Méthode de Rapach, Strauss et Zhou (2010)

Rapach, Strauss et Zhou (2010) affirment que la combinaison des variables apporte des gains économiquement et statistiquement significatifs lorsque l’analyse se fait hors échantillon (« out-of-sample » ou OOS). En effet, la combinaison des prévisions incorpore de l’information à partir de nombreuses variables économiques tandis que la volatilité de la prévision est réduite. De plus, les prévisions combinées sont liées à des variables décrivant l’économie réelle.

Rapach, Strauss et Zhou (2010) commencent avec une régression prédictive standard pour la prime sur l’équité :

𝑟_"() = 𝛼_. + 𝛽_. 𝑥_.,"+ 𝜀_"() . (37) Où :

𝑟_"() = rendement excédentaire sur l’indice du marché des actions 𝑥.," = variable dont la capacité prédictive présente un intérêt

𝜀_"() = terme d’erreur

L’équation (37) implique une régression standard entre le rendement excédentaire sur l’indice du marché des actions et la variable dont la capacité prédictive présente un intérêt. Rapach, Strauss et Zhou (2010) suggèrent, avant tout, qu’il existe un intérêt de prédire ce rendement à partir de variables reflétant les conditions économiques.

Comme dans Welch et Goyal (2008), Rapach, Strauss et Zhou (2010) génèrent des prévisions OOS pour la prime sur l’équité en utilisant une fenêtre d’estimation récursive. Dans un

premier temps, ils séparent l’échantillon total de T observations pour 𝑟" et 𝑥.," dans une

portion en échantillon, composée des m premières observations, et dans une portion OOS composée des q dernières observations. La prévision OOS initiale de la prime sur l’équité

basée sur 𝑥_.," est donnée par l’équation (38).

Ici, 𝛼|.,* et 𝛽n.,* sont respectivement les estimés OLS de 𝛼. et 𝛽. de l’équation (37). Ils sont

générés en régressant {𝑟_"}_"6,* _{sur une constante et O𝑥} .,"P_"6)

*-)

. Dans le cadre d’une fenêtre d’estimation récursive s’élargissant dans le temps, la prochaine prévision OOS est donnée

par l’équation (39). 𝛼|_.,*() et 𝛽n_.,*() sont estimés en régressant {𝑟_"}_"6,*() _{sur une constante et}

O𝑥_.,"P_"6)* .

𝑟̂.,*(, = 𝛼|.,*()+ 𝛽n.,*() 𝑥.,*() (39)

Les prévisions OOS sont réalisées ainsi de suite. En procédant de cette manière jusqu’à la fin de la période OOS, Rapach, Strauss et Zhou (2010) obtiennent une série de q prévisions OOS

de la prime sur l’équité basée sur 𝑥_.,", soit O𝑟̂_.,"()P_"6*B-). Plus spécifiquement, ils génèrent des

prévisions OOS sur la prime sur l’équité en utilisant ce modèle univarié avec 15 variables

économiques tirées de Welch et Goyal (2008)12_{. La combinaison de ces prévisions univariées}

représente l’idée centrale de leur approche.

La combinaison de prévisions connaît une popularité croissance ces dernières années, mais les applications dans la littérature financière restent assez rares. Mamaysky, Spiegel et Zhang (2007) trouvent que la combinaison des prévisions fait augmenter le nombre de fonds mutuels ayant des alphas prédictibles hors échantillon. Rapach, Strauss et Zhou (2010) se concentrent davantage sur l’utilisation de la combinaison de prévisions pour améliorer la prévisibilité OOS de la prime sur l’équité. Ils examinent aussi les fondements économétriques et les liens macroéconomiques de cette méthode. Leur approche est intéressante car Welch et Goyal (2008) montrent que les variables économiques prises individuellement n’arrivent pas à générer des gains de prévision OOS. Or, l’approche combinatoire fournit des preuves convaincantes sur la capacité prédictive OOS de la combinaison des 15 variables économiques de Welch et Goyal (2008).

Selon Rapach, Strauss et Zhou (2010), les prévisions basées sur des variables prises individuellement apparaissent trop volatiles pour représenter des changements plausibles dans la prime sur l’équité. En revanche, l’approche combinatoire réduit la variance des prévisions et augmente les gains de prévision OOS. Ces résultats impliquent que les modèles conditionnels d’évaluation des actifs couramment utilisés, qui dépendent d’une ou de quelques variables d’information pour capturer la variation dans le temps des rendements espérés, peuvent potentiellement être améliorés en considérant une approche combinatoire de nombreuses variables d’information.

Plus spécifiquement, l’approche combinatoire stipule que la prévision de la prime sur l’équité

au temps t+1, 𝑟̂_;,"(), est une moyenne pondérée de N prévisions individuelles :

𝑟̂_;,"()= j 𝜔_.," 𝑟€_.,"() . (40)

C

.6)

Où :

𝜔_.," = pondérations ex ante formée en t pour chaque variable prédictive i

L’équation (40) montre la manière générique à partir de laquelle Rapach, Strauss et Zhou (2010) fixent la combinaison. Bien qu’il existe plusieurs façons de sélectionner les

pondérations 𝜔_.,", Rapach, Strauss et Zhou (2010) trouvent que des méthodes simples qui

génèrent des pondérations relativement stables dans le temps performent mieux que celles où les pondérations sont sélectionnées de manière plus élaborée.

Les méthodes de combinaison appliquées dans leur étude peuvent être classées en deux catégories. La première regroupe les méthodes basées sur la moyenne, la médiane et la

moyenne tronquée. Ainsi, la prévision moyenne fixe 𝜔.," = 1 / N. La prévision médiane

utilise la médiane de 𝑟̂_.,"() (i variant de 1 à N). La prévision moyenne tronquée fixe 𝜔_.," =

0 pour les prévisions individuelles avec les plus petites et les plus grandes valeurs et 𝜔.," =

La deuxième catégorie est basée sur Stock et Watson (2004), qui sélectionnent les pondérations en fonction de la performance des prévisions historiques des modèles individuels dans l’échantillon précédent la prévision à effectuer. Ainsi, Stock et Watson (2004) préconise la méthode de combinaison DMSPE (« Discounted Mean Square Prediction Error ») qui utilise les pondérations suivantes :

𝜔_.," = ∅.," -) ∑C ∅_D,"-) D6) , (41) Avec :

∅.," = j 𝜃"-)-E ;𝑟E()− 𝑟̂.,E()=, "-)

E6*

. (42)

Où :

𝜃 = facteur d’escompte

L’idée de cette méthode est de mettre une pondération plus grande sur les prévisions provenant de variables dont les prévisions historiques ont été performantes. Dans l’équation

(42), ∅.," est défini comme étant une somme pondérée des erreurs de prévisions historiques

au carré de la variable i. La pondération de l’équation (41) est une fonction de l’inverse de ∅.,", ce qui signifie qu’elle est plus grande pour les prévisions des variables qui ont une

somme pondérée de leurs erreurs de prévisions historiques au carré faibles. Quand 𝜃 = 1, il n’y a pas d’escompte et (41) produit une prévision basée sur la combinaison optimale dérivée par Bates et Granger (1969) pour le cas où les prévisions individuelles ne sont pas corrélées. Quand 𝜃 < 1, une pondération plus importante est attribuée aux prévisions individuelles des variables qui prédisent mieux dans le passé récent que dans le passé lointain. Rapach, Strauss et Zhou (2010) considèrent deux valeurs pour 𝜃, soit 1 et 0.9.