7.5 Évaluation des performances
8.1.4 Évaluation de la qualité individuelle des pistes
Chaque piste Z est constituée d’une séquence d’observations associées grâce à une
fonction de fenêtrage donnant lieu au calcul de la probabilité p(Z|H
1) lorsqu’elle
dispose d’une orbite estiméeX
7. Calculer le rapport de vraisemblance (score) entre
l’hypothèse H1 et l’hypothèse H0 permet alors d’évaluer la qualité d’une piste Z.
Dans cette étude, nous utilisons le logarithme d’un rapport de vraisemblance défini
par l’équation (8.1) (rappel de l’équation (4.26)), oùp(Z|H
1) est la probabilité des
Chapitre 8 : Intégration du traitement multicible
H
1) et p(Z|H
0) est la probabilité des observations de la pisteZ sachant qu’elles sont
toutes des fausses alarmes (hypothèse H
0=H
1).
L= lnp(Z|H
1)
p(Z|H
0) (8.1)
La méthode classique du Sequential Probability Ratio Test (SPRT) [46] (cf.Section 4.3.2)
est implémentée pour tirer avantage de ce score. Cette méthode consiste à comparer
régulièrement le score associé à une piste Z à des seuils s
SPRT,1et s
SPRT,2afin de
décider de sa suppression ou de sa confirmation.
La mise-à-jour du score se fait de manière récursive lorsqu’une nouvelle
observa-tion z est associée à une piste existante Z, les bruits d’observation étant supposés
indépendants [63] :
L
k+1= ln p(z|H
1)×p(Z|H
1)
p(z|H
0)×p(Z|H
0)
!
= ∆L+L
k(8.2)
avec l’incrément ∆L tel que :
∆L= lnp(z|H
1)
p(z|H
0) (8.3)
La probabilité p(z|H
1) est obtenue grâce à la distribution (supposée gaussienne) de
l’observation prédite¯z :
p(z|H
1) = e
−d2/2
(2π)
M/2q|S| (8.4)
où d la distance de Mahalanobis entre l’observation z et l’observation ¯z prédite à
partir de la piste, |S| est le déterminant de la matrice de covariance associée et M
est la dimension du vecteur d’observation (c’est-à-dire 3 en l’occurrence).
La probabilitép(z|H
0) est la densité d’observations dans la cellule de résolution du
capteur dont le volume est V
C:
p(z|H
0) = 1
V
C(8.5)
En définitive :
L
k+1=L
k+
lnV
C−
12
ln|S| −
Mln(22π)+d2si la piste est prolongée
par une nouvelle observation,
ln(1−P
D) sinon.
(8.6)
8.1 Principe du Track-Oriented Multiple Hypothesis Tracker (TO-MHT)
Score d’association lié à l’orbite circulaire
Le rapport de vraisemblance est un critère de qualité lorsque l’on dispose d’un
état X
7précis. Lorsque l’on dispose d’un état {Xˆ
4,P
XˆXˆ,4} (orbite circulaire
néces-sairement biaisée) déduit d’une paire d’observations par la méthode présentée au
Chapitre 7, ce critère ne permet pas d’évaluer la qualité de l’association d’une
troi-sième observation candidate car un biais apparaît dans la densité de probabilité de
l’observation prédite{¯z,P
¯z¯z}. Dans cette section, nous justifions le choix de ne pas
évaluer la qualité d’une association tant qu’on ne dispose pas d’une orbite précise,
c’est-à-dire tant qu’un algorithme de Gauss-Newton ne converge pas.
Pour cela, nous appliquons la méthode d’estimation d’orbite circulaire à un jeu
d’observations issu de la simulation des objets du catalogue Space-Track et utilisons
la transformation non-parfumée pour corréler davantage d’observations à chaque
piste initiale. À chaque nouvelle association, nous évaluons le score d’associationL
défini de manière classique par l’équation (8.7) :
L
k+1=L
k+ lnVC− 1
2ln|S| − 3 ln(2π) +d
2
2 (8.7)
oùL
kest le score de la piste avant l’association (nul pour l’association initiale), V
Cle volume surveillé, |S| le déterminant de la matrice de covariance de l’innovation
S=P
¯z¯z+P
zzetd la distance statistique telle que définie en équation (7.9).
Lorsqu’une nouvelle observation est associée à une piste existante, nous tentons
d’estimer une orbite définitiveX
7et, en cas de convergence de l’algorithme de
Gauss-Newton, nous l’utilisons pour associer les observations suivantes et évaluer le score
d’association.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
20
40
60
80
Nombre de détections
Rapp
ort
de
vraisem
blance
cum
ulé
Moyenne
Moyenne±écart-type
Faible
observabilité
de l’état
Figure 8.3 –Dans cette simulation, c’est en général la quatrième observation qui permet
la convergence de l’algorithme de Gauss-Newton. Les pistes de deux ou trois observations
utilisent un état X
4tandis que les pistes de quatre observations ou plus utilisent un état
X
7pour l’association de nouvelles observations.
La Figure 8.3 représente le score cumulé en fonction de la longueur de la piste pour
les pistes correctes. Nous observons que le score cumulatif stagne autour de zéro
(voire diminue légèrement en moyenne) pour les pistes contenant moins de quatre
Chapitre 8 : Intégration du traitement multicible
observations. Cela exprime le biais de l’estimation de l’orbite circulaire : le score
ne fournit pas un indicateur fiable de la qualité de la piste dans ce cas. Lorsque
l’on dispose d’au moins quatre observations, l’algorithme de Gauss-Newton converge
dans la plupart des cas et les incréments de score associés aux observations suivantes
sont élevés.
On déduit de cette analyse que le rapport de vraisemblance n’est pas pertinent
si l’on ne dispose que d’une orbite circulaire (biaisée). Nous faisons donc le choix
d’ignorer ce score dans la discrimination des pistes tant que le critère de convergence
n’est pas respecté, en testant la convergence d’un algorithme de Gauss-Newton et
en comparant l’erreur quadratiqueε
Qà un seuil s
ε.
Pour éviter de supprimer ou de confirmer des pistes à tort, le rapport de
vraisem-blanceLn’est pas incrémenté tant qu’un état complet, c’est-à-dire un vecteur d’état
X
7, n’est pas disponible (L reste alors nul).
Évaluation et suppression de pistes
Chaîne classique
Piste X
4disponible ? X
7disponible ?
L
0≤ s
SPRT,1? L = 0 L+ ∆L≤s
SPRT,1?
Suppression
de la piste
oui oui
non non
oui oui
Figure 8.4 – Détails du bloc d’évaluation et suppression de pistes (cf.Figure 8.1).
100 150 200 250
10
20
30 t
0elev
ation
φ
(˚)
100 150 200 250
10
20
30 t
0+10 s
azimuthθ (˚)
elev
ation
φ
(˚)
Figure 8.5 – Exemple de fenêtre (rouge) validant des observations (bleu) sur des scans
successifs. Le processus de suppression représenté en Figure 8.4 ne doit pas être
effec-tué après la première association, mais après un temps de latence t
latencesous peine de
supprimer à tort la piste qui pourrait être prolongée par une observation du second scan.
8.1 Principe du Track-Oriented Multiple Hypothesis Tracker (TO-MHT)
pour chaque piste. En effet, les objets sont hors du champ de veille la plupart du
temps et les pistes sont par conséquent rarement mises à jour. De plus, les fenêtres
de validation peuvent comprendre une zone de l’espace surveillée et une zone hors
champ de veille. Ce processus d’évaluation de qualité de piste doit alors être effectué
avec une certaine latence t
latencepour éviter la suppression d’une piste causée à
tort par une mauvaise association alors qu’une association correcte est possible aux
scans contigus. Nous avons déterminé empiriquement que la valeurt
latence= 10 mins
convenait.
Par ailleurs, les observations prédites et leurs fenêtres de validation sont la plupart
du temps hors du champ de veille. Dans ces cas, la probabilitéP
Dest nulle et
l’incré-ment de score ∆L est par conséquent nul également. Une piste peut alors survivre
très longtemps car la “certitude” d’une non-détection se présente rarement. Nous
choisissons alors d’imposer un délai d’expiration : si une piste ne dispose pas d’un
vecteur d’état X
7après une certaine durée t
exp., alors cette piste est supprimée.
Nous avons déterminé qu’un objet passe en moyenne 3 fois dans le champ de veille
en l’espace de 24 heures. Le choix t
exp.= 24 h permet alors une suppression
effi-cace des pistes non-prolongées. Intuitivement, une piste d’observations issues d’un
même objet serait supprimée à tort en phase d’initialisation avec une probabilité de
(1−P
D)
2qui correspond à la non-détection de deux passages suivant une première
détection.
Dans le document
Catalogage de petits débris spatiaux en orbite basse par observations radars isolées
(Page 141-145)