Méthode de Gauss

5.4 Méthode des débris virtuels (Virtual Debris) . . . . 68

5.4.1 Principe . . . . 68

5.4.2 Résultats publiés . . . . 69

5.5 Insuffisance des techniques existantes . . . . 70

5.5.1 Pour l’association initiale . . . . 70

5.5.2 Pour la Détermination d’Orbite Initiale (IOD) . . . . 71

5.1 Problématique de la Détermination d’Orbite Initiale

5.1 Problématique de la Détermination d’Orbite

Initiale

Le cycle Association-Estimation décrit dans la Section 4.3 est valable lors de la

mise-à-jour des pistes mais également lors de leur initialisation. Naturellement, il

est nécessaire d’accumuler des observations (étape d’association) avant de pouvoir

calculer une orbite (étape d’estimation). La Détermination d’Orbite Initiale (IOD)

est le premier calcul d’orbite, souvent effectué à partir d’un nombre d’observations

réduit. Quand davantage d’observations deviennent disponibles, on effectue un calcul

d’Orbite Définitive (Definitive Orbit, DO) pour raffiner la connaissance de l’orbite à

partir de l’Orbite Initiale (Initial Orbit, IO) et d’observations nouvellement acquises

[47, 29, 48].

Association

Accumulation du

nombre minimal

d’observations

pour l’IOD

Estimation

Détermination

d’orbite initiale

Association

Utilisation de

l’orbite initiale

et du modèle

dynamique

Premières observations Observations supplémentaires

Vers

Détermination d’OD

Figure 5.1 – L’IOD nécessite d’avoir associé un nombre suffisant d’observations. Les

autres observations ont été associées au préalable ou sont associées par la suite grâce à

l’orbite initiale et au modèle dynamique.

Les méthodes classiques d’IOD telles que la méthode de Gibbs et celle de

Herrick-Gibbs peuvent être utilisées pour calculer une orbite à partir de trois observations

de position issues d’un arc de trajectoire de longueur suffisante (capteur à large

emprise). Par opposition, les méthodes de résolution du problème de Lambert

¹

né-cessitent seulement deux observations de position qui peuvent être éloignées

spa-tialement et dans le temps. Dans les deux cas, la quantité recherchée et le vecteur

vitesse associé à l’une des positions connues.

Ces méthodes supposent alors :

– des observations correctement associées,

– un bruit d’observation faible ou nul.

On comprend alors que les méthodes d’IOD ne répondent pas au problème

d’as-sociation initiale et que les sorties de ces algorithmes peuvent être imprécises en

raison du bruit d’observation qui génère de la redondance entre deux observations

spatialement proches. L’IOD reste cependant une étape essentielle pour le pistage

d’objets spatiaux.

Dans ce qui suit, nous présentons deux méthodes d’IOD à partir de trois observations

Chapitre 5 : Détermination d’orbite préliminaire

de position ainsi que deux méthodes de résolution du problème de Lambert dont

une version permet de traiter le cas d’observations à une ou plusieurs révolutions

d’intervalle.

5.2 Trois observations de position

Les méthodes de Gibbs et de Herrick-Gibbs sont couramment utilisées pour l’IOD

[49]. Ces méthodes font l’hypothèse de trois observations de positionr

₁

,r

₂

etr

₃

,

co-planaires dans un référentiel ECI. Compte tenu du bruit d’observation, une certaine

erreur de coplanarité doit être admise. Les vecteurs sont supposés être également

relativement proches spatialement et temporellement, c’est-à-dire en général issues

d’une même traversée d’un objet dans le FOR du capteur. Le bruit d’observation

pouvant être important avec notre capteur, la précision de l’orbite initiale obtenue

est fortement dégradée, et ce d’autant plus que la proximité spatiale des observations

bruitées implique une perte d’information (redondance).

r

1

r

2

r

3

Figure 5.2 – Trois observations de position datées permettent le calcul d’une orbite

initiale. La précision de cette orbite dépend de la configuration du triplet d’observations

(distances relatives, bruit d’observation,etc.).

5.2.1 Méthode de Gibbs

La méthode de Gibbs est une méthode purement géométrique inspirée de la méthode

de Gauss (non-détaillée dans ce document, cf. [24]) pour l’IOD à partir de trois

lignes de visées (deux angles sans mesure de distance obtenues en général par des

observations au télescope). L’objectif de cette méthode est le calcul d’un

vecteur-vitesse v associé à un vecteur-position r. Le couple position-vitesse (r,v) obtenu

permet de remonter aux éléments orbitaux grâce au formulaire de l’Annexe C.

