Méthode de Hill

L’analyse de stabilité par la méthode de Hill a été introduite par l’astronome et ma-thématicien américain George William Hill en 1886 [59], dans une étude traitant de la détermination du périgée de la Lune. Elle est adaptée aux systèmes dont la solution est recherchée sous forme de série de Fourier, et se base sur l’hypothèse que la perturbation p(t) peut s’exprimer comme le produit d’une fonction périodique z(t) de même pulsation que la solution x₀(t) et d’un terme exponentiel arbitraire

p(t) = z(t)e⁄t (II.71)

La solution x0(t) sera donc stable au sens de Hill si le terme exponentiel associé à la perturbation est décroissant. Le terme z(t) étant périodique de même pulsation Ê que x0(t), il est possible de le décomposer lui aussi en série de Fourier tronquée, et d’appliquer la même procédure d’orthogonalisation du résidu que pour la méthode de l’équilibrage harmonique. On obtient alors le système suivant,

Zxh0+ (Z + ⁄ 1+ ⁄2

2)zhe^⁄t+ fh(xh0 + zhe^⁄t, Ê) = gh (II.72) avec xh₀ et zh les vecteurs regroupant respectivement les coefficients de Fourier de la solution x0(t) et du terme périodique z(t). Les matrices 2 et 1 sont diagonales par blocs, et construites de la façon suivant,

2 = Q c c c c c c c c c c a M 0 _{· · ·} 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 · · · 0 M R d d d d d d d d d d b , 1 = Q c c c c c c c c c c c a 2K 0 · · · 0 0 1 1 ... ... ... ... ... k 1 ... 0 0 _{· · ·} 0 nh 1 R d d d d d d d d d d d b (II.73)

où l’expression de chaque bloc k

1 est donnée par k 1 = A C (2kÊ)M ≠(2kÊ)M C B , ’k œ [[1, nh]] (II.74) En supposant que la perturbation est de faible amplitude, le développement de Taylor au premier ordre du terme non-linéaire donne

fh(xh0 + zhe^⁄t, Ê) = fh(xh0, Ê) + ^ˆfh

ˆxh(xh0, Ê)zhe^⁄t (II.75) Compte tenu du fait que la solution xh₀ vérifie

3. Phénoménologie des systèmes non-linéaires 57 la substitution de (II.75) dans (II.72) conduit au système,

1 ⁄² ₂+ ⁄ 1+ 02 zh = 0 (II.77) avec 0 = Z + ^ˆfh ˆxh (xh₀, Ê) (II.78)

Remarquons ici que la matrice 0 ne possède pas la structure particulière de la matrice de rigidité dynamique Z, dont la forme tridiagonale par bloc est brisée par la matrice jacobienne des efforts non-linéaires dans le domaine fréquentiel. La résolution du problème aux valeurs propres quadratique (II.77) [156] permet de déterminer les valeurs propres ⁄k, et ainsi de statuer a priori sur la stabilité de la solution,

• max

k (Re(⁄k)) < 1 : la perturbation va décroître, la solution est donc stable • max

k (Re(⁄k)) > 1 : la perturbation va croître, la solution est donc instable • max

k (Re(⁄k)) = 1 : une analyse au premier ordre est insuffisante pour conclure La mise en œuvre de la méthode de Hill est tributaire de deux conditions, à savoir, de la capacité à évaluer efficacement la matrice jacobienne des efforts non-linéaires dans le domaine fréquentiel, et de la possibilité de résoudre en un temps raisonnable le pro-blème aux valeurs propres quadratique (II.77). En pratique, l’expression analytique ou semi-analytique de la matrice jacobienne en question est systématiquement fournie au solveur, pour éviter une évaluation purement numérique. Cette première condition n’est donc pas problématique. De plus, les problèmes aux valeurs propres quadratiques étant au cœur de nombreux problèmes physiques, notamment en dynamique des structures, des algorithmes de résolution performants sont déjà implémentés dans la plupart des codes de calcul commerciaux [156]. La méthode de Hill semble donc être la plus adaptée pour mener une analyse de stabilité sur un système résolu par HBM. Cependant, des études comparatives [54] entre la théorie de Floquet et la méthode de Hill ont permis de mettre à jour les limitations de la seconde à proximité de certains points de bifurcations, nécessi-tant la rétention d’un très grand nombre d’harmoniques pour converger vers les résultats fournis par les multiplicateurs de Floquet. Ainsi, malgré les développements prometteurs menés ces dernières années pour accroître la précision de la méthode de Hill [50, 89], la théorie de Floquet reste bien souvent la méthode de référence pour l’analyse de stabilité des cycles limites d’un système dynamique non-linéaire.

3.2 Bifurcations

La notion de bifurcation a été introduite en dynamique non-linéaire par Henri Poin-caré au xixe siècle. Elle fait référence au changement qualitatif des caractéristiques de la réponse d’un système, suite à la variation d’un ou plusieurs paramètres dits de contrôle [111]. On distingue généralement les bifurcations continues, lorsqu’à chaque variation infi-nitésimale d’un paramètre de contrôle correspond au moins une solution stable, des bifur-cations discontinues ou catastrophiques, lorsque le franchissement du point de bifurcation ne laisse place à aucune solution stable, brisant ainsi la continuité en amplitude de la so-lution. Bon nombre d’ouvrages de mathématiques appliquées s’intéressent au phénomène, et fournissent un arsenal d’outils analytiques et numériques très complet pour aborder le

58 Chapitre II. Approche fréquentielle non-linéaire

sujet. Mentionnons simplement ici les ouvrages de référence de Nayfeh et Balachandran [111], et de Seydel [146] pour une description détaillée de la thématique. Une revue très complète du phénomène est également donnée dans les mémoires de thèse de Sarrouy [145] et de Demailly [32]. Dans cette section, nous nous contenterons de présenter brièvement les principales bifurcations pouvant survenir lors de l’étude des cycles limites d’un système non-linéaire en réponse forcée.

