5.2 Etude des erreurs induites par la génération de la source
5.2.2 Méthode par décomposition en polynôme de Zernike
Si la méthode basée sur la variation de CD et de pv-bands permet de mesurer concrè-tement l’impact de la modification d’une source pour une technologie donnée, il est parfois intéressant de se détacher de l’unicité de la technologie. Il est possible de mesurer ainsi la modification d’une source générée par le scanner indépendamment des facteurs extérieurs à la source tels les motifs étudiés, les conditions de procédé utilisées etc... De plus, malgré l’avantage de la précision de la méthode ∆CD au re-gard d’un niveau de technologie donné, les informations utiles quant à l’état général du scanner sont manquantes.
5.2. Etude des erreurs induites par la génération de la source
FIGURE 5.3 – Courbe de la variation de la latitude d’exposition en fonc-tion de la profondeur de champ lors de l’utilisafonc-tion dans le modèle op-tique d’une même source freeform mesurée mais générée une fois avec un élément optique diffractant (DOE) et une fois avec le module Flexray. L’impact de la différence entre la source théorique et la source mesurée en sortie du module Flexray est donc du même ordre de grandeur que lors de l’utilisation d’un DOE, c’est à dire quasiment négligeable.
différence de la source a été mise en place. Cette méthode est basée sur un principe mathématique énonçant que toute fonction définie dans un espace donné peut être décomposée en une somme unique et infinie de polynômes si ces derniers sont or-thogonaux et définis dans le même espace que ladite fonction. Les sources optiques telles qu’utilisées en lithographie sont définies dans l’espace du disque unitaire. Il est donc possible d’utiliser les polynômes de Zernike, décrient par les équations 5.1, étant eux même orthogonaux et définis sur le disque unitaire.
Znm(ρ,θ) =n/2P s=0ρn−2sR(s) m = 0 Z nm(ρ,θ) =n/2P s=0ρn−2sR(s)cos(mθ) m > 0 Znm(ρ,θ) =n/2P s=0ρn−2sR(s)si n(mθ) m < 0 (5.1) R(s) = (−1)s (n − s)! s!³n+|m|2−s ´!³n−|m|2−s ´!
où les coefficients n et m représentent les ordres du polynôme de Zernike, avec n et m des nombres entiers, tels que n +m paire et −n ≤ m ≤ n. Les premiers coefficients de Zernike sont représentés sur la figure 5.4.
FIGURE 5.4 – Représentation des premiers ordres des polynômes de Zer-nike d’après le classement ANSI.
valeurs mathématiques n et m de la fonction les définissant. Cependant, dans beau-coup de cas les opticiens utilisent un ordre unique, appelé j , mais l’ordre j n’est pas un ordre universel pour les polynômes de Zernike. En effet, il existe plusieurs corréla-tions différentes entre les valeurs de n et m et la valeur j . Ces différents classements sont les suivants :
– ANSI pyramide (American National Standards Institute) : les ordres n et m sont considérés et classés avec m croissant puis n croissant. La valeur j , appelée mode s’obtient par le calcul : j =n(n+2)+m2 .
– Notation de Wyant : un ordre n′=n+m2 est introduit. Les modes sont arrangés avec les valeurs de n′les plus faibles et les valeurs de m les plus grandes en premier. Les modes cosinusoïdaux sont placés avant les ordres sinusoïdaux.
– Notation de Noll : le facteur j est déterminé avec les valeurs de n les plus faibles en premier. Pour un même ordre n les valeurs de m nulles auront une valeur de j plus faible, puis les modes cosinusoïdaux auront des valeurs paires et les modes sinusoïdaux auront des valeurs impaires.
Dans le cadre de cette thèse, il a été décidé d’utiliser la nomenclature ANSI basée sur les valeurs des coefficients mathématiques de la définition de la fonction n et m. La source étant définie sur le cercle unitaire (ρ,φ), elle peut être décomposée en une
5.2. Etude des erreurs induites par la génération de la source
somme infinie de polynômes de Zernike, ces derniers étant orthogonaux et définis sur ce même disque unitaire. La source, notée sr c, peut donc s’écrire de la façon suivante : sr c(ρ,φ) =n=+∞X n=0 m=n X m=−n cn,mZnm(ρ,φ) (5.2)
avec n et m les valeurs de l’ordre du polynôme de Zernike, Zm
n (ρ,φ) le polynôme d’ordre (n,m).Iet cn,mle coefficient de la somme infinie pour l’ordre (n,m)
Afin de décomposer une source quelconque en une somme de polynômes, une ré-gression linéaire a été réalisée en utilisant le logiciel Mathlab. Cependant, il est im-possible de réaliser cette régression sur une somme infinie de polynômes. Dans un premier temps l’étude de la décomposition pour un très grand nombre de polynômes a donc été menée. Les valeurs de n et de m varient ainsi de 0 jusqu’à la valeur fixée k telle que décrit dans l’équation 5.3.
