Application sur modèles accordé et désaccordé

Le modèle phénoménologique utilisé ici est un modèle cyclique unidimensionnel à nombre de secteurs variable, dont le secteur fondamental est représenté sur la figureIII.4. Les valeurs assignées aux paramètres structuraux sont reportées dans le tableau III.1. La matrice d’amortissement est déterminée en utilisant un modèle d’amortissement de Rayleigh, calibré de façon à obtenir un taux d’amortissement de 0.1% pour le premier mode linéaire du secteur. Un modèle très similaire a déjà été utilisé dans les travaux de Laxalde et al. [86] et Zhou et al. [183], cherchant à être représentatif du comportement modal d’une roue aubagée en flexion. Le diagramme diamètres-fréquences du modèle li-néaire sous-jacent à interfaces collées est donné en figureIII.5.

Tableau III.1 – Paramètres structuraux du modèle phénoménologique – (unité) tête corps pied disque bâti

m (kg) 0.2 0.3 0.4 1.2 –

c (Ns/m) 1.3 0.7 26.7 33.3 0.4

118 Chapitre III. Sous-structuration par modes complexes non-linéaires structure initiale encastrement calcul des interpolation des calcul et assemblage si r´esidu⇡ 0 it´eration du solveur _{des super-´el´ements}

modes non-lin´eaires des fronti`eres

modes statiques calcul des modes

non-lin´eaires d´efinition des test passage au point suivant oui non g(t) f (x, ˙x) M, C, K M, C, ˜K k(q) q sous-structures calcul des modes d’interface , p ⇤(q)

4. Évaluation de la méthode sur modèle phénoménologique 119 m g(t) f (x, ˙x) k c tˆete corps pied disque bˆati

Figure III.4 – Secteur fondamental du modèle phénoménologique

Pour les différentes approches fréquentielles que nous allons employer, il est nécessaire de fixer l’ordre harmonique maximal nh définissant la troncature des développements en série dans l’approximation des solutions. Nous avons pu voir que ce paramètre était très important dans l’étude de non-linéarités irrégulières tel que le frottement, afin de per-mettre aux modes complexes non-linéaires de capturer avec suffisamment de précision les effets non-linéaires. En se basant sur les résultats du chapitre II et de la référence [64], 5 harmoniques (nh = 5) ont été conservés pour mener cette étude.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 diamètres fréquence (Hz)

Figure III.5 – Familles modales du modèle phénoménologique

de-120 Chapitre III. Sous-structuration par modes complexes non-linéaires

grés de liberté représentatifs du disque et du pied de pale sur la figure III.4. Les efforts non-linéaires sont déterminés de la même façon que pour l’étude phénoménologique de la sectionII.5.1. Un coefficient de frottement de 0.3 et un effort normal de 1000N sont utilisés pour définir le contact, ainsi qu’un paramètre Á de 0.1%.

Le premier mode complexe non-linéaire du secteur fondamental est calculé par la méthode présentée en section II.4, afin de construire les super-éléments non-linéaires cor-respondant à chaque sous-structure. Compte tenu du faible nombre de degrés de liberté présents sur les frontières, c’est l’expression sans double synthèse modale, donnée par l’équation (III.49), qui sera utilisée ici. Les backbones du mode sont données sur la fi-gure III.6, et possèdent le comportement standard observé à plusieurs reprises dans le chapitre II. Un zoom sur la déformée modale à basse et haute amplitude de vibration est également donné, permettant de constater le changement de l’état collé vers l’état glissant.