L’étude des bifurcations d’une solution périodique est intimement liée à l’analyse de stabilité que nous avons présentée en sectionII.3.1. En effet, la perte de stabilité d’un cycle limite est le fruit d’un phénomène de bifurcation, dont la nature peut être identifiée en analysant l’évolution des multiplicateurs de Floquet au voisinage de la zone de transition. Nous avons pu voir que la perte de stabilité survient lorsque le plus grand multiplicateur atteint le cercle unité dans le plan complexe. Le cas échéant, la façon dont ce multiplica-teur quitte le cercle est un indicamultiplica-teur du type de bifurcation ayant entraîné l’instabilité. Trois scénarii sont alors à envisager, représentés sur la figure II.3.

Im(⇢k)

Re(⇢k) +1

1

flip cyclic fold

Hopf type 2

Figure II.3 – Bifurcation des solutions périodiques

Premier scénario, le multiplicateur traverse le cercle unité en suivant l’axe réel et en passant par +1. Dans ce cas de figure, la bifurcation est de type cyclic fold, ou point de retournement. Ces bifurcations sont assez standards dans la littérature, et se retrouvent notamment sur l’oscillateur de Duffing. La bifurcation est caractérisée par la coexistence de deux solutions périodiques, l’une stable et l’autre instable, qui se rejoignent au passage du point de bifurcation. La perte de stabilité qui en résulte lors de la continuation de la branche stable se traduit par un phénomène de saut qui rend ces bifurcations potentielle-ment dangereuses. Précisons que le calcul de la réponse d’un système exhibant ce type de bifurcation peut être réalisé simplement par équilibrage harmonique en continuation par longueur d’arc, tel que nous l’avons présenté en sectionII.2.

3. Phénoménologie des systèmes non-linéaires 59 Deuxième scénario, le multiplicateur traverse le cercle unité en suivant l’axe réel et en passant par ≠1. Ce cas de figure indique une bifurcation de type flip, ou doublement de période. Cette catégorie de bifurcations, propre aux cycles limites, indique qu’une solution T-périodique stable devient instable au passage du point de bifurcation, soit en donnant naissance à une solution 2T -périodique stable (cas sur-critique), soit en détruisant une solution 2T -périodique instable qui existait en amont de la bifurcation (cas sous-critique). On comprend que ce second cas correspond à une bifurcation catastrophique, entraînant un phénomène de saut. Dans le cas d’un doublement de période sur-critique, la bifurcation est continue, et la réponse du système physique voit simplement sa période fondamentale doubler. Le calcul de la réponse peut se faire une fois de plus par équilibrage harmonique, moyennant quelques modifications de l’algorithme pour permettre la continuation de la branche souhaitée (T -périodique ou 2T -périodique) [32]. Une cascade infinie de doublement de période est l’une des plus célèbres transitions vers le chaos, que l’on illustre généra-lement sur un diagramme de bifurcation. Ce type de diagramme représente la réponse x du système, échantillonnée à fréquence constante, en fonction du paramètre de contrôle µ. Un exemple3 est donné en figure II.4, pour lequel, partant d’une solution T -périodique échantillonnée à la fréquence 1/T , on observe tout d’abord l’apparition d’une solution 2T -périodique, résultant d’une bifurcation de type flip de la solution initiale. S’ensuit une cascade de bifurcations donnant successivement naissance à une solution 4T -périodique puis 8T -périodique, pour finalement aboutir à un comportement chaotique.

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ x

Figure II.4 – Diagramme de bifurcation

Le troisième et dernier scénario correspond à une paire de multiplicateurs complexes

60 Chapitre II. Approche fréquentielle non-linéaire

conjugués quittant simultanément le cercle unité. Dans ce cas, le système présente une bi-furcation secondaire de Hopf ou Hopf type 2. Ce type de bibi-furcation est à mettre en regard de la bifurcation classique de Hopf, correspondant à l’apparition d’un cycle limite stable ou instable résultant de la perte de stabilité d’un point fixe. Ici, la bifurcation de la solution périodique initialement stable entraîne l’apparition d’une solution quasi-périodique stable (cas sur-critique) ou la destruction d’une solution quasi-périodique instable (cas sous-critique) qui coexistait avec la solution stable initiale. Une fois encore, le cas sous-critique correspond à une bifurcation discontinue, potentiellement dangereuse en raison du phéno-mène de saut qui l’accompagne. Notons que dans le cas sur-critique, les deux pulsations incommensurables de la solution quasi-périodique peuvent se synchroniser, pour redonner naissance à une solution périodique. Là encore, une cascade de bifurcation de Hopf secon-daires, entrecoupée ou non de bifurcations par doublement de période, est une transition possible vers le chaos. Le calcul des solutions quasi-périodiques résultant de ce type de bi-furcations est envisageable par une méthode fréquentielle type équilibrage harmonique, en incorporant la seconde pulsation dans les développements en série. Néanmoins, les coûts de calcul induit par ce type d’approches peuvent rapidement s’avérer prohibitifs en pratique. Davantage d’information à ce sujet pourra être trouvé dans le travail de thèse de Guskov [54], ou dans les travaux de Kim et Noah [71,72].