La Méthode de Re-Planif ation Rapide

5.3.1 Prin ipe

Nous proposons don une méthode, publiée dans [Lengagne 09a℄, qui va modier le mouvement de oup de pied pré édemment al ulé, ave un temps de al ul assez ourt pour être ee tué en ligne. Dans notre as, nous onsidérons que le temps de génération d'un mouvementadapté doit être de quelques se ondes pour être a eptable.

Nousdénissons

Xf ree

,l'ensembledesparamètresXquivériel'ensembledes ontraintes `inégalité' ontinue :

Xf ree

={

X

,∀i, ∀t ∈ [0, T ], gi

c(

X

, t)≤ 0}

(5.1)

Leproblèmedutempsde al ulestprin ipalementdû aux ontraintes`inégalité' onti- nues

∀t ∈ [0, T ], gc(X, t) < 0

qui sont très longues à al uler. L'idée prin ipale de notre méthode de re-plani ation est de rempla er la re her he d'une solution dans

Xf ree

par la re her he d'une solutiondans un sous-ensemble faisable de

Xf ree

:

[X]

, sous-ensemble qui serait de formesimple etdont leslimites sontdénies par des équations linéairespar rapport aux paramètres. La re her he dans e sous-ensemble permet de ne pas al uler l'ensembledes équations

gi

c(X, t)

quisont non-linéaireset oûteuses en tempsde al ul. Les ontraintes`égalité',quantàelles,sontgénéralementdes ontraintesgéométriques qui permettent de dénir le mouvement, il faut don prendre en ompte un nouvel en- semblede ontraintes `égalité'

h

′

k

qui ara térise la nouvelleposition de la balle. Le ritère à minimiser

F

′

peut être identique à elui de l'optimisation hors ligne. Cependant pour avoir un temps de al ulfaible ilest intéressantde onsidérer un ritère qui ne dépend que des paramètres d'optimisation ou alors de ne pas tenir ompte du ritère e qui revient àrésoudre un problème de satisfa tion de ontraintes.

Lere-plani ationrapide d'unmouvementrevientdon à al uler,hors-ligne,lesous- ensemble faisable

[X]

qui est une approximation intérieure de

Xf ree

, puis à résoudre le problème présenté dans l'équation 5.2, an de générer un mouvementadapté.

minimiser

F

′_{( ˆX, t)}

ave

Xˆ

∈ [X]

et

∀j h

′

j( ˆX) = 0

(5.2) 5.3.2 Sous-Ensemble Faisable

Des études ré entes, se sont intéressées au al ul d'ensembles faisables, en utilisant l'Analysepar Intervalles,andepouvoirdimensionnerlesa tionneursderobotsparallèles ou série [Ramdani08, Oetomo09℄. Évidemment,pour que lerobot puisses'adapter à un grandnombredesituations,ilnousfaut al ulerleplusgrandsous-ensemble

[X]

.Cesous- ensembledoit ontenir le ve teur optimal

X˜

(obtenu pré édemment par optimisation)et uniquement des solutions appartenant à l'espa e libre

Xf ree

qui satisfont les ontraintes `inégalité' ontinues qui sont liées aux limitesphysiques.

Dansnotre as, nousne disposons d'au uneinformationsur laformeoulespropriétés de l'ensemble faisable. Nous her hons, don , une approximation intérieure de l'espa e libre

Xf ree

:lesous-ensemble

[X]

,qui seraune boîte à

n

dimensions obtenue en résolvant le problème suivant : maximiser

δ∈ R

+

ave

∀b

[Xb] = ˜Xb

+ δ× [Wb]

et

∀b

0∈ [Wb]

et

∀ic,

∀X ∈ [X], ∀t ∈ [0, T ]

gi

c(X, t) < 0

(5.3)

Nousdénissons

δ

ommelalargeurnormaliséedelaboîteet

[W]

unve teurintervalle, hoisipar l'utilisateur,qui vainuen er laformede laboîte an d'ignoreroud'a entuer lare her he suivant ertaines dire tionsde laboîte

[X]

.Ilest évidentquelerésultatnal

L'algorithmede al uldu sous-ensemble faisable

[X]

omporte deux étapes:  Un al ul initialqui permet d'obtenir un sous-ensemblede l'espa elibre,

 Une pro édure d'expansion qui va augmenter e sous-ensemble suivant ertaines dire tions.

Cal ul initial

La gure 5.5 montre le prin ipe de et algorithme qui al ule le sous-ensemble

[X]

. Le prin ipe général de l'algorithme, présenté Figure 5.5 est de ommen er à partir d'un sous-ensemble très grand (

δ

grand), et de le réduire en rejetant toute solution

[z]

qui ne respe te pas l'ensemble des ontraintes. Nous hoisissonsla matri e

[W]

de telle manière que ha une de es omposantes soitladistan e entre leve teuroptimal

X˜

etlafrontière de l'espa elibre

Xf ree

.

Fig. 5.5  Exempled'une ensemblefaisable et de son approximationintérieure :

[X]

L'utilisationde ALIAS [ali ℄,un algorithme de résolution de problème d'optimisation utilisantl'Analyse par Intervalles, nous permet de al ulerla boîte

[z]

qui violeau moins une ontrainte`inégalité'. La boîte

[z]

est al uléeen résolvant :

dans

[X] = ˜X + δp[W]

trouver

[z]⊂ [X]

telque

∃ic,∃t ∈ [t] Sup[g]i

c([z], t) > 0

Une fois l'existen e de

[z]

, prouvée et sa valeur al ulée, l'algorithme réduit la boîte en al ulantla nouvellevaleur

δp+1

tel que:

[z]

_{∩ ˜}X + δp+1[W] =

∅

(5.5)

L'algorithmes'arrêtera quand iln'yaura plus de solution

[z]

au problème5.4. Finale- ment,lesous-ensemble

[X] = ˜X + ˜δ[W]

onstitueunsous-ensemblefaisabledes ontraintes `inégalité' ontinues.

Expansion

En observant la Figure 5.6, on peut remarquer que le sous-ensemble

[X]

pourrait être agrandi suivant les dire tions

X

+

1

ou

X

−

2

. Nous nous intéressons, don , à l'ajout d'une étape d'expansion du sous-ensemble faisable an de l'augmenter et d'obtenir le sous-ensemblefaisable étendu

[X]

.

Fig. 5.6Représentation des expansions possibles du sous-ensemble

[X]

L'expansion du sous-ensemble faisable suivant une dire tion dénie par

r

(lenuméro du paramètre à étendre) et

◦ ∈ {−; +}

(le sens négatif ou positif de l'expansion) se fait en résolvant lesystème : maximiser

ρr

∈ R

+

ave

[X] = [X] + ρr× E

◦

r

(5.6)

Ave

E

◦

r

,un ve teurdemêmedimensionque

[X]

,ne ontenantquedesintervalles nuls sauf pour la omposante

r

qui vaut

[−1; 0]

pour

◦ ≡ −

et

[0; 1]

pour

◦ ≡ +

.

L'expansion totale du sous-ensemble implique d'ee tuer une expansion dans toutes lesdire tions.Cependantl'ordredans lequelsera étendu lesous-ensembleauraun impa t sur le béné e obtenu.En eet, la Figure 5.6 montre bien qu'une expansion suivant

X

+

1

diminueraitl'eet d'unedeuxième expansion suivant

X

−

2

(et inversement).

Dans le document Planification et re-planification de mouvements sûrs pour les robots humanoïdes. (Page 79-83)