Méthode de Becker, Ferson, Myers et Schill (1999)

Becker et al. (1999) développent encore plus les modèles conditionnels de « market timing ». En plus d'intégrer des mesures d'information économique pour capturer la capacité de synchronisation conditionnelle, leur modèle permet de mesurer la performance relative des gestionnaires de fonds. Dans la pratique, les critères de performance représentent un élément important du système d'incitation des gestionnaires. Schultz (1996) indique par exemple que Vanguard inclut des clauses incitatives dans 24 des 38 contrats de rémunération conclus avec des gestionnaires de fonds externes. Ces contrats déterminent la rémunération du gestionnaire en comparant la performance du fonds à celle d'un portefeuille de référence. Les contrats incitatifs induisent une préférence pour un rendement du portefeuille supérieur à l'indice de référence.

Heinkel et Stoughton (1995) présentent des modèles de « market timing » avec des investisseurs de référence, mais ils étudient des modèles inconditionnels et ne tiennent pas compte des informations publiques. L’article de Becker et al. (1999) est pertinent dans le fait même qu’il intègre les investisseurs de référence dans un modèle conditionnel de « market timing ».

Becker et al. (1999) estiment simultanément des paramètres décrivant l'information publique, l'aversion pour le risque du gestionnaire du fonds et la précision du signal de « market timing » du fonds. Utilisant un échantillon de plus de 400 fonds mutuels américains de 1976 à 1994, ils constatent que le modèle repose à la fois sur le portefeuille de référence et sur les informations publiques. Ils trouvent que les fonds se comportent comme des investisseurs de référence très averses au risque. Une analyse transversale des détentions dans les fonds donne à penser que les paramètres du modèle donnent des informations utiles sur les stratégies de portefeuille des gestionnaires.

Pour ce faire, Becker et al. (1999) imaginent un gestionnaire qui maximise l’utilité d’une période donnée avec un signal privé, normalement distribué, en fonction du rendement futur

du marché, 𝑟_*,"() , diminué du taux sans risque. Le signal 𝑆_" est paramétré selon l'approche

de Heinkel et Stoughton (1995), mais modifié pour un modèle conditionnel comme suit :

𝑆_" = 𝐾 (𝑟*,"()− 𝐸;𝑟*,"() <𝑍"=)

𝜎_*(1 − 𝑅,₎)_, + 𝜀". (6)

Où :

𝑍_" = un vecteur de variables d'information disponible

𝐸;𝑟_*,"() <𝑍_"= = rendement excédentaire espéré conditionnel selon 𝑍_"

𝑅, _{= coefficient de détermination de la régression de 𝑟}

*,"() sur 𝑍"

𝜎* = écart-type inconditionnel du rendement du marché

K = paramètre qui capture la qualité du signal

Cette équation implique que le signal 𝑆_" est défini comme une information privée sur le

marché, indépendante de l'information publique, 𝑍_". En d’autres termes, cela implique que la

qualité du signal privé au temps t dépend seulement de la part non publique détenue dans le rendement futur du marché. Cette part a été soustraite du rendement initial futur de marché

afin d’estimer 𝑆_". Ensuite, le fait de normaliser cela par le risque du marché permet

d’identifier la qualité de l’information privée. Le paramètre K mesure la qualité du signal de

« market timing ». Pour interpréter K, considérons la corrélation, 𝜌, entre 𝑆_" et le rendement

du marché, conditionnée par 𝑍".

𝜌 = 𝐾

(1 + 𝐾,₎)_,

(7)

Lorsque K = 0, la qualité du signal de « market timing » est médiocre. Le gestionnaire n’arrive pas à bien synchroniser le marché à partir de l’information privée. La corrélation 𝜌

entre 𝑆_" et le rendement du marché conditionné par 𝑍_" est nulle. Le signal privé et le

rendement du marché conditionné par 𝑍_" ne sont pas liés. Dans ce cas, 𝑆_" n’est égal qu’à un

bruit normal et le gestionnaire n'a que des informations publiques pour prendre des décisions d’investissement. En revanche, lorsque K devient grand, cela signifie que la qualité du signal de « market timing » est élevée. Le gestionnaire arrive à bien synchroniser le marché à partir

de l’information privée. La corrélation 𝜌 entre 𝑆_" et le rendement du marché conditionné

par 𝑍" est aussi grande. Le signal privé et le rendement du marché conditionné par 𝑍" sont

étroitement liés. Dans ce cas, 𝑆_" repose fortement sur l’information privée. Le gestionnaire

dispose alors d'une information de grande qualité sur les rendements futurs du marché. Dans l'analyse empirique, Becker et al. (1999) rapportent une estimation de la corrélation au carré,

𝜌,_{, pour faciliter les inférences.}

Le gestionnaire de portefeuille est supposé faire face à un problème de « market timing »

assez simple. Il doit choisir entre le portefeuille de marché, avec rendement 𝑅_*, et un actif

sans risque 𝑅$. Le rendement total du portefeuille est 𝑅! = 𝑅$ + x 𝑟*, où x représente le poids

du marché dans le portefeuille et 𝑟_* = 𝑅_* – 𝑅_$. Le gestionnaire maximise une fonction

𝑢(𝑥) = 𝐸 D E𝑈 G𝑅_!− ;ℎ 𝑅_*+ (1 − ℎ)𝑅_$=I J𝑆, 𝑍LM. (8)

Cette équation implique que le gestionnaire vise à maximiser une utilité économique avec un

signal privé en fonction du rendement futur du marché, 𝑟_*,"() , diminué du taux sans risque.

