d) Comportement macroscopique du matériau
B. L’effet du mécanisme de glissement de Lifschitz
Comme précisé dans l’état de l’art et plus précisément dans la première carte de déformation proposée au Chapitre III, le mécanisme de glissement des joints de grains accommodé par la diffusion de lacune pourrait être opérationnel dans les matériaux NC à petite taille de grain. Ainsi, dans ce qui suit, nous proposons ici une extension du modèle présenté précédemment. Nous opérons la transition de phase avec le meme schéma autocohérant qu’utilisé précédemment. De même, on utilise un schéma numérique similaire au cas précédent et on se place dans l’hypothèse d’un matériau isotrope incompressible. Les conventions d’écriture des tenseurs des contraintes et des déformations sont à nouveau réutilisées.
La phase inclusionnaire se déforme plastiquement par le seul mécanisme de glissement des dislocations, alors que la phase matrice se déforme par le mécanisme de fluage de Coble et de glissement de Lifschitz. Ce dernier correspond au cas où le glissement des joints de grains est accommodé par des phénomènes de diffusion inter cristallins.
1. Comportement des inclusions
La description de la phase inclusion est semblable à celle utilisée dans le cas précédent à la seule différence que les phénomènes de diffusion ne sont pas supposés participer à la déformation des inclusions mais à celle de la matrice. Ainsi le comportement de la phase inclusion est élasto-viscoplastique et la loi d’écoulement est donnée par la loi de Prandtl Reuss. Le taux de déformation viscoplastique tiens uniquement compte du mécanisme de glissement des dislocations, et s’écrit ainsi:
vpI dis
eq
ε& =ε& (4.2.1)
2. Comportement de la phase matrice
La phase matrice se déforme ici par le glissement des joints de grains et par la diffusion de lacunes le long des joints de grains. Notons ici que ces derniers sont des mécanismes de fluage. Ainsi si leur contribution respective est présente à température ambiante, les expressions prises en compte ici devraient surestimer la contribution réelle des phénomènes de glissement et de diffusion. Le comportement de la phase matrice est donc élasto-viscoplastique et s’écrit alors :
( )
:
M M M vpM
σ& =C ε& −ε& (4.2.2)
Ici
C
ijklM est le tenseur de quatrième ordre des modules d’élasticité de la phase matrice etε&
klM VP, est letenseur de second ordre des taux de déformation viscoplastiques. Ici encore, on suppose un écoulement décrit par la loi de Prandtl Reuss. Le taux de déformation viscoplastique équivalent est la somme de la contribution du mécanisme de fluage de Coble et du mécanisme de glissement de joints de grain et s’écrit comme suit:
, M VP
eq co gbs
L’expression du mécanisme de fluage de Coble est donnée par (4.1.8) , alors que l’expression du mécanisme de glissement des joints de grains est quant à lui donné par les travaux de Luthy (Luthy et al. 1979) : 2 8 3 10 I gb eq gbs D b d E σ ε ≈ & (4.2.4)
Où E est le module d’Young de la phase inclusion E, d est la taille de grain, et D est le coefficient de gb
diffusion des joints de grain.
3. Comportement macroscopique du matériau
Etant donné le caractère élasto-viscoplastique des deux constituants, le comportement global du matériau est aussi élasto-viscoplastique et son expression est donnée par (4.1.10). On applique ici le schéma autocohérent développé par Cherkaoui et al. (Cherkaoui et al. 2000), les relations d’homogénéisation diffèrent légèrement du cas précédent, où seuls la diffusion de Coble et le glissement des dislocations étaient alors pris en compte, du fait de la nature visqueuse du comportement de la phase matrice. Ainsi les expressions de concentration s’écrivent toujours avec la relation (4.1.11). Cependant, dans le cas présent les tenseurs de concentrations de second ordre sont donnés par:
( )
1( )
: : : : :
r r E eff eff vpr eff vp
a =A S C − C ε& −C E& avec r=I,M (4.2.5)
OùSklmndénote le tenseur d’Eshelby. Le tenseurs des taux de déformation viscoplastiques globaux est lié à ses équivalents locaux par :
( )
1( ( ) )
: : : 1 : :
vp eff I I vpI M M vpM
E& = C − f ⋅A C ε& + −f ⋅A C ε& (4.2.6)
4. Résultats
Le modèle est appliqué au cas du Cuivre et les prédictions obtenues sont comparées à différents résultats expérimentaux. Les paramètres utilisés sont les suivants : µI =21.45GPa., m=230, n=8.25, σ0,I=220MPa.,
0.005 /
I s
ε&∗= , M=3.06, α=0.33, G=42.1GPa., C1=52.86, C20 =18.5,ε&0=1/ s, Ω =c 1.18e−29,
2.6 20
bd
Dans la Figure IV-10, on observe une comparaison entre les prédictions du modèle, qui sont représentés par des lignes, et différents résultats expérimentaux, représentés par les points (Sanders et al. 1996; Youngdahl et al. 1997). Les courbes contraintes déformation ont été tracées à différentes tailles de grains (2000, 110, 49, 26 et 20 nm). Une diminution de la taille de grain engendre un comportement plus «dur» du matériau lorsque la taille de grain est supérieure à 20 nm. Nous pouvons donc supposer que lorsque la taille de grain est inférieure à 20 nm, les mécanismes de diffusion dominent le mécanisme de glissement des dislocations. Ici encore on peut remarquer que le modèle surestime le comportement macroscopique du matériau lorsque la déformation excède 1%.