sr c(ρ,φ) =n=kX n=0 m=n X m=−n cn,mZnm(ρ,φ) (5.3)
Il est possible de représenter cette décomposition afin de la rendre plus compréhen-sible, comme dans l’image 5.5.
FIGURE 5.5 – Illustration visuelle de la décomposition en polynômes de Zernike. Les polynômes représentés ici ne sont pas les premiers ordres mais des ordres pris aléatoirement de façon à mieux illustrer cette dé-composition (les premiers ordres sont graphiquement moins significa-tifs).
Plus l’ordre du polynôme est important, plus ce dernier a un coefficient associé faible lors de la décomposition d’une source. Il est ainsi possible de tronquer les plus grands ordres du polynôme décomposé, dans la mesure où leurs contributions pour le calcul de la différence entre deux sources sont faible. Le graphique 5.6 représentant l’évolu-tion des coefficients pour une source quelconque en foncl’évolu-tion de la valeur de l’ordre j associé (en nomenclature ANSI) illustre la possibilité de cette réduction, les ordres élevés ayant des coefficients associés faibles.
I. L’ordre (n,m) représente l’ordre des polynômes de Zernike et varie de la façon suivante : n + m pairs et −n ≤ m ≤ n. En faisant croître m puis n, des paires de valeurs représentant un ordre unique sont obtenues. Ces paires varient de la façon suivante : (n,m) = (0,0) ; (1,-1) ; (1,1) ; (2,-2) ; (2,0) ; (2,2) ; (3,-3) ; (3,-1) ; (3,1) ; (3,3) ; (4,-4) ; (4,-2) ; (4,0) ; (4,2) ; (4,4) ; (5,-5) ; (5,-3) ; (5,-1) ; (5,1) ; (5,3) ; (5,5) ; etc... pour les 20 premières valeurs des polynômes.
FIGURE 5.6 – Evolution des coefficients en fonction de j , pour les 496 premières valeurs de j . Plus l’ordre j est important plus le coefficient associé est faible. Leurs contributions à la décomposition de la source est minime. Il est donc possible de les tronquer.
La source une fois décomposée en polynômes est alors graphiquement très proche de la source initiale. Cependant, une fois encore la notion de graphiquement très proche n’est pas rigoureuse. Il sera donc nécessaire de chercher à savoir si cette dif-férence est quantifiable. Pour ce faire la technique des ∆CD a été utilisée afin de me-surer l’impact sur les pv-band d’un changement entre la source initiale et la source décomposée. Pour différentes valeurs de k la source initiale d’une technologie quel-conque a été remplacée par la source décomposée et l’impact de ce changement sur les pv-band mesurées. En traçant cet impact sur la fenêtre de procédé dans le gra-phique 5.7, il est à noter que pour cette étude la taille de la process window étudiée pour certains des motifs critiques et non la taille de pv-band a été étudiée.
Pour de faible valeur de k la source est très différente et l’impact sur la fenêtre de procédé trop important. A l’inverse, pour des valeurs de k ≥ 30 la taille de la fenêtre de procédé est parfaitement acceptable puisque la variation de taille est de l’ordre de quelques pourcents.
En décomposant la source de la façon précédemment décrite, il a été possible de définir la source par une fonction mathématique inscrite dans l’espace vectoriel créé par les polynômes de Zernike, en partant d’une carte d’intensité.