Cette utilité dépend du rendement de son portefeuille 𝑅_! et de celui de son portefeuille de

référence composé de 𝑅_* et 𝑅_$. Donc, la maximisation de l’utilité économique passe

inévitablement par la comparaison du portefeuille avec un portefeuille de référence. 𝑢(𝑥) est une fonction d’utilité concave et h est la pondération exogène du portefeuille de marché dans le portefeuille de référence. Pour 0 < h < 1, le portefeuille de référence est une combinaison

de 𝑅_* et 𝑅_$, avec une pondération égale à h sur 𝑅_* et (1 – h) sur 𝑅_$. Si h = 1, l’utilité est

une fonction de (𝑅_! – 𝑅_*) et le gestionnaire prend en compte le rendement du portefeuille

relatif à 𝑅_*. Si h = 0, l’utilité est une fonction de (𝑅_! – 𝑅_$) et le gestionnaire évalue le

rendement du portefeuille relatif au taux sans risque. Puisque le taux sans risque est une constante du point de vue du gestionnaire, il interprète h = 0 comme le cas où investir dans le portefeuille de référence n’est pas pertinent.

En solutionnant la maximisation de la fonction d’utilité, Becker et al. (1999) montrent que la solution dépend du rendement espéré et de la variance du rendement du marché conditionnels à (𝑍_", 𝑆_") : 𝐸O𝑟*,"()<𝑍", 𝑆"P = 𝐸O𝑟*,"()<𝑍"P + 𝑆" 𝜎*(1 − 𝑅,) ) , ( 𝐾 1 + 𝐾,) (9) 𝑉𝑎𝑟O𝑟*,"()<𝑍", 𝑆"P = 𝜎*, (1 − 𝑅,)/ (1 + 𝐾,). (10)

En arrangeant les termes, l’équation 9 implique que l’espérance du rendement futur du

marché conditionné par 𝑍_", 𝑆_" dépend du signal privé actuel et de sa qualité K. En d’autres

termes, plus le signal privé est important et de qualité aujourd’hui, plus l’espérance du

rendement futur du marché conditionné par 𝑍_", 𝑆_" est élevée demain. En effet, meilleure est

est apte à générer un rendement important dans le futur. Cependant, l’équation 10 implique

que la variance du rendement futur du marché conditionné par 𝑍_", 𝑆_" ne dépend plus de

l’ampleur du signal privé 𝑆_" actuel mais plutôt de sa qualité K, entre autres. Plus cette qualité

est jugée importante, moins la variance est grande. En d’autres mots, plus l’information

privée est précise, moins le rendement futur du marché conditionné par 𝑍_", 𝑆_" est susceptible

de varier.

Spécifiquement, Becker et al. (1999) trouvent que le poids optimal x dans l’actif risqué est :

𝑥 = ℎ +γ -)𝐸O𝑟*,"()<𝑍", 𝑆" P

𝑉𝑎𝑟O𝑟_*,"()<𝑍_", 𝑆_"P . (11)

Cette équation implique que le poids du marché dans le portefeuille optimal dépend de h, mais aussi du rendement espéré et de la variance du rendement du marché conditionnés par 𝑍_", 𝑆_". Par conséquent, x dépend du signal 𝑆_" et de sa qualité K. γ est la mesure de Rubinstein (1973) de l'aversion au risque, que nous supposons être un paramètre fixe. Les auteurs utilisent le lemme de Stein (1973) pour exprimer la covariance du marché avec l'utilité marginale en termes de covariance avec l'argument de la fonction d'utilité, et ultimement dériver (11).

Au final, Becker et al. (1999) démontrent que le bêta conditionnel s’exprime comme suit :

𝛽_! = ℎ + *1 + 𝐾"

γ - (𝐸{𝑟#|𝑍!})/(𝜎#" (1 − 𝑅")) + (𝐾"_{/γ) Cov(𝑟}

#, 𝑟#"|𝑍!)/(𝜎#" (1 − 𝑅"))" . (12)

Cette équation implique que le bêta conditionnel dépend principalement des proportions du portefeuille de référence, de l’aversion au risque de l’investisseur, de la qualité de

l’information privée, et du rendement espéré du marché et de la covariance entre 𝑟# et 𝑟#",

conditionnés par 𝑍". Ceci suggère que le risque est conditionné à la fois par des variables

trouvent que les fonds mutuels se comportent comme des investisseurs de référence très averses au risque. De plus, après le contrôle pour l’information publique, ils concluent que les fonds possèdent une capacité de « market timing ».