(5.2.8)
Ici r0et R sont les bornes supérieures et inférieures d’intégration. La vitesse de l'onde transverse est donnée par : I t C µ ρ = (5.2.9) Ainsi on obtient 2 2 3.15 / o pN ps A
mdis = ⋅ (Bitzek et al. 2005).
Puisque la vitesse d’une dislocation n’excède pas Ct/ 3 (sans effet quantum) et que le rapport de la contrainte équivalente sur la contrainte d’écoulement à zéro Kelvin est au maximum égal à .99, on peut alors estimer ν =0 0.03 tel que la vitesse maximale de la dislocation soit égale à cette valeur limite.
Enfin, on suppose un angle de pénétration de 45°, et on fixe le coefficient de proportionnalité à
1/ 2
ι = et δ est fixé à 40. Remarquons que ce coefficient peut être ajusté puisque l’angle de pénétration
dépend de la position relative du plan de glissement par rapport à l’axe longitudinal du joint de grain.
On détermine le module de cisaillement de la phase matrice en reprenant le raisonnement de Wang et al. où les modules d’élasticité de la phase matrice sont estimés sont estimés à partir d’un potentiel d’interaction interatomique (Wang et al. 2003a). Ici on utilise le potentiel de Lennard Jones et on suppose le rapport entre la masse du joint de grain sur la masse d’un volume composé d’un cristal parfait égal à 0.85, ainsi on obtient µ =M 11140MPa..
Les prédictions de la réponse macroscopique du matériau en traction uni axiale à température ambiante et à un taux de déformation de 1.E-3/s sont présentées dans la Figure V-5. Quatre taille de grains sont simulées : 1 micron, 100 nm, 20 nm et 10 nm. En accord avec les travaux expérimentaux de Sanders et al. portant sur le comportement élastique des matériau NC, dans lesquels les auteurs révèlent une diminution du module d’Young variant de 13 à 16 % engendrée par une diminution de la taille de grain allant alors de 20 microns à 26 nm, le modèle prédit une diminution des constantes élastiques macroscopiques de 19% lorsque la taille de grain passe de 1 micron à 20 nm (Sanders et al. 1997a). La légère différence entre les prédictions du modèle et les mesures expérimentales provient du choix du rapport de la masse d’un joint de grain sur la masse d’un cristal parfait de volume équivalent.
Figure V-5: Courbes contrainte déformation macroscopique à différentes tailles de grain et à un taux de déformation de 1.E-3/s
On rationalise l’assouplissement de la réponse plastique accompagnant une diminution de la taille de grain en observant les réponses des différentes phases présentées dans la Figure V-6 et dans la Figure V-7. Puisque la fraction volumique de la phase matrice devient non négligeable dans le cas de taille de grains inférieures à ~20 nm, on observe que, jusqu’à des tailles de grains de 20 nm, le comportement macroscopique du matériau est très largement dominé par celui de la phase inclusionnaire et en est par conséquent très proche. On notera aussi que dans la Figure V-6, on observe une augmentation conséquente de la limite d’élasticité de la phase inclusionnaire lorsque la taille de grain est inférieure à ~100 nm, ce qui résulte de l’effet croissant des contraintes de résistance au glissement exercées à distance par les joints de grain.
De plus, une comparaison entre les figures ci dessous révèle que la phase matrice est relativement plus dure que la phase inclusionnaire dans le seul cas où la taille de grain est supérieure à ~100 nm. Ce qui est dû au fait qu’une diminution de la taille de grain engendre une augmentation de l’activité des sources
intergranulaires, provoquant un plus grand transfert de masse dans la phase matrice. Ainsi, en diminuant la taille de grain, la déformation maximale de la phase matrice augmente.
Puisque les constantes définissant le mécanisme thermiquement activé d’émission de dislocations varient avec la géométrie des joints de grain, certains joints de grain pourraient avoir un caractère relativement dur par rapport à celui des inclusions alors que d’autres pourrait avoir un caractère mou. Les joints de grains durs seraient alors plus propices à la création de fissure lors de la déformation.