Les trois vecteurs position r

₁

, r

₂

et r

₃

sont supposés coplanaires, avec une certaine

tolérance compte tenu du bruit d’observation. La première loi de Kepler permet de

déduire l’expression d’un vecteur-vitesse associé à un vecteur-position :

5.2 Trois observations de position

v=±

r µ

N D

S+^D∧r

r

(5.1)

où les trois vecteurs N, D et S (de normes N,D etS, respectivement) sont définis

tels que :

N = r

₃

r

₁

∧r

₂

+r

₁

r

₂

∧r

₃

+r

₂

r

₃

∧r

₁

D = r

₁

∧r

₂

+r

₂

∧r

₃

+r

₃

∧r

₁

(5.2)

S = (r2−r3)r

₁

+ (r3−r1)r

₂

+ (r1−r2)r

₃

Ce résultat impose que les observations soient séquentielles, c’est-à-dire que l’on

connaît leur ordre temporel (même si l’on n’utilise pas directement leurs dates).

L’ambiguïté sur le signe dev se résout alors trivialement.

On retrouve alors les valeurs des paramètres orbitaux képlériens classiques par le

formulaire (C.1)-(C.6). Accessoirement, le vecteur excentricitée (vecteur de norme

e qui pointe vers le périgée) est directement accessible pare =

^S_SD^∧N

.

La méthode de Gibbs étant purement géométrique, elle est préférée quand les trois

observations sont réparties sur un arc relativement grand, car des angles trop faibles

entre les vecteurs-position conduisent à des produits vectoriels quasi-nuls et sujets

aux erreurs numériques. Dans la littérature [22], on évoque une limite empirique de

1˚en termes d’angle minimal entre les vecteurs d’observation (cela est également

conditionné par la précision des mesures).

Par ailleurs, la coplanarité des vecteurs-position utilisés peut se mesurer par un angle

α

_coplanaire

défini par l’équation (5.3), auquel on impose en général d’être inférieur à

3˚pour la pertinence du résultat.

α

_coplanaire

= 90˚−arccos ^r

²

∧r

₃

.r

₁

kr

₂

∧r

₃

kkr

₁

k ^(5.3)

5.2.2 Méthode de Herrick-Gibbs

À l’instar de la méthode de Gibbs, la méthode de Herrick-Gibbs permet de calculer

le vecteur-vitesse v

₂

à partir de trois positions datées {(t

₁

,r

₁

),(t

₂

,r

₂

),(t

₃

,r

₃

)} avec

t

₁

< t

₂

< t

₃

. Cette méthode repose sur un principe analytique : elle fait appel à un

développement limité de vecteurs position r(t) fonction du temps, ce qui implique

des observations rapprochées dans le temps dans la mesure où le bruit d’observation

le permet.

En partant d’un développement en série de Taylor du vecteur-positionr(t) de l’objet

considéré autour de t

₂

à l’ordre 4, évalué en r

₁

et en r

₃

, on aboutit au système

d’équations (5.4)-(5.5).

r

₁

=r

₂

+r

⁰₂

∆t

₁₂

+ ¹

2^r

00 2

∆t

²₁₂

+ ¹

3!^r

(3) 2

∆t

³₁₂

+ ¹

4!^r

(4) 2

∆t

⁴₁₂

+o(∆t

⁴₁₂

) (5.4)

r

₃

=r

₂

+r

⁰₂

∆t

₃₂

+ ¹

2^r

00 2

∆t

²₃₂

+ ¹

3!^r

(3) 2

∆t

³₃₂

+ ¹

4!^r

(4) 2

∆t

⁴₃₂

+o(∆t

⁴₃₂

) (5.5)

Chapitre 5 : Détermination d’orbite préliminaire

avec ∆t

₁₂

= t

₁

−t

₂

et ∆t

₃₂

= t

₃

−t

₂

. En manipulant ces équations et en utilisant

l’équation du problème à deux corpsr

00

=−

_r^µ3

r, on peut démontrer quev

₂

s’exprime

tel que :

v

₂

=r

⁰₂

=α r

₁

+β r

₂

+γ r

₃

(5.6)

oùα, β etγ sont fonction de ∆t

₁₂

, ∆t

₁₃

, ∆t

₂₃

et deµ :

α = −∆t

₃₂

¹

∆t

₂₁

∆t

₃₁

⁺

µ

12r

3 1

!

(5.7)

β = (∆t

₃₂

−∆t

₂₁

) ¹

∆t

₂₁

∆t

₃₂

⁺

µ

12r

3 2

!

(5.8)

γ = ∆t

₂₁

¹

∆t32∆t31 ⁺

µ

12r

3 3

!

(5.9)

À partir du couple {r

₂

,v

₂

}, on peut calculer les paramètres orbitaux képlériens

classiques d’après le formulaire (C.1)-(C.6).

