c) Les modèles
D. Mécanismes de déformation
Dans cette section, nous présentons les différents mécanismes de déformation supposés actifs dans les domaine UF et NC. Nous discutons des mécanismes de fluage de Coble, de Nabarro Herring, de glissement des joints de grains, d’émission des dislocations par les joints de grains. Enfin, nous conclurons cette section par une discussion traitant de l’effet de taille dans l’activité des dislocations dans les cœurs de grains.
1. Lien avec la superplasticité
Comme précisé dans la section dédiée au comportement des matériaux UF et NC, de nombreux travaux expérimentaux et théoriques suggèrent que certains mécanismes opérant typiquement dans le dans le cas de comportements en fluage, tel que le glissement des joints de grains, puissent engendrer l’adoucissement du comportement en plasticité en traction/compression uni axiale et en fluage des matériaux NC. Par exemple, Yin et al. ont rapporté des taux de déformation en fluage de l’ordre de 11.E-10/s, à des températures comprises entre 290 et 373 Kelvin, suggérant que le mécanisme de fluage de Coble puisse être actif à température ambiante (Yin et al. 2001). Il pourrait donc exister un lien intéressant, nécessitant le développements de modèles adaptés (Chapitre 3), entre des mécanismes menant le plus souvent à des comportements superplastiques et les matériaux UF et NC. Cependant, il est très délicat de justifier ce lien avec la superplasticité à l'aide d'un raisonnement physique rigoureux.
Typiquement, dans le cas de comportements en fluage, les mécanismes basés sur la diffusion de lacune, et ceux basés sur le mouvement de corps solide des grains sont actifs sous des conditions de déformations et de température sensiblement différentes à celles où soumises aux matériaux NC. Dans le cas des matériaux conventionnels, une carte de déformation représentant les domaines où chaque mécanisme est actif et dominant a pu être établie. Ces domaines sont fonctions de la contrainte de cisaillement normalisée et de la température normalisée par rapport à la température de fusion (voir Figure II-14). On remarquera par exemple qu’à faible température normalisée et faible contrainte de cisaillement normalisée, le mécanisme de fluage de Coble domine le comportement en fluage du matériau (à une taille de grain de 10 microns). A une même température, si la contrainte normalisée est de l’ordre de 1.E-3, le mécanisme de glissement des joints de grains assisté par la diffusion de lacune dans les joints de grains est
dominant. Ainsi, en comparant les résultats de Yin à une carte de déformation correspondant au même matériau, on pourrait s’attendre à ce que le mécanisme de glissement de dislocations soit actif.
Généralement les mécanismes de fluage, qui dépendent des paramètres structurels et des conditions d'essais (e.g. température, taille de grain et contrainte) ont une expression phénoménologique selon la forme suivante : p n A D G b b kT d G σ ε= ⋅ ⋅ ⋅ & (2.4.1)
Ici A est une constante numérique dépendent de la géométrie, D est le coefficient de diffusion, G est le module de cisaillement, b est la norme du vecteur de Burger, k est la constante de Boltzmann, T représente la température, d est la taille de grains, σ est la contrainte appliquée, p est l’exposant de taille et n est l’exposant de contrainte. On identifie le mécanisme de fluage actif grâce à l’évaluation des exposants de taille et de contrainte. Par exemple, si l’exposant de contrainte est égal à 1 et l’exposant de taille est égal à 2, on supposera que le mécanisme de déformation en fluage est le fluage de Nabarro Herring.
Figure II-14: Carte de déformation de Luthy (Luthy et al. 1979)
Les mécanismes de fluage de Nabarro Herring et de Coble se basent sur la diffusion de lacunes, en régime établi, le long de chemins préférentiels. Dans le cas du fluage de Nabarro Herring, les lacunes traversent les grains, engendrant une déformation du cristal à l’échelle macroscopique, alors que dans le cas du fluage de Coble, les lacunes se déplacent dans la zone inter granulaire. Présentons maintenant dans le détail les développements de Herring et de Coble, inspirés des travaux de Nabarro (Figure II-15).
