspirée du comportement collaboratif des fourmis pour relier la fourmilière à une source de nourriture. La piste de phéromones déposées par les fourmis s’intensifie à mesure des passages ce qui constitue un historique de recherche et s’évapore pour exprimer son occurrence. Par ailleurs, l’intérêt relatif à la prise de décision est défini par la force gloutonne. Le concept est alors retranscrit mathématiquement pour l’optimisation de problèmes complexes.

o Essaim de particules (Kennedy et Eberhart, 1995)

Cette méthodologie est inspirée du comportement collaboratif des oiseaux volant en groupe qui sont conceptuellement représentés par des particules. Ainsi, un ensemble de particules évoluant dans l’espace de recherche est pris en considération. Chaque particule se déplace en fonction de sa vitesse, de sa meilleure performance obtenue et de la meilleure performance obtenue par ces voisines.

Deux états de l’art sur l’optimisation appliquée au domaine du bâtiment ont été effectués par Attia et al. (Attia et al., 2013) et Evins (Evins, 2013). Ces travaux mettent en avant la diversité des approches utilisées et soulignent la dépendance de l’efficacité relative des méthodes à l’espace de recherche et au type de fonctions objectif. Par ailleurs, ces articles permettent de confirmer que les algorithmes évolutionnaires, et particulièrement le NSGA-II (Deb et al., 2002), sont les plus largement répandus.

Chaque problème ayant ses propres spécificités, il est indispensable de choisir et d’adapter les méthodologies au contexte de l’étude. En particulier, il existe des verrous scientifiques qui impliquent de faire des choix techniques singuliers pour la résolution de ce problème, comme par exemple le temps de calcul lié à la simulation complète d’un quartier. Par ailleurs, les différentes plus-values, provenant des simulations effectuées à l’aide de la plateforme DIMOSIM et des post-traitements associés, ne doivent pas être altérées par une optimisation agrégée et simplifiée par une réduction à un seul objectif. En effet, ce problème est multiobjectif et il est impossible de ramener tous les résultats physiques à un unique critère, par exemple économique, sans compensation abusive. La démarche idéale revient donc à effectuer la prise de décision après l’identification de meilleures solutions. Cette recherche sans altération des optima-Pareto est une exigence obligeant à orienter le choix vers les méthodes Pareto.

Une procédure d’optimisation non-agrégée et axée sur la recherche du front de Pareto doit être élaborée en prenant en considération l’ensemble des spécificités du problème d’optimisation à l’étude. Finalement, il s’agit d’obtenir une procédure efficace dans la recherche d’optima, mais aussi efficiente afin de les obtenir dans un temps réduit.