Dans la Figure IV-11, on observe l’évolution de la limite d’élasticité à 0.5% de déformation avec la taille de grain. Les prédictions du modèle sont représentées par des lignes alors que les données expérimentales sont elles représentées par des points. La contrainte d’écoulement augmente linéairement jusqu’à une taille de grain critique (d~ 40 nm) en dessous de laquelle on observe une diminution de la contrainte d’écoulement avec l’inverse de la racine carrée de la taille de grain. Bien que le modèle soit capable de prédire la taille de grain critique à laquelle se produit la chute de la loi de Hall et Petch, on ne peut pas caractériser le modèle comme satisfaisant. En effet, la pente de Hall et Petch prédite est très faible en comparaison aux valeurs expérimentales et globalement le modèle sous-estime les contraintes d’écoulement. Ceci est dû au fait que dans cette approche, deux mécanismes «d’adoucissement» sont pris en compte, de plus le modèle est quelque peu redondant dans le sens où le mécanisme de Lifschitz tient déjà compte de la diffusion de lacune au travers des joints de grains.
Références partielles
Capolungo, L., M. Cherkaoui, et al. (2004). Homogenization method for strength and inelastic behavior of nanocrystalline materials. Size effects on material and structural behavior at micron and nanometer-scales, Hong Kong, Kluwer Academic Publisher.
Capolungo, L., C. Jochum, et al. (2005). "Homogenization method for strength and inelastic behavior of nanocrystalline materials." International journal of plasticity 21: 67-82.
Cherkaoui, M., Q. Sun, et al. (2000). "Micromechanics modeling of composite with ductile matrix and shape memory alloy reinforcement." International journal of solids and structures 37: 1577-1594.
Coble, R. L. (1963). "A Model for Boundary Diffusion Controlled Creep in Polycrystalline Materials." Journal of Applied Physics 34(6): 1679-1682.
Estrin, Y. (1998). "Dislocation theory based constitutive modelling: foundations and applications." Journal of the materials processing technology 80-81: 33-39.
Estrin, Y. and H. Mecking (1984). "A unified phenomenolgical description of work hardening and creep based on one parameter models." Acta metallurgica 32: 57_70.
Kim, H. S., Y. Estrin, et al. (2000). "Plastic deformation behaviour of fine grained materials." Acta materialia 48:
493-504.
Kim, H. S., Y. Estrin, et al. (2001). "Constitutive modelling of strength and plasticity of nanocrystalline metallic materials." Materials science and engineering A316: 195-199.
Luthy, H., R. A. White, et al. (1979). "Grain boundary sliding and deformation mechanism maps." Materials Science and Engineering 39(2): 211-216.
Nieman, G. W., J. R. Weertman, et al. (1991). "Mechanical behavior of nanocrystalline Cu and Pd." Journal of materials research 6: 1012-1027.
Sanders, P. G., J. A. Eastman, et al. (1996). Processing and Properties of Nanocrystalline Materials. Warrendale, PA, TMS.
Sanders, P. G., J. A. Eastman, et al. (1997). "Elastic and tensile behavior of nanocrystalline copper and palladium." Acta metallurgica 45: 4019-4025.
Surayanarayana, R., R. Frey, et al. (1996). "Deformation, recovery, and recrystallization behavior of nanocrystalline copper produced from solution-phase synthesized nanoparticles." Journal of alloys and compounds 11: 449-457.
Youngdahl, C. J., P. G. Sanders, et al. (1997). "Compressive yield strengths of nanocrystalline Cu and Pd." Scripta materialia 37: 809-813.