Prétraitement Des Modèles Tridimensionnels
4.5 Méthodes d’alignement
on construit autant de sphères minimales que de classes sémantiques.
(a) (b)
Figure 4.7 – Influence de la normalisation sur la sémantique de l’objet. (a)
repré-sente l’objet girafe à l’intérieur de la sphère minimale. (b) reprérepré-sente l’utilisation de la même sphêre pour envelopper l’objet chien (figure extraite de [93]).
4.5 Méthodes d’alignement
Une étude approfondie des approches de l’alignement des objets 3D, montre le grand intérêt porté à l’utilisation de l’analyse en composante principale (ACP). Cette technique est connue pour être la plus simple et la plus utilisée. Son principe est d’utiliser les moments principaux des matrices de covariance comme des axes du repère de l’objet 3D [135]. Initialement utilisée pour définir les axes principaux des nuages des points, l’utilisation de l’ACP a ensuite été étendue à d’autres domaines, tel que le domaine de l’alignement des modèles 3D. L’objectif principal de l’analyse en composante principale, est de construire une base de projection de l’ensemble des facettes de l’objet. Pour cela, l’ACP est appliquée sur un nuage de points représen-tant les sommets du modèle 3D.
L’analyse en composante principale ou la transformée de Karhunen-Loève a été utilisée pour la première fois en 1901 par le mathématicien britannique Karl Pear-son [11]. Cette transformée permet de représenter la géométrie du nuage des valeurs quantitatives. Soit par exemple un ensemble de données de n variables quantitatives {µ}, qui sont les mesures de m unités (ou individus) ν. L’association des deux en-sembles est représentée par une matrice de variables x.
Indexation des Champs de Lumiére (Light Field) Dans
le Domaine Compressé par la Transformée en Ondelettes Adaptée à la Forme :
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4.5. MÉTHODES D’ALIGNEMENT x11 x12 x13 ... x1n x21 x22 x23 ... x2n x31 x32 x33 ... x3n .. . ... ... ... ... xm1 xm2 xm3 ... xmn (4.16)
La figure 4.8 illustre la représentation des ensembles {µ} et {ν} dans un repère spatial, dont l’origine est un vecteur particulier de l’espace R. Dans cet exemple l’origine est le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles. Ces nuages de points peuvent avoir plus de deux repères, rendant ainsi leur visualisation quasi impossible. La solution vient cette fois-ci des méthodes factorielles, dont l’objectif est de trouver un système d’axes et de plans pour ce genre de nuage de points. La projection de ce nuage de points sur cet ensemble d’axes, ne doit pas causer d’importantes dé-formations. En fait, la reconstitution des positions des points dans ce système de plans enregistre généralement une certaine déformation. Celle-ci ne doit pas être importante, afin que le nuage de points garde son apparence originale et les mêmes distances entre ses composantes [134].
Afin de simplifier les illustrations graphiques des nuages des points. Nous re-présentons les deux ensembles {µ} et {ν} dans le même espace. Les figures 4.8 (a) et (b) montrent que les nuages des points peuvent être regroupés sous la forme d’ellipsoïdes. Les deux ellipsoïdes qui sont employées dans ces deux exemples ne contiennent pas le même nombre de points. En fait, à chaque valeur de l’ensemble des données {ν} (boules bleus) un vecteur de variables quantitatives (boules rouges) est associé. Ce vecteur étant de longueur supérieure à trois, sa représentation graphique s’avère vite impossible. L’analyse en composante principale cherche une représen-tation des m données, dans un sous-espace de dimension Rn, qui est inférieure ou égale à trois. Cela ne sera possible qu’en combinant linéairement les variables quan-titatives, tout en préservant leur apparence initiale. Ces variables seront appelées
composantes principales. Les axes qu’elles déterminent sont les axes principaux [134].
– Choix de la métrique de comparaison
La recherche d’une représentation géométrique sans perte de l’information, à ra-mener à la définition d’une métrique de calcul de la distance entre les différents éléments du nuage des points. Ceci dit cette métrique est d’autant importante que son choix représente un aspect primordial dans la construction de la représentation
4.5. MÉTHODES D’ALIGNEMENT
(a) (b)
(c) (d)
Figure 4.8 – Représentation d’un ensemble {ν} de données et de leur variables
quantitatives {µ}. (a),(b) Les boules rouges représentent les variables quantitatives, et les boules bleus représentent l’ensemble des données, les deux ensembles sont re-présentés dans deux espaces, celui de la figure (a) et celui de la figure (b). (c), (d) représentent les formes générales des ensembles des données des deux figures (a) et (b) [11].
géométrique [11]. Dans le cas de l’analyse en composante principale, on utilise la distance euclidienne, qui est définie par la formule suivante :
d2(νi, νi0) =
n
X
j=1
(xij − xij0)2 (4.17)
– Choix de l’origine du repère
Le point aux coordonnées nulles est souvent choisi comme une origine du repères des axes. Ce choix n’est pas approprié au nuage de points dispersés (où les cordonnées des points du nuage sont grandes). Afin de palier à ce problème, il est plus judicieux
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4.5. MÉTHODES D’ALIGNEMENT
(a) (b)
Figure 4.9 – Illustration de la construction des axes principaux. (a) Représente le
système d’axes de l’ensemble des variables quantitatives {µ}. (b) représente les axes principaux du systéme des axes de la figure (a).