(Shah et al. 1998)
Figure II-15:Chemin des lacunes dans les mécanismes de diffusion de Coble et de Nabarro Herring
2. Fluage de Nabarro Herring
Le développement de Herring, introduit dans le but de rationaliser le comportement quasi visqueux de fils métalliques en traction à faibles charges et à température élevée, relate du transport de matière par diffusion dans les cristaux. L’auteur suppose que le flux de matière est engendré par le gradient d'un potentiel chimique. Ce dernier dépend du gradient de la concentration de lacunes et du gradient de pression. Le flux de matière, noté ‘j’, s’écrit comme suit :
( )
L h n D j kT µ µ = − ∇ − (2.4.2)Où nL, , , , et D k T ∇
(
µ µ− h)
représentent respectivement, le nombre de sites par unité de volume, le coefficient d’autodiffusion de la matière, la constante de Boltzmann, la température et le travail, par atome, nécessaire à l'apport d'une faible quantité de matière au cristal. Afin d'assurer une concentration de lacunes constantes, le gradient du flux de matière doit être nul, il suffit alors de déterminer la condition aux limites sur(
µ µ− h)
. Cette dernière est obtenue par la minimisation de l’énergie libre du cristal par rapport au transfert d’atomes entre la surface et le volume adjacent. En supposant l’équilibre surface volume mentionné ci-dessus, on obtient l’expression suivante du travail à fournir :0 0
h pzz
Où µ0,pzz et Ω0représentent respectivement le potentiel chimique de la source d’atomes, la traction normale et le volume atomique. Enfin, dans le cas de grains sphériques, la composante normale du vecteur traction est proportionnelle à l’inverse du carré de la taille du cristal. Herring traitent de deux cas distincts; le cas où la contrainte de cisaillement n’est pas encore relaxée au niveau des joints de grains, qui donnera lieu à des taux de déformation plus élevés, et le cas où cette contrainte est relaxée. On obtient dans les cas respectifs : 0 0 2 , h ij i j i j x x d µ µ− =µ −Ω
∑
σ (2.4.4)(
2 2)
0 0 2 5 2 h xx x y d µ µ− =µ − Ω σ − (2.4.5)Où xr r=i,j sont les coordonnées des points considérés et dest la taille de grain. Enfin, la loi de fluage est obtenue en considérant la relation entre le taux de déplacement, le taux de déformation et le flux normal, donnée par : 0 , 1 ij i j n i j dr x x j dt =
∑
dε& = Ω (2.4.6)Typiquement, on écrit la loi de fluage de Nabarro Herring de la manière suivante :
2 NH L NH A D Gb b kT d G σ ε = & (2.4.7)
Ici, σ est la contrainte appliquée, dest la taille de grain, G est le module de cisaillement, b est la norme du vecteur de Burger, DLest le coefficient de diffusion des cristaux, kest la constante de Boltzmann, Test la température en Kelvin, ANHest une constante numérique.
3. Fluage de Coble
Le modèle de fluage de Coble, dont le développement est semblable à celui de Herring, suppose que la diffusion de lacunes s'effectue le long des interfaces grain/joint de grain. D’après le raisonnement de Herring, la déformation du matériau est due à la dépendance de la concentration de vides à l’équilibre avec la contrainte et la température. L’expression du gradient de concentration de lacunes à l'équilibre se réduit à :
0 C C kT σ ⋅ ⋅Ω ∆ = (2.4.8)
Où C0, , , et σ Ω k Treprésentent respectivement la concentration initiale de lacunes à l’équilibre, la contrainte normale au joint de grain, le volume atomique, la constante de Boltzmann et la température.