0 0.005 0.01 0.015 2 4 6 8 |xtˆete| (m) 212 212.5 213 213.5 214 214.5 215 215.5 0 0.005 0.01 0.015 |xtˆete| (m) 1 2 3 4 −0.05 0 0.05 0.1 DDL déplacement déformée 1 2 3 4 −0.05 0 0.05 0.1 DDL déplacement déformée βn(rad/s) ω n(Hz)

Figure III.6 – Backbones du premier mode complexe non-linéaire du secteur fondamental

Tout comme dans l’étude phénoménologique de la sectionII.5, nous nous intéresserons ici à la réponse du système soumis à des excitations du type ondes tournantes. L’expression du vecteur de chargement est donnée par

gm,n_d(t) = {F 0 0 0 0}Tcos( t + 2fiknd/n_b) (III.70) avec m l’indice du secteur, nb le nombre de secteurs du modèle, nd le nombre de diamètre de l’excitation, et F l’amplitude de l’excitation.

La figureIII.7 montre la réponse forcée d’un modèle à 12 secteurs pour une excitation à 6 diamètres. On constate que les courbes bleues, correspondant à la réponse calculée par CNCMS pour différents niveaux d’excitation, sont parfaitement superposées avec les courbes calculées par HBM sur le modèle complet, servant de références ici. Précisons que pour l’étude de ce cas accordée, la réponse du système étant ici parfaitement cyclique, le mode complexe non-linéaire utilisé pour construire les 12 super-éléments identiques aurait

4. Évaluation de la méthode sur modèle phénoménologique 121 aussi pu être calculé en appliquant des conditions de symétrie cyclique aux frontières du secteur fondamental, et utilisé en synthèse modale non-linéaire pure par la procédure dé-crite en sectionIII.2. Néanmoins, cette approche n’est pas possible pour les systèmes qui nous intéressent, à savoir, les structures désaccordées.

205⁰ 210 215 220 225 1 2 3 4 5 6 7 8^{x 10} −4 fréquence (Hz) amplitude (m)

Figure III.7 – Réponse forcée du modèle accordé pour différentes amplitudes d’excitation (CNCMS —, HBM

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Afin d’évaluer les capacités de la CNCMS pour traiter des cas de systèmes désaccor-dés, le modèle phénoménologique est modifié en définissant un nouveau type de secteur, ayant des raideurs en tête et milieu de pale différente du secteur fondamental défini précé-demment, de façon à décaler la première fréquence propre de 5% du nominal. Les valeurs des paramètres structuraux de ce nouveau type de secteur sont reportées dans le tableau

III.2. Le secteur fondamental A et ce nouveau secteur B sont ensuite distribués sur la Tableau III.2 – Paramètres structuraux du secteur B

– (unité) tête corps pied disque bâti

m (kg) 0.2 0.3 0.4 1.2 –

k (106·N/m) 1.8 0.9 40 50 0.6

périphérie du disque selon le schéma de désaccordage du tableau III.3. Le premier mode complexe non-linéaire de chacun des deux types de secteur est calculé pour construire les deux super-éléments correspondant, qui sont finalement assemblés en suivant le schéma de désaccordage du tableauIII.3 pour construire le modèle réduit.

Tableau III.3 – Schéma de désaccordage du modèle phénoménologique

Secteur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Type A B A A B B B A A B A B

122 Chapitre III. Sous-structuration par modes complexes non-linéaires

précédemment avec le modèle accordé. Les courbes de réponses obtenues pour l’ensemble des 12 pales à un niveau fortement non-linéaire (F =5N) sont données en figure III.8, et comparées aux courbes de référence calculées par équilibrage harmonique. Comme l’on pouvait s’y attendre, les pales exhibent dorénavant des réponses en fréquence différentes, possédant chacune plusieurs pics de résonances. On constate sur la figure que les écarts entre les réponses calculées par CNCMS et celles calculées par HBM sont relativement faibles, restant inférieurs à 3% sur toute la plage de fréquence. Ce constat illustre la qualité des résultats en termes de précision, mais s’avère d’autant plus intéressant lorsque l’on compare les performances des deux méthodes en termes de temps de calcul. C’est l’objet de la section suivante.

195⁰ 200 205 210 215 220 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2^{x 10} −3 fréquence (Hz) amplitude (m)

Figure III.8 – Réponse forcée non-linéaire des pales du système désaccordé (CNCMS—, HBM

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