La méthode de maximum de vraisemblance

Deux méthodes de reconstruction spectrale sont utilisées dans la collaboration H.E.S.S.. La première s'appuie sur une soustraction ON-OFF directe suivie d'une déconvolution de la distribution en énergie reconstruite par la réponse du détecteur pour déterminer la distribution en énergie vraie des γ. Une forme spectrale est alors ajustée sur cette distribution.

La seconde méthode présentée ici part d'une hypothèse sur la forme spectrale. Le spectre est convolué par la réponse du détecteur : la distribution en énergie reconstruite obtenue est alors comparée à la distribution mesurée pour ajuster les paramètres du spectre. De plus, cette méthode utilise les distributions respectives des nombres d'événements dans la région ON de la source et les régions OFF de contrôle du fond avec une analyse en statistique poissonienne.

144 CHAPITRE 14. ETUDE DU SPECTRE ET DE LA MORPHOLOGIE DES SOURCES DÉTECTÉES

On dénit d'abord nz intervalles en angle zénithal

∆iz ≡ [θ min

iz , θ

max iz ]_iz=1,nz

de largeur 0,02 en cosinus. θmin

1 correspond généralement au transit de la source sur le site

de H.E.S.S.. θmax

iz peut aller jusqu'à 70

◦_{, dernier angle zénithal simulé pour lequel les surfaces}

eectives et les résolutions en énergie sont connues. On dénit ensuite nd intervalles en décalage de pointé

∆id ≡ [φ min

id , φ

max id ]id=1,nd

de largeur 0.5◦_{. Cet angle dénit la distance angulaire de la source étudiée par rapport au centre}

du champ de vue des caméras.

Enn, on dénit ne intervalles en énergie reconstruite

∆ie ≡ [ eE min ie , eE

max ie ]ie=1,ne

Leur largeur doit être inférieure à la résolution en énergie de l'analyse et nous utilisons donc une largeur de 0,25 en ln(ET eV)(ou 0,109 en log 10(ET eV)). Les surfaces eectives et les résolutions

en énergie sont connues jusqu'à 80 TeV. Du fait des biais des énergies reconstruites et de la résolution de l'ordre de 20 à 30% à haute énergie, des événements de plus de 50 TeV peuvent être reconstruits dans des intervalles à plus de 80 TeV et réciproquement. L'énergie reconstruite maximale utilisée est donc de l'ordre de 50 TeV.

On construit ainsi un ensemble d'intervalles à trois dimensions ∆iz,id,ie ≡

©

∆iz ⊗ ∆id⊗ ∆ie

ª

iz=1,nz;id=1,nd;ie=1,ne

Une source potentielle d'erreurs systématiques dans l'analyse des données des imageurs Che- renkov provient de la diculté de simuler précisément le comportement du détecteur près de son seuil en énergie. Le seuil en énergie doit être le plus bas possible, mais les eets instrumen- taux au niveau du seuil risquent de distordre le spectre reconstruit. La gure 14.1(a) montre, pour chaque énergie vraie E, la probabilité de mesurer l'énergie ˜E. On constate que, près du seuil du système de télescopes, l'énergie reconstruite est surestimée en raison des sélections, au niveau du déclenchement, des gerbes dont la luminosité a uctué positivement. Lors de la détermination du spectre, il est nécessaire de dénir un seuil en énergie au-dessus duquel les biais sont contrôlés, c'est-à-dire au-dessus duquel l'énergie reconstruite dépend linéairement de l'énergie vraie. Nous dénissons ce seuil comme l'énergie à laquelle la surface eective atteint 20% de sa valeur maximale (gure 13.15). Pour chaque intervalle ∆iz,id, le choix de l'intervalle

le plus bas en énergie tient compte du fait que le seuil de détection des γ de H.E.S.S. augmente avec l'angle zénithal et l'angle de décalage des observations. L'évolution du seuil utilisé en fonc- tion de l'angle zénithal pour des γ arrivant au centre du champ de vue est donnée gure 14.1(b). Pour chaque intervalle ∆iz,id,ie, le nombre d'événements passant les coupures (candidats γ)

sont déterminés dans la région ON de la source et dans les régions OFF de contrôle du fond. Une fonction de vraisemblance L est construite en supposant des distributions poissoniennes pour les nombres d'événements dans les données ON et OFF. La réponse du détecteur est prise en compte lors du calcul du nombre moyen de γ attendus dans l'intervalle ∆iz,id,ie :