d’opter à une origine liée au nuage des points lui même. C’est le cas du centre de gravité du nuage des points, dont les coordonnées sont données sous la forme sui-vante : G = 1 m Pm i=1xi1 1 m Pm i=1xi2 .. . 1 m Pm i=1xin (4.18)
– Définition des axes pricipaux et des vecteurs directeurs
Outre la définition de la distance et de l’origine, la représentation géométrique d’un nuage de points concerne également la définition des différents axes et de leurs vec-teurs direcvec-teurs. Cette phase est responsable de l’estimation de la pose du nuage des points, qui pourrait être une forme bi- ou tri-dimensionnelle. La principale contrainte qui guide la construction du nouveau repère des axes porte sur la déformation du nuage des points. La projection de celui-ci sur le nouveau repère ne doit produire qu’une faible déformation. Cette contrainte peut se traduire par le choix des axes les plus proches des différents points de notre nuage. Autrement dit, la dispersion des points autour de ces axes doit être faible, les points doivent être regroupés autour de ces axes. La dispersion d’un nuage de points par rapport à un axe V est mesurée par l’inertie de ce nuage par rapport à cet axe. L’inertie est donnée par la formule suivante :
4.5. MÉTHODES D’ALIGNEMENT IV = 1 n n X i=1 d2(PVi, νi) (4.19)
PVi représente la projection du point νi sur l’axe Vi.
d2 mesure la distance euclidienne entre le point νi et sa projection PVi.
La distance euclidienne peut être exprimée à l’aide du produit scalaire par la formule suivante : d2(PVi, νi) =<−→ PVi, −→ν i >2 (4.20) <−→ PVi, −→ν i >2= PVi∗.νi.νi∗.PVi (4.21)
PVi∗ représente la transposé du vecteur PVi.
νi∗ représente la transposé du vecteur νi.
En utilisant la symétrie du produit scalaire, l’inertie du nuage des points autour du transposé de l’axe V s’écrira sous la forme suivante :
IV∗ = 1 n n X i=1 PVi∗.νi.νi∗.PVi = PVi∗[1 n n X i=1 νi.νi∗]PVi (4.22)
Sachant que la matrice de covariance des données νiest égale à [n1 Pn
i=1νi.νi∗], l’équa-tion 4.22 s’écrira sous la forme suivante :
IV∗ = PVi∗cov(νi)PVi (4.23)
Le premier axe se présente comme un vecteur V1 passant par le centre de gravité et dont l’inertie est minimale. Son vecteur directeur −→
Ga1 est défini sous la contrainte suivante :
||−→Ga1||2 = 1. (4.24) La définition de l’axe V1 nécessite le calcul de son inertie, qui est égale à la plus grande valeur propre de la matrice de covariance des variables quantitatives. Le vec-teur direcvec-teur unitaire de cet axe est le premier vecvec-teur propre, qui est associé à la plus grande valeur propre de la matrice de covariance des variables quantitatives. Le second axe V2 se présente comme un axe perdonduculaire au premier et dont l’iner-tie est minimale. Le vecteur directeur unitaire de ce deuxième axe est égale à la deuxième plus grande valeur propre de la matrice de covariance des variables quan-titatives. Ces deux axes peuvent ainsi définir l’espace 2D du nuage des points. Les
n vecteurs propres de la matrice de covariance des variables quantitatives peuvent
ainsi définir n axes de cet espace, dont les vecteurs directeurs unitaires correspondent aux valeurs propres de cette matrice.
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4.5. MÉTHODES D’ALIGNEMENT
– Calcul des valeurs quantitatives dans le nouveau plan
Chaque point peut êétre projeté orthogonalement dans ce nouveau plan. L’analyse en composante principale permet en outre de définir l’orientation des parties de la forme les unes par rapport aux autres. Autrement dit, Si deux individus possèdent des coordonnées de signes opposés, cela signifié que les deux points s’opposent sur cet axe.
Considérons par exemple un objet tridimensionnel O de n points ei et d’une orientation quelconque. L’application de l’analyse en composante principale sur cet ensemble de points produit un repère d’orientation appelé R, qui doit vérifier les conditions suivantes : min n X i=1 ||ei− epi||2 (4.25) ||R|| = 1 (4.26)
epi représente la projection du point ei dans le nouveau repère R.
Selon ces conditions, la somme des distances au carré entre les points ei et leurs projections respectives epi, doit être faible[135]. Ceci passe par la recherche des axes principaux de la matrice de covariance. Les vecteurs propres de cette matrice représentent les axes d’orientation de la forme 3D.
Au sens de la notion du moindre carré, l’ACP se présente comme une régression linéaire des distances entre les différents points de l’objet et leurs projections. Ce-pendant l’ACP se révèle très fragile devant les déformations des facettes de l’objet. Autrement dit, tout changement de la silhouette de l’objet peut produire un repère d’orientation très différent, c’est le cas des objets à articulations où les sommets sont souvent exposés aux déformations et aux changements d’apparence [49].
Cette façon d’appliquer l’analyse en composante principale s’avère trés vite inapropriée aux objets 3D, lesquels sont souvent représentés par un ensemble inéqui-table de points. Le nuage de points doit donc étre considéré comme un ensemble de variables, dont chacune d’elle contribue d’autant plus à la confection des axes du repére, que sa variance est forte. Une solution classique consiste à normaliser les variables en divisant leurs valeurs par leurs écart-types. Ce traitement va être à l’origine d’un ensemble d’opérations, qui aboutiront à la création d’un espace de variables centrées et réduites. Il convient de constater que cette normalisation en-traine une reformulation du calcul de la distance euclidienne, qui est utilisée dans