Figure V-6: Courbes contrainte déformation de la phase inclusionnaire à différentes tailles de grains et à un taux de déformation macroscopique de 1.E-3/s
Figure V-7: Courbes contrainte déformation de la phase matrice à différentes tailles de grain et à un taux de déformation macroscopique de 1.E-3/s
Les prédictions du modèle sont comparées à des travaux expérimentaux dans la Figure V-8 (Sanders et al. 1997a; Cheng et al. 2005). Le modèle est en accord quasi parfait avec les mesures expérimentales réalisées sur des matériaux conventionnels. Lorsque l’on compare les prédictions du modèle aux mesures expérimentales de Sanders et al. sur des échantillons de Cuivre ayant des tailles de grains de 110 nm, on remarque alors que les prédictions du modèle sont nettement supérieures aux mesures expérimentales, notamment dans le cas de la limite d’élasticité. Cependant comme présenté dans le chapitre dédié à l’état de l’art, les mesures expérimentales peuvent largement différer d’une étude à l’autre. Le modèle est en accord
quasi parfait avec les résultats de Cheng et al. sur des échantillons de Cuivre de très grande pureté ayant des tailles de grain de 62 nm. On notera tout de même une légère différence au début du régime plastique.
Cependant, l’évolution du coefficient d’écrouissage relevé expérimentalement ne peut être décrite avec le modèle de Cheng introduit dans le présent développement. Il pourrait donc s'avérer utile d'étudier un possible effet de taille dans le coefficient d'écrouissage.
Figure V-8: Comparaison des prédictions du modèle avec les résultats expérimentaux. Effet du taux de déformation et de la température
Les effets du taux de déformation macroscopique et de la température sont présentés dans la Figure V-9 et dans Figure V-10. Comme dans le cas des matériaux conventionnels, une augmentation du taux de déformation engendre un comportement macroscopique plus dur du matériau. A faibles températures, la probabilité d’avoir un glissement des dislocations est plus faible à chargement équivalent que dans le cas d’une température plus élevée. Ceci est dû au fait que moins d’énergie est apportée par fluctuations thermiques au matériau, ce qui engendre donc un comportement plus dur du matériau.
Figure V-9: Courbes contraintes déformation à différents taux de déformation et à un taille de grain de 100 nm
Figure V-10: Courbes contraintes déformation à différentes températures avec d= 100 nm et un tau de déformation de 1.E-3/s
L’effet de taille sur la contrainte d’écoulement est présenté dans la Figure V-11, les prédictions du modèle sont représentées par des lignes et les mesures expérimentales par des points (Chokshi et al. 1989; Gertsman et al. 1994; Valiev et al. 1994; Suryanarayanan Iyer et al. 1999; Wang et al. 2003b; Cheng et al. 2005). On définit la contrainte d’écoulement comme la contrainte à 0.5% de déformation. Trois taux de déformations sont représentés : 1.E-3/s, 1.E-4/s, 1.E-5/s.
Globalement le modèle mène à des prédictions supérieures aux mesures expérimentales mesurées. Ce qui provient du fait que l’on ne connaît pas l’état initial des matériaux. Cependant les tendances du modèle sont très reproductives de celles mesurées. En effet, lorsque l’on diminue la taille de grain de plusieurs microns jusqu’à 100 nm, le modèle prédit avec succès une augmentation linéaire de la contrainte d’écoulement avec l’inverse de la racine carré de la taille de grain, la pente de Hall et Petch prédite est de 0.095 et typiquement la pente de Hall et Petch pour le cuivre est de 0.11.
Lorsque la taille de grain est inférieure à 100 nm, la pente de Hall Petch connaît une augmentation rapidement suivie d’une diminution correspondant à la chute de la loi de Hall et Petch. La taille de grain critique prédite est de 20 nm. On remarque également que la contrainte d’écoulement augmente avec le taux de déformation.
De plus on observe aussi que dans le cas des tailles de grains inférieures à 20 nm le modèle prédit des valeurs égales des contraintes d’écoulement à différents taux de déformation. Cette donnée est due au fait que lorsque la taille de grain est égale à 20 nm, la phase matrice a une influence majeure sur le comportement macroscopique du matériau. En observant le comportement de la phase matrice, on remarque alors que dans le régime plastique, la phase matrice atteint un plateau indépendamment du taux de
Figure V-11: Evolution de la contrainte d'écoulement avec la taille de grain
Dans la Figure V-12 on présente un graphique de l’évolution des maxima des taux de déformations viscoplastiques équivalents locaux en fonction de la taille de grain. Le taux de déformation macroscopique imposé est de 1.E-3/s. Le taux de déformation viscoplastique équivalent de la phase matrice devient non négligeable lorsque la taille de grain est inférieure à 40 nm et domine la déformation viscoplastique de la phase inclusionnaire lorsque la taille de grain est inférieure à ~20 nm. On peut donc conclure, en prenant en compte l’évolution de la fraction volumique de la phase matrice, que la chute de la loi de Hall et Petch peut être interprétée comme une résultante de changement de caractère relatif des joints de grain qui deviennent alors une phase souple capable de se déformer plus.
Figure V-12: Evolution des maxima des taux de déformation équivalents locaux en fonction de la taille de grain