S_itheo_z,id,ie = tiz,id ON × Z Eemax ie e Emin ie d eE Z ∞ 0 dE · dN dE ¸theo × A( ¯θiz, φid, E) × PDF( ¯θiz, φid, E, eE)

14.1. LA MÉTHODE DE RECONSTRUCTION SPECTRALE 145 ln(E/TeV) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 /TeV) E ~ ln( -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Resolution2D_Zen0

(a)Densité de probabilité.

] ° [ z θ Angle zenithal 0 10 20 30 40 50 60 70 ] ° [ z θ Angle zenithal 0 10 20 30 40 50 60 70

Seuil en energie [TeV]

-1 10

1

Graph

(b)Seuil en énergie vs angle zénithal.

Fig. 14.1: Seuil en énergie. (a) Densité de probabilité de reconstruire un événement d'énergie vraie E à une énergie ˜E. L'eet de sélection par le système de déclenchement induit un biais positif sous le seuil en énergie. (b) Variation du l'énergie minimale choisie pour l'analyse spectrale en fonction de l'angle zénithal θz.

où £dN dE

¤theo

est la forme supposée du spectre, ¯θiz l'angle zénithal moyen déni par cos( ¯θiz) = 1 2 £ cos(θmin iz ) + cos(θ max iz ) ¤

, A la surface eective de détection des γ d'énergie vraie E, PDF la

densité de probabilité de reconstruire un γ d'énergie vraie E à une énergie eE et tiz,id

ON le temps

d'observation de la source dans l'intervalle ∆iz,id. eE min

ie et eE

max

ie sont les bornes en énergie de

l'intervalle considéré. Le calcul complet de L est détaillé en annexe B.

Les paramètres dénissant la forme spectrale sont alors ajustés par maximisation de la fonction de vraisemblance L. Les formes couramment testées sont :

 une loi de puissance :

dN dE = Φ0 × µ E Eref ¶−Γ (14.1)  un spectre courbé : dN dE = Φ0× µ E Eref ¶−Γ−β×ln(E/Eref) (14.2)

où β est le paramètre de courbure.

 une loi de puissance avec coupure exponentielle : dN dE = Φ0× µ E Eref ¶−Γ × e−β×E/Eref (14.3)

où l'énergie de coupure en TeV est donnée par Ec = 1/β.

Toutes les énergies sont données en TeV. Eref est l'énergie de référence, Γ l'indice spectral

et Φ0 la normalisation du ux en TeV−1m−2s−1. En échelle logarithmique, la loi de puissance

146 CHAPITRE 14. ETUDE DU SPECTRE ET DE LA MORPHOLOGIE DES SOURCES DÉTECTÉES

An de déterminer l'hypothèse la plus probable entre deux formes spectrales notées 1 et 2, les deux maximisations sont eectuées. Le rapport de vraisemblance λ = −2 × ln¡L1

L₂

¢

permet de déterminer l'hypothèse la plus vraisemblable. Ce rapport se comporte en eet comme un χ2 _{à un degré de liberté : dans le cas où λ est positif, l'hypothèse 1 est plus probable que la}

seconde avec une signicativité de√λ σ.

Après maximisation de la fonction de vraisemblance, le contour à 68% de conance sur le ux en fonction de l'énergie est représenté. Pour contrôler la qualité de l'ajustement, les résidus associés sont toujours montrés. Ils sont dénis par le rapport, dans chaque intervalle ∆ie, entre

le nombre de γ mesurés et le nombre de γ attendus pour le spectre trouvé. De même, des points expérimentaux sont donnés, mais ils sont dénis à partir du spectre ajusté et non l'inverse. Ils ne sont donc qu'une autre représentation de la qualité de l'ajustement et de la statistique disponible.