On impose aux joints de grains de conserver la même orientation au cours de la déformation afin d'assurer la conservation de volume des régions inter cristallines et la non-continuité des contraintes localisées à l'intersection des facettes du cristal. Cette condition est respectée dans le cas où chaque cristal a un taux de génération de lacune uniforme sur une face entière. Dans le cas de cristaux sphériques, on suppose alors les taux de génération et d’annihilation de lacunes uniformes et égaux. Ainsi, les aires des sources et puits de lacunes sont égaux afin d'obtenir une déformation à volume constant. Cette condition se réalise à 60 degrés sur un hémisphère. Il s’agit donc d’évaluer le gradient de concentration à cet angle précis. En régime établi et en appliquant la loi de Fick on obtient l’expression du flux de matière donné par :
2 sin 60 v C J D Nw d d π∆ = (2.4.9)
Ici, w est l’épaisseur moyenne des joints de grains, Dv est le coefficient de diffusion. Enfin, avec la relation entre le changement de volume et le flux de matière, on obtient l’expression du fluage de Coble, exprimé comme suit :
3 2 3 0 dd 7.4 v 0 Ja d D w Ca dt π = = ∆ (2.4.10) 3 0 3 7.4Db wa kTd σ ε π = & (2.4.11) Discussion :
Il est important de rappeler ici que l'activité des mécanismes de diffusion dans les matériaux NC est encore sujette à débat. Aussi, un nouveau mécanisme de fluage basé sur la diffusion de lacunes par les lignes triples à récemment été introduit (Wang et al. 1995). Son expression est la suivante :
2 4 tl tl D w K kT d σ ε&= ⋅ Ω ⋅ (2.4.12)
Ici Ktlest une constante numérique, Dtlest le coefficient de diffusion des lignes triples,Ω est le volume atomique, w est l’épaisseur moyenne des joints de grains, k est la constante de Boltzmann, σ est la contrainte appliquée et T est la température en Kelvin.
D’après les expressions du fluage de Nabarro et Herring, du fluage de Coble et du fluage par les lignes triples, si les résultats expérimentaux relatant de la capacité des matériaux ne sont pas faussés par la présence de défauts dans les échantillons, on s’attend alors à ce que chacun des trois mécanismes de fluages domine dans un domaine de tailles de grain différents. Par exemple le fluage des lignes triples pourrait être dominant lorsque les tailles de grains sont inférieures à ~20 nm.
L’effet macroscopique des mécanismes de diffusion dépend du type de diffusion actif mais aussi de la fréquence à laquelle les phénomènes considérés se produisent. Dans le cas du fluage par les lignes triples, on peut aisément admettre que cette fréquence dépend du nombre de ligne triples, fréquence qui elle même dépend de la taille de grain. Il faut donc relativiser l’effet de ces mécanismes de fluages vis-à-vis de la fraction volumique de joints de grains, lignes triples et cristaux.
4. Glissement des joints de grains
Tout comme dans le cas des mécanismes de diffusion, il a été suggéré que le mécanisme de glissement des joints de grains puisse être actif dans les matériaux UF et NC, notamment dans les essais de fluages réalisés par Cai et al. sur des échantillons de Cu produit par électrodéposition (d=30nm) (Cai et al. 2001) et dans le essais de traction de Kumar et al (Kumar et al.2003).
Dans les matériaux conventionnels, le fluage par glissement des joints de grains peut être assisté par des mécanismes de diffusion de lacunes inter cristallins ou intra cristallin, ce mécanisme est connu sous le nom de glissement de Lifschitz. Les expressions phénoménologiques des mécanismes de fluages sont les suivantes :
- Dans le cas de l’accommodation par diffusion inter cristalline :
3 2 2. 5 jg jg Gb b E D kT d G σ ε ≈ ⋅ & (2.4.13)
2 2 8. 6 c c Gb b E D kT d G σ ε ≈ ⋅ & (2.4.14)
Ici, ε&r, Drr=jg, c dénotent respectivement les taux de déformation moyen viscoplastiques et le coefficient de diffusion dans les joints de grains et dans les cœurs de grains, best la norme du vecteur de Burger, k est la constante de Boltzmann, T est la température en Kelvin, d est la taille de grain,Gest le module de cisaillement, et σ est la contrainte appliquée. Notons les similarités entre l’expression (2.4.13) et l’expression du fluage de Coble et entre l’expression (2.4.14) et l’expression du fluage de Nabarro Herring.
