Les notations que nous utilisons pour nommer les échangeurs sur le régénérateur et leur
température correspondent à celles déjà employées dans le chapitre 2. Pour plus de clarté, il
est possible de se référer au schéma de synthèse 2.14 page 57. Nous appelons par ailleurs PT1
et PT2 les étages du tube à gaz pulsé avec T PT1, T PT2 et P PT1, P PT2 leurs températures
et les charges thermiques qu’ils reçoivent.
5.2.1.1 Débit maximum
A l’équilibre thermique de notre cryostat, les températures des deux étages du tube à gaz
pulsé sont de 58 K et 3,5 K. La température du premier étage est relativement élevée car nous
sommes obligés de chauffer le condenseur à azote du caloduc utilisé avec un écran en
alumi-nium pour que l’azote ne gèle pas. Dans le cas d’un écran en cuivre la température du premier
étage s’équilibre à 50 K.
Nous avons calculé le débit maximum en fonction des performances des échangeurs sur le
régénérateur avec une température de deuxième étage comprise entre 3,5 K et 4 K.
Lorsque le deuxième étage du tube à gaz pulsé est entre 3,5 K et 4 K, les puissances des
échangeurs EX1 et EX2 sur le régénérateur, données en page 59, sont de 800 mW et 700 mW.
Comme nous l’avons constaté, ces puissances ne sont pas cumulatives. En fonction de la
ré-partition de la puissance sur les deux échangeurs, nous savons que la puissance totale est
comprise entre 700 mW et 800 mW.
Aux puissances maximum admissibles, la température des échangeurs sur le régénérateur
est de 18 K sur EX1 et de 4,8 K sur EX2 .
•Calcul des charges thermiques sur les échangeurs
La puissance nécessaire pour refroidir un débit de gaz n˙ deT
1à T
2se calcule à partir de
l’expression 5.1.
˙
Q(W) = (H
T1−H
T2).n avec H en J.mole˙
−1etn en moles˙ (5.1)
A 5 bars, l’
4He est un gaz parfait de 300 K à 60 K.
A partir de l’expression de l’enthalpie pour un gaz parfait, donnée en 1.11 page 14, la
puis-sance dissipée sur un échangeur, à température supérieure à 60 K, peut se calculer à partir
de la formule 5.2.
˙
Q(W) = 5
2.R.∆T.n avec˙ n en moles˙ (5.2)
En dessous de 60 K l’
4He n’est plus un gaz parfait et le rapport PV/RT=αn’est plus égal à
1. Des valeurs de α sont tabulées pour l’
4He [8]. Une représentation graphique des valeurs
deαest donnée sur la figure 5.4 pour l’
4He à une pression de 5 bars.
En connaissant le rapport PV/RT il est possible de calculer l’enthalpie de l’
4He aux
tem-pératures inférieures à 60 K. Nous obtenons ainsi l’expression 5.3 permettant de calculer la
charge thermique sur les échangeurs situés sur EX1, EX2 et PT2.
˙
Q(W) = (3 + 2.α
T12 .R.T
1−3 + 22.α
T2.R.T
2).n avec˙ n en moles˙ (5.3)
•Charge thermique sur PT1
Il est nécessaire de connaître la température du premier étage du tube à gaz pulsé en
fonc-tion du débit circulé afin de déterminer la charge thermique sur l’échangeur EX1.
D’après l’équation 5.2 la charge sur le premier étage du tube à gaz pulsé, de température
T1, en fonction du débit est donnée par la formule 5.4.
F
IG. 5.4: valeurs deα=PV/RT et de Cp pour l’
4He à une pression de 5 bars [8]
˙
Q
P T1(W) = 5
2.R.(300−T P T1).n avec˙ n en moles.s˙
−1(5.4)
En utilisant les courbes de puissance du premier étage du tube à gaz pulsé page 52, nous
établissons l’équation 5.5 permettant de calculer la température du premier étage en fonction
de la charge thermique due au prérefroidissement de l’
3He et de la température du premier
étage à débit nul T PT1
0.
T P T1 = 1,3.P
P T1+T P T1
0avec P
P T1en W (5.5)
A partir des équations 5.4 et 5.5, nous avons calculé la température du premier étage du
tube à gaz pulsé en fonction du débit de circulation. Nous obtenons ainsi la formule 5.6 pour
T PT1
0=58 K, qui correspond à notre cas d’étude avec l’écran en aluminium, et la formule 5.7
pour T PT1
0=50 K, qui correspond à l’équilibre thermique d’un écran en cuivre (cas d’une
réalisation commerciale).