En définissant cette source dans un espace vectoriel, il est donc possible d’étudier et de comparer deux sources, si celles-ci sont définies dans le même espace : elles sont décomposées pour la même valeur de k. Pour cela, la mesure de la distance Eucli-dienne est utilisée. La différence entre deux sources décomposées en polynômes de Zernike s’exprime : di f f =n=kX n=0 m=n X m=−n (c1,n,m− c2,n,m)2 (5.4)
5.2. Etude des erreurs induites par la génération de la source
FIGURE 5.7 – Impact de l’utilisation d’une source décomposée à la place de la source initiale sur la fenêtre de procédé, en fonction de la valeur de k.
avec di f f la valeur de la différence entre les deux sources, c1,n,m la valeur du coeffi-cient de la décomposition de la source 1 à l’ordre (n,m) et c2,n,m la valeur du coeffi-cient de la décomposition de la source 2 à l’ordre (n,m).
Cette décomposition permet alors de comparer deux sources, puisque moins la va-leur de cette différence est importante, moins les deux sources sont différentes. L’illus-tration de la mesure de la différence entre plusieurs sources définies aléatoirement est représentée sur la figure 5.8.
FIGURE5.8 – Illustration de la mesure de la différence entre deux sources. Les valeurs sont des valeurs relatives et ne sont pas à comparer aux va-leurs précédentes.
de cette thèse, un programme informatique a été développé pour faciliter cette me-sure. L’image 5.9 représente une capture d’écran du logiciel associé.
FIGURE 5.9 – Capture d’écran du logiciel de décomposition puis de com-paraison des sources lumineuses utilisées en lithographie optique. Ce lo-giciel permet de mesurer la différence entre deux sources en utilisant la décomposition en polynômes de Zernike.
Afin de démontrer que la différence mesurée entre deux sources relativement proches a une signification pratique, les expériences décrites ci-après ont été réalisées. Le lien entre la différence et la variation de fenêtre de procédé pour un niveau de technolo-gie donné a été analysé. En prenant une source définie pour une technolotechnolo-gie spéci-fique et en mesurant la fenêtre de procédé sur différentes structures témoins sans variation d’OPC, puis en prenant d’autres sources plus ou moins différentes de la source initiale et en mesurant l’impact de l’utilisation de telles sources sur la fenêtre de procédé, le lien entre la différence de source et la variation de process window a été mesuré.
Pour ce faire, une source Cquad a été utilisée et la fenêtre de procédé mesurée sur un ensemble de structures. La source initiale a été légèrement modifiée afin de générer différentes sources. Les modifications opérées sont listées et expliquées ci-dessous :
5.2. Etude des erreurs induites par la génération de la source
– En modifiant les valeurs de σ du Cquad, des réductions et des augmentations de la taille de la source ont été appliquées. De telles modifications ont pour but d’illus-trer un défaut potentiel du système de réduction optique.
– Des variations de l’angle d’ouverture des pôles du Cquad ont également été étu-diées.
– Un bruit de fond plus ou moins important a été ajouté sur différentes sources pour en étudier l’impact. Ce type de bruit de fond pouvant par ailleurs être associé à un mauvais fonctionnement du scanner.
– En convoluant la source par une fonction gaussienne plus ou moins large, une dégradation du système optique de type "blur" a été simulée.
Chacune de ces modifications a été étudiée et donne des informations sur une possi-bilité de dysfonctionnement du scanner qui lui est associée. L’intérêt est ici de vérifier qu’il est possible de mesurer un dysfonctionnement matériel par simple mesure de la source.
Il est possible de constater sur le graphique 5.10 que l’impact d’une faible modifica-tion d’une source sur la fenêtre de procédé est effectivement relié à la mesure de la différence de la source par rapport à la source initiale.
FIGURE 5.10 – Evolution de la fenêtre de procédé en fonction de la diffé-rence entre les sources mesurées par la méthode de décomposition en polynômes de Zernike pour des sources dégradées de façon artificielle.
L’intérêt de cette méthode est de démontrer que lorsque la source se dégrade, cela a un impact sur la fenêtre de procédé, et qu’il est possible de prédire cet impact en mesurant la différence de sources. La multiplication des simulations avec de nom-breuses sources dégradées artificiellement a permis de montrer qu’effectivement ces deux phénomènes sont liés mais que l’impact de la différence des sources sur la qua-lité de la lithographie est difficilement prévisible. Il est cependant possible de définir des spécifications au-delà desquelles l’impact d’une variation de la source n’est plus négligeable.
Ainsi, lors de l’apparition d’un défaut sur la source suite à un problème scanner, il suffit de mesurer la source pour savoir quel impact maximum cette dernière peut avoir sur la qualité de la lithographie.