Discussion :
Nous rappelons ici encore que l’activité des mécanismes de diffusion dans les matériaux NC est toujours sujette à débat. En effet, les premières expériences de fluages rapportent pour la plupart des taux de déformation indiquant que les mécanismes de diffusion soient actifs dans les joints de grains. Ces mesures s’expliqueraient alors d’une part par le fait que la fraction de volumique de joints de grains devienne non négligeable dans le régime NC et d’autres parts par le fait que les distances interatomiques dans les joints de grains soient plus élevées dans le régime NC. Ce sont ces mesures qui nous ont motivé à évaluer l’effet du mécanisme de fluage de Coble. Cependant, des expériences de fluage plus récentes réalisées sur des matériaux de meilleure qualité, ne comportant pas de microfissure dans leurs structures initiales, rapportent elles des taux de déformation en fluage du même ordre que celle observées dans les matériaux conventionnels. Ainsi, ces mesures expérimentales suggèrent que les mécanismes de diffusions ne soient pas actifs dans le régime NC. De plus, d’autres essais expérimentaux, tels que ceux réalisés par Kumar et al. (Kumar et al., 2003) révèlent la croissance de fissures menant à l’endommagement du matériau durant des essais de traction. Ici encore, cela tend à démontrer que les mécanismes de diffusions de lacunes ne soient pas actifs.
5. Emission de dislocations par les joints de grains:
Comme précisé précédemment, de récentes simulations de DM si bien 2D columnaires que 3D ont montré que le mécanisme d’émission de dislocations par les joints de grains puisse mené à l’adoucissement du comportement viscoplastique des matériaux NC. Bien que les simulations de DM puisse ne pas être représentatives du comportement en régime quasi-statique, car les conditions ont limites ont des ordres de grandeurs nettement supérieurs au cas quasi-statique, il est tout de même probable que ce mécanisme d’émission de dislocation soit actif dans le cas des NC. Notamment car les expérience du Kumar et al. (Kumar et al., 2003) sur des échantillons de Nickel électrodéposé suggèrent elles aussi l’activité de ce mécanisme.
Le mécanisme d’émission fut suggéré dans les travaux de Li dès les années 1960. Cependant, peu de travaux on été consacré au rôle de source de dislocation des joints de grains. Ainsi, il n’existe pas encore de loi de comportement permettant d’évaluer l’effet macroscopique de ce mécanisme. C’est d’ailleurs pour cette raison que nous proposons une nouvelle loi de comportement à cet effet (Chapitre V). De plus, il existe encore de nombreuses incertitude squant à ce mécanisme, telle que la nature des sources principales de dislocations localisées dans les joints de grain.
Il existe trois types de sources de dislocations inter cristallines: les désinclinaisons, les joints de grains à faibles angles d’inclinaisons qui sont semblables aux sources de Frank et Read (Hirth et al. 1982), et les ledges. Ces derniers sont des plans d’atomes supplémentaires localisés à l'interface grain/joints de grains que l’on pourra se représenter comme des "marches".
Bien que les joints de grains à faibles angles d’inclinaison puissent émettre des dislocations dans les cœurs de grains, ce type de source peut être négligée car leur concentration est faible dans les matériaux NC. Rappelons que la concentration de joints de grains à faibles angles d'inclinaison dépend du procédé de fabrication.
Dès 1963, dans les travaux de Li déjà mentionnés auparavant, il a été supposé que les « ledges » puissent agir comme des donneurs de dislocations. Murr et Venkatesh ont consacré de nombreux travaux à l’étude expérimentale des ledges (Venkatesh et al.; Venkatesh et al. 1976; Murr et al. 1978; Venkatesh et al. 1978; Murr 1981), il fut observé entres autres choses que, dans les matériaux conventionnels très purs, les ledges peuvent effectivement émettre des dislocations dans les cœurs de grains. De plus, le fait que les sources de dislocations soient actives dans le cas de matériaux conventionnels de grande pureté suggère que l’activité de ces sources de dislocations dépend de la densité de dislocations stockées dans les coeurs de grains, dans le sens où ces dernières génèrent des contraintes aux joints de grains limitant l’émission de dislocations.
