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Évaluation de la qualité individuelle des pistes

7.5 Évaluation des performances

8.1.4 Évaluation de la qualité individuelle des pistes

Chaque piste Z est constituée d’une séquence d’observations associées grâce à une

fonction de fenêtrage donnant lieu au calcul de la probabilité p(Z|H

1

) lorsqu’elle

dispose d’une orbite estiméeX

7

. Calculer le rapport de vraisemblance (score) entre

l’hypothèse H1 et l’hypothèse H0 permet alors d’évaluer la qualité d’une piste Z.

Dans cette étude, nous utilisons le logarithme d’un rapport de vraisemblance défini

par l’équation (8.1) (rappel de l’équation (4.26)), oùp(Z|H

1

) est la probabilité des

Chapitre 8 : Intégration du traitement multicible

H

1

) et p(Z|H

0

) est la probabilité des observations de la pisteZ sachant qu’elles sont

toutes des fausses alarmes (hypothèse H

0

=H

1

).

L= lnp(Z|H

1

)

p(Z|H

0

) (8.1)

La méthode classique du Sequential Probability Ratio Test (SPRT) [46] (cf.Section 4.3.2)

est implémentée pour tirer avantage de ce score. Cette méthode consiste à comparer

régulièrement le score associé à une piste Z à des seuils s

SPRT,1

et s

SPRT,2

afin de

décider de sa suppression ou de sa confirmation.

La mise-à-jour du score se fait de manière récursive lorsqu’une nouvelle

observa-tion z est associée à une piste existante Z, les bruits d’observation étant supposés

indépendants [63] :

L

k+1

= ln p(z|H

1

p(Z|H

1

)

p(z|H

0

p(Z|H

0

)

!

= ∆L+L

k

(8.2)

avec l’incrément ∆L tel que :

L= lnp(z|H

1

)

p(z|H

0

) (8.3)

La probabilité p(z|H

1

) est obtenue grâce à la distribution (supposée gaussienne) de

l’observation prédite¯z :

p(z|H

1

) = e

d2/2

(2π)

M/2

q|S| (8.4)

d la distance de Mahalanobis entre l’observation z et l’observation ¯z prédite à

partir de la piste, |S| est le déterminant de la matrice de covariance associée et M

est la dimension du vecteur d’observation (c’est-à-dire 3 en l’occurrence).

La probabilitép(z|H

0

) est la densité d’observations dans la cellule de résolution du

capteur dont le volume est V

C

:

p(z|H

0

) = 1

V

C

(8.5)

En définitive :

L

k+1

=L

k

+

lnV

C

1

2

ln|S| −

Mln(22π)+d2

si la piste est prolongée

par une nouvelle observation,

ln(1−P

D

) sinon.

(8.6)

8.1 Principe du Track-Oriented Multiple Hypothesis Tracker (TO-MHT)

Score d’association lié à l’orbite circulaire

Le rapport de vraisemblance est un critère de qualité lorsque l’on dispose d’un

état X

7

précis. Lorsque l’on dispose d’un état {Xˆ

4

,P

XˆXˆ,4

} (orbite circulaire

néces-sairement biaisée) déduit d’une paire d’observations par la méthode présentée au

Chapitre 7, ce critère ne permet pas d’évaluer la qualité de l’association d’une

troi-sième observation candidate car un biais apparaît dans la densité de probabilité de

l’observation prédite{¯z,P

¯z¯z

}. Dans cette section, nous justifions le choix de ne pas

évaluer la qualité d’une association tant qu’on ne dispose pas d’une orbite précise,

c’est-à-dire tant qu’un algorithme de Gauss-Newton ne converge pas.

Pour cela, nous appliquons la méthode d’estimation d’orbite circulaire à un jeu

d’observations issu de la simulation des objets du catalogue Space-Track et utilisons

la transformation non-parfumée pour corréler davantage d’observations à chaque

piste initiale. À chaque nouvelle association, nous évaluons le score d’associationL

défini de manière classique par l’équation (8.7) :

L

k+1

=L

k

+ lnVC1

2ln|S| − 3 ln(2π) +d

2

2 (8.7)

L

k

est le score de la piste avant l’association (nul pour l’association initiale), V

C

le volume surveillé, |S| le déterminant de la matrice de covariance de l’innovation

S=P

¯z¯z

+P

zz

etd la distance statistique telle que définie en équation (7.9).