L’utilisation de développements limités autour de t

₂

implique des observations très

rapprochées dans le temps pour que l’approximation négligeant les termes o(∆t

⁴₁₂

)

eto(∆t

4

32

) soit valable. La méthode de Herrick-Gibbs est donc complémentaire dans

sont domaine d’application à la méthode de Gibbs. Dans [24], des études de cas

démontrent que la méthode de Gibbs est plus précise quand les vecteurs-position

forment des angles supérieurs à 5˚tandis que la méthode de Herrick-Gibbs est plus

précise quand ces mêmes angles sont inférieurs à 1˚. Pour des écarts angulaires

compris entre 1˚et 5˚, ces deux méthodes montrent des performances comparables.

5.3 Deux observations de position

On appelle le “problème de Lambert” le problème de déterminer une orbite reliant

une position initiale r

₀

à une position finale r

₁

en un temps ∆t. Résoudre ce

pro-blème nécessite de faire des hypothèses supplémentaires. En effet, deux positions

peuvent être reliées par une infinité d’orbites képlériennes et un nombre de

révolu-tions maximal entre les deux posirévolu-tions doit être fixé.

La méthode de Gauss [50] est une méthode de résolution classique. Elle consiste à

déterminer de manière numérique (itérations) un rapport d’airesydont on déduit le

vecteur vitessev

₀

associé à la position initialer

₀

. Pour le cas où plusieurs révolutions

sont possibles entre les deux positions, la méthode de Battin est une des méthodes

les plus courantes. D’autres méthodes visant à s’affranchir des contraintes liées à

la méthode de Gauss (notamment la condition de non-colinéarité) existent (par

exemple, la méthode de Thorne [51]) mais ne sont pas décrites dans ce document car

elles conservent les mêmes lacunes que les méthodes classiques pour notre problème

particulier, c’est-à-dire que le bruit de mesure n’est pas pris en compte et que le

coût de calcul n’est pas allégé.

5.3 Deux observations de position

r

1

r

0

∆ν

Figure 5.3 – La résolution du problème de Lambert pour l’IOD consiste à déterminer

une orbite reliant deux positions en un temps donné. En général, plusieurs solutions sont

possibles en particulier quand on admet que l’objet a pu effectuer plusieurs révolutions.

Dans le cas où l’objet effectue moins d’une révolution, on peut trouver deux solutions (sauf

cas particulier où les vecteurs-position sont colinéaires).

5.3.1 Méthode de Gauss

La méthode de Gauss pour résoudre le problème de Lambert s’appuie sur une

expres-sion du semi-paramètre p(avec les paramètres képlériens présentés au Chapitre 3 :

p =a(1−e

2

)), fonction de l’angle formé par r

₀

et r

₁

, les normes de ces deux

vec-teurs ainsi que sur la différence d’anomalie excentrique ∆E. La connaissance du

semi-paramètrep permet de remonter aux vitesses associées à r

₀

etr

₁

. Tout le

pro-blème revient donc à la résolution de cette équations, dont les inconnues sont p et

∆E :

p= ^2r

⁰

^r

¹

^sin

2

(∆ν/2)

r

₀

+r

₁

−2√

r

₀

r

₁

cos(∆ν/2) cos(∆E/2) ^(5.10)

Des techniques plus ou moins classiques sont disponibles pour résoudre cette

équa-tion. Dans [24], le rapportyde l’aire balayée par le vecteur-position entrer

₀

etr

₁

et

de l’aire du triangle formé par ces deux mêmes vecteurs est utilisé. Une expression

de ce rapport peut se déduire de la loi des aires :

y=

√

µp∆t

r

₀

r

₁

sin ∆ν ^(5.11)

En y injectant l’expression (5.10), on obtient :

y

²

= ^µ∆t

2

cos

⁻²

(∆ν/2)

2r

₀

r

₁

r

₀

+r

₁

−2√

r

₀

r

₁

cos(∆ν/2) cos(∆E/2) ^(5.12)

où nous rappelons que ∆E désigne la différence des anomalies excentriques (cf.

Chapitre 3). L’équation (5.12) peut alors s’écrire sous une forme plus classique :

y

²

= ^m

l+x

₁

^{, avec}



















l =

r0+r1 4^√r0r1cos(∆ν/2)

−

1 2

m =

^µ∆t2 (2^√r0r1cos(∆ν/2))³

x

₁

= sin

²

(∆E/4)

(5.13)

Chapitre 5 : Détermination d’orbite préliminaire

Dans [50], il est démontré l’utilité d’une quantité x

₂

particulière, qui admet un

développement en série entière de x

₁

pour ∆ν <90˚ :

x

₂

= ^∆E−sin ∆E

sin

3

(∆E/2) ⁼

4

3 ^{1 +}

6 x

₁

Dans le document Catalogage de petits débris spatiaux en orbite basse par observations radars isolées (Page 86-92)