Enfin, comme le prédisent les modèles des joints de grains basés sur les unités de désinclinaisons, un joint de grain à fort angle d’inclinaison peut lui aussi émettre des dislocations suite au mouvement d’un dipôle de désinclinaison par exemple. Les modèles de Gurtin et al. (Gutkin et al. 2003), basés sur les différences d’énergies du système pré et post émission, démontrent que l’émission de dislocations peut être favorable dans de nombreuses configurations en fonction de l’angle d’inclinaison et de l’angle d’émission.
L'émission de dislocations par les joints de grains peut être modélisée grâce à la représentation des joints de grains basée sur les unités de désinclinaison. Hurtado et al. proposent deux approches pour modéliser l’émission de dislocations (Hurtado et al. 1995). Dans une première approche on considère que l’émission d’une dislocation engendre la création d’une désinclinaison négative. Cependant cette approche
mène à un joint de grain instable. Pour remédier à cela, on suppose par la suite que l’émission engendre la création d’une dislocation négative localisée au niveau du site d’émission.
De nombreux travaux de DM et DS ont été consacrés à l’émission de dislocations. Suite aux premières simulations de DM sur des nanocristaux deux dimensions columnaires d’aluminium de tailles comprises entre 20 et 70 nm (Yamakov et al. 2001), l’émission de dislocations partielles par les joints de grains fut mise en exergue. L’équipe de Gleiter et Wolf montra alors que la seconde dislocation partielle de Shockley est émise si la taille de grain est supérieure à la distance de séparation entre les deux dislocations partielles. Cette distance critique dépend de l’énergie des défauts d’empilement (Hirth et al. 1982). Ceci suggère que lorsque la taille de grain est très petite, une seule dislocation partielle peut être émise, créant un défaut d’empilement permanant derrière son passage. On s’attendrait alors à ce que l’émission d’une seule dislocation de Shockley n’ait pas lieu dans les matériaux à forte énergie de défaut d’empilement tel que l’aluminium. Les simulations tridimensionnelles sur des nanocristaux de cuivre et de nickel de taille de grain variant de 5 à 12 nm montrent elles aussi l’émission de dislocations partielles par les joints de grain (Derlet et al. 2002). Cependant, il fut argumenté alors que la non émission de la seconde dislocation partielle peut être due à relaxation du joint de grains par mouvement d’atomes accompagnant l’émission de la première dislocation partielle. Dans des travaux plus récents, l’équipe de Van Swygenhoven révise sa première hypothèse et suggère alors que le fait que la DM ne permette pas de prédire dans tous les cas l’émission de la seconde dislocation partielle de Shockley peut être lié aux limitations des simulations de DM. En effet, pour les raisons mentionnées dans l’introduction générale, les simulations de DM sont limitées à des temps réels très courts, de l’ordre de quelques dizaines de picosecondes. Ainsi des temps de calcul plus longs pourraient révéler l’émission de la seconde dislocation partielle. Enfin les derniers travaux publiés de l’équipe de Van Swygenhoven suggèrent que le rapport de l’énergie stable et instable des défauts d’empilement peut être un critère de prédiction de l’émission de la seconde dislocation partielle (Froseth et al. 2004).
Dans le but d’investiguer l’effet de l’émission de dislocations sur les joints de grain, quelques travaux de DM se sont focalisés sur l’étude de bicristaux. Les simulations de traction de Spearot et al. montrent que l’émission d'un boucle complète de dislocation par l’interface génère un ledge localisé à la source de dislocation (Spearot et al. 2005; Spearot et al. 2005). Dans la Figure II-16, on observe l'émission de dislocations par les interfaces, les atomes sont colorés avec la convention de la symétrie centrale (seuls les atomes n'appartenant pas à une structure cristalline sont représentés). On observe notamment l'émission d’une boucle complète de dislocation. Les simulations de DM révèlent que, comme dans le cas du glissement des dislocations dans les cœurs de grains, les joints de grains émettent des dislocations uniquement sur les systèmes de glissement favorable. D’autre part, les simulations de Spearot et al. sur les