Lorsqu’une nouvelle observation est associée à une piste existante, nous tentons

d’estimer une orbite définitiveX

7

et, en cas de convergence de l’algorithme de

Gauss-Newton, nous l’utilisons pour associer les observations suivantes et évaluer le score

d’association.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

20

40

60

80

Nombre de détections

Rapp

ort

de

vraisem

blance

cum

ulé

Moyenne

Moyenne±écart-type

Faible

observabilité

de l’état

Figure 8.3 –Dans cette simulation, c’est en général la quatrième observation qui permet

la convergence de l’algorithme de Gauss-Newton. Les pistes de deux ou trois observations

utilisent un état X

4

tandis que les pistes de quatre observations ou plus utilisent un état

X

7

pour l’association de nouvelles observations.

La Figure 8.3 représente le score cumulé en fonction de la longueur de la piste pour

les pistes correctes. Nous observons que le score cumulatif stagne autour de zéro

(voire diminue légèrement en moyenne) pour les pistes contenant moins de quatre

Chapitre 8 : Intégration du traitement multicible

observations. Cela exprime le biais de l’estimation de l’orbite circulaire : le score

ne fournit pas un indicateur fiable de la qualité de la piste dans ce cas. Lorsque

l’on dispose d’au moins quatre observations, l’algorithme de Gauss-Newton converge

dans la plupart des cas et les incréments de score associés aux observations suivantes

sont élevés.

On déduit de cette analyse que le rapport de vraisemblance n’est pas pertinent

si l’on ne dispose que d’une orbite circulaire (biaisée). Nous faisons donc le choix

d’ignorer ce score dans la discrimination des pistes tant que le critère de convergence

n’est pas respecté, en testant la convergence d’un algorithme de Gauss-Newton et

en comparant l’erreur quadratiqueε

Q

à un seuil s

ε

.

Pour éviter de supprimer ou de confirmer des pistes à tort, le rapport de

vraisem-blanceLn’est pas incrémenté tant qu’un état complet, c’est-à-dire un vecteur d’état

X

7

, n’est pas disponible (L reste alors nul).

Évaluation et suppression de pistes

Chaîne classique

Piste X

4

disponible ? X

7

disponible ?

L

0

s

SPRT,1

? L = 0 L+ ∆Ls

SPRT,1

?

Suppression

de la piste

oui oui

non non

oui oui

Figure 8.4 – Détails du bloc d’évaluation et suppression de pistes (cf.Figure 8.1).

100 150 200 250

10

20

30 t

0

elev

ation

φ

(˚)

100 150 200 250

10

20

30 t

0

+10 s

azimuthθ (˚)

elev

ation

φ

(˚)

Figure 8.5 – Exemple de fenêtre (rouge) validant des observations (bleu) sur des scans

successifs. Le processus de suppression représenté en Figure 8.4 ne doit pas être

effec-tué après la première association, mais après un temps de latence t

latence

sous peine de

supprimer à tort la piste qui pourrait être prolongée par une observation du second scan.

8.1 Principe du Track-Oriented Multiple Hypothesis Tracker (TO-MHT)

pour chaque piste. En effet, les objets sont hors du champ de veille la plupart du

temps et les pistes sont par conséquent rarement mises à jour. De plus, les fenêtres

de validation peuvent comprendre une zone de l’espace surveillée et une zone hors

champ de veille. Ce processus d’évaluation de qualité de piste doit alors être effectué

avec une certaine latence t

latence

pour éviter la suppression d’une piste causée à

tort par une mauvaise association alors qu’une association correcte est possible aux

scans contigus. Nous avons déterminé empiriquement que la valeurt

latence

= 10 mins

convenait.

Par ailleurs, les observations prédites et leurs fenêtres de validation sont la plupart

du temps hors du champ de veille. Dans ces cas, la probabilitéP

D

est nulle et

l’incré-ment de score ∆L est par conséquent nul également. Une piste peut alors survivre

très longtemps car la “certitude” d’une non-détection se présente rarement. Nous

choisissons alors d’imposer un délai d’expiration : si une piste ne dispose pas d’un

vecteur d’état X

7

après une certaine durée t

exp.

, alors cette piste est supprimée.

Nous avons déterminé qu’un objet passe en moyenne 3 fois dans le champ de veille

en l’espace de 24 heures. Le choix t

exp.

= 24 h permet alors une suppression

effi-cace des pistes non-prolongées. Intuitivement, une piste d’observations issues d’un

même objet serait supprimée à tort en phase d’initialisation avec une probabilité de

(1−P

D

)

2

qui correspond à la non-détection de deux passages suivant une première

détection.