T P T1
0= 58K : T P T1 = −8,95.10
6˙
n+ 3,7.10
4+ 300 avecn en µmoles.s˙
−1(5.6)
T P T1
0= 50K : T P T1 = −9,25.10
6˙
n+ 3,7.10
4+ 300 avecn en µmoles.s˙
−1(5.7)
Les graphiques de la figure 5.5 donnent la charge thermique sur le premier étage du tube
F
IG. 5.5: Charge thermique sur le premier étage et sa température en fonction du débit d’
4He
•Charge thermique sur les échangeurs EX1 et EX2
Au débit de circulation maximum les échangeurs sur le régénérateur sont exploités à pleine
puissance. Leurs températures sont de 18 K pour T EX1 et 4,8 K pour T EX2. A partir de
l’équation 5.3, nous avons déterminé les charges thermiques sur chaque échangeur (entre
T PT1 et 18 K pour EX1 et entre 18 K et 4,8 K pour EX2) en fonction du débit de
circula-tion d’
4He. Les résultats sont présentés à travers le graphique de la figure 5.6. Nous donnons
les charges thermiques sur EX1 pour T PT1
0=58 K et T PT1
0=50 K.
F
IG. 5.6: Charge thermique sur l’échangeur EX1 à 18 K et sur l’échangeur EX2 à 4,8 K en
En sommant les charges thermiques appliquées sur EX1 et EX2, nous obtenons que :
Pour un premier étage du tube à gaz pulsé initialement à 58 K, la puissance totale est
com-prise entre 700 et 800 mW pour des débits compris entre 580 et 660µmoles.s
−1.
Pour un premier étage du tube à gaz pulsé initialement à 50 K, la puissance totale est
com-prise entre 700 et 800 mW pour des débits compris entre 660 et 750µmoles.s
−1.
•Charge thermique sur PT2
A partir de l’équation 5.3, nous pouvons calculer la charge thermique (entre 4,8 K et 3,5 K)
sur le deuxième étage du tube à gaz pulsé en fonction du débit d’
4He. Nous obtenons
l’expres-sion 5.8.
˙
Q
P T2(W) = 11.10
−6.n avec˙ n en µmoles.s˙
−1(5.8)
Nous calculons qu’aux débits maximum définis précédemment la charge thermique est
in-férieure à 10 mW. Le tube à gaz pulsé ne subit donc presque aucune charge thermique et
reste ainsi à 3,5 K. Les puissances frigorifiques des échangeurs EX1 et EX2 ne sont donc pas
affectées par une éventuelle montée en température du deuxième étage du tube à gaz pulsé.
Les débits maximum définis précédemment sont donc confirmés. Nous avons dimensionné les
échangeurs de manière à ce que ceux-ci puissent thermaliser correctement de l’
4He jusqu’à
un débit de 700µmoles.s
−1.
Pour un premier étage initialement à 58 K, la répartition de puissance sur les échangeurs
sera de 650 mW sur EX1 et 210 mW sur EX2.
Pour un premier étage initialement à 58 K, la répartition de puissance sur les échangeurs
sera de 530 mW sur EX1 et 210 mW sur EX2.
5.2.1.2 Echanges thermiques
Les échangeurs sont de type tubulaire à parois isothermes. Nous avons pris le parti de
calculer la longueur des échangeurs par éléments finis de longueur égale à 1 cm et de section
S en cm
2. Le schéma de la figure 5.7 présente le principe de notre calcul.
F
IG. 5.7: Schéma de principe du calcul par éléments finis de la température dans les
échan-geurs
Nous calculons les échanges thermiques sur un élément dX à partir des propriétés du fluide
à l’abscisse X (Nombre de NusseltN ux, conductibilité thermique de l’
4HekxenW.cm
−1.K
−1,
et coefficient d’ échangeh
xenW.cm
−2.K
−1) et nous en déduisons le flux de chaleurQ˙
x.
Le nombre de Nusselt dépend du régime de l’écoulement que l’on détermine en calculant
le nombre de Reynolds (Re). Pour chaque élément DX nous calculons un Re
xdéfini pour une
sectiob circulaire par l’équation 5.9.
Re
x= 5,1 n˙
4Dµx (5.9)
Avec : D le diamètre de la conduite en cm, n˙
3le débit d’
4He en µmole.s
−1,µ la viscosité
dynamique de l’
4He enµpoises qui est donnée sur la figure 5.10.
Pour des conduites de longueur importante, le nombre de Nusselt en régime laminaire
(Re<2000) est constant et égal à 3,65.
En régime turbulent, le nombre de Nusselt se calcul à partir de la formule de Colburn 5.10.
N u= 0,023∗(1 +D
L
0,7
)∗Re
0,8∗P r
0,33(5.10)
En fonction de la vitesse Vx, calculée à partir du débit massique m˙ en g.s
−1et de ρx en
g.cm
−3, nous calculons le temps de passaget
xen secondes du fluide dans l’élément dX et nous
en déduisons la quantité de chaleur échangéeQ
xen joules. Le∆T
Xen kelvins est ensuite
dans une cellule DX et masse m
x=ρ
x.S.DXd’
4He contenue dans la cellule avec une chaleur
spécifiqueCP x en J.g
−1.K
−1.
∆T
X(K) = Q
xCP x.mx (5.11)
Nous calculons ensuite T
X+1= T
X-∆T
Xpour effectuer le même calcul en X+1 à la
tempé-rature T
X+1.
Dans le document
Développement d'un réfrigérateur à dilution prérefroidi par un tube à gaz pulsé
